当前位置:首页 >> 数学 >>

【优化方案】2014届高考数学一轮复习 5.3 线段的定比分点和平移课件


§5.3

线段的定比分点和平移

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.线

段的定比分点 (1)定比分点:设 P1、P2 是直线 l 上的两点,点 P 是 l 上不同 → → P1P=λPP2 于 P1、P2 的任意一点,则存在一个实数 λ,使__________, → λ 叫做 P 分有向线段P1P2所成的比,点 P 叫做定比分点. (2)定比 λ 与分点之间的一一对应关系如下表:

λ
P点位置 P点名称

λ<-1 在P1P2的延 长线上 外分点

λ=-1
不存在

-1<λ<0 λ=0 在P2P1的 与P1重合 延长线上 外分点 始点

λ 0<λ<1 λ=1 λ>1 P点位置 在P1与中点之间 P为中点 在中点与P2之间 P点名称 内分点

(3)定比分点坐标公式:

y1+λy2 x1+λx2 1+λ y=________ 若 P1(x1, 1)、 2(x2, 2), P(x, 则 x=______, 1+λ y P y 设 y),

→ (λ 为 P 分P1P2的定比且 λ≠-1),P 为中点时, x1+x2 y1+y2 2 2 则 x=_________,y=__________.

2.图形的平移 (1)平移 同一个方向 设F为坐标平面内一个图形,将F上所有点按____________移 同样 动 ______ 的 长 度 , 得 到 图 形 F ′ , 这 个 过 程 叫 图 形 的 平 移.将一个图形平移,图形的形状大小不变,只是在坐标平 面内的位置发生变化.

(2)平移公式
设P(x,y)为图形F上任一点,它按向量a=(h,k)平移后的图 ?x′=x+h ?
? ? ?y′=y+k 形F′上的对应点为P′(x′,y′),则有______________.

在P(x,y),P′(x′,y′)及a=(h,k)中,已知其中二个,可 求另外一个,但要注意顺序性.

思考探究 1.用定比分点坐标公式求点的坐标时,应注意什么问题? 提示:首先要确定λ,此时一定要分清有向线段的起点、终点 和分点,尤其是要明确分点是内分点还是外分点,若情况不 定,应分类讨论,确定λ的值.一般有两种思路:一是借助图

形,数形结合求解;另一种是进行向量的代数运算,用定比
分点的定义确定λ的值.

→ 2.点的平移公式与向量PP′有什么关系?从向量 a=(h,k)上 能看出如何平移吗?

→ → 提示:点的平移公式,其实就是向量PP′的坐标公式:PP′=
?x′-x=h, ? (h,k)=(x′-x,y′-y),从而有? 从向量 a 上 ?y′-y=k. ?

可看出平移规律,当 h>0 时,表示向右平移 h 个单位.h<0 时,表示向左平移|h|个单位.k>0 时表示向上平移|k|个单位, k<0 时表示向下平移|k|个单位.所以 y=f(x)按 a=(h,k)平移 后得到的解析式为 y-k=f(x-h).

课前热身
3 1.(教材改编)已知△ABC 的三个顶点分别是 A(1, ),B(4,- 2 2),C(1,y),重心为 G(x,-1),则 x、y 的值分别是( A.x=2,y=5 5 B.x=1,y=- 2 C.x=1,y=-1 5 D.x=2,y=- 2 )

答案:D

1 → 2.直线上有 A、B、C 三点,如果 B 分AC的比为- ,则( 2 A.B 是线段 AC 的中点 B.A 是线段 BC 的中点 C.C 是线段 AB 的中点 D.B 是线段 AC 的三等分点

)

答案:B

7 → 3.已知两点 M(-1,-6),N(3,0),点 P(- ,y)分有向线段MN 3 的比为 λ,则 λ,y 的值为( ) 1 1 A.- ,8 B. ,-8 4 4 1 C.- ,-8 4 1 D.4, 8

答案:C

4.将函数y=2x+1的图象按向量a平移得到函数y=2x+1的图
象,则a=________. 答案:(-1,-1)
1 → → 5. 若点 P 分有向线段AB所成的比为- , 则点 B 分有向线段PA 3 所成的比是________.
3 答案:- 2

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 线段的定比分点公式及应用

有向线段的定比分点坐标公式是解决有关共线问题的有力 工具,凡是与共线相联系的问题,通常可以考虑用这一公 式来解.

例1

已知点 A(-1,-4),B(5,2),线段 AB 上的三等分点依

→ 次为 P1、P2,求 P1、P2 点的坐标及 A、B 分P1P2所成的比 λ.

【思路分析】 根据图形,可把 P1、P2 分别看作AB的分点.



【解】

设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),

1 -1+ ×5 2 -2+5 → 1→ → → 则 A P 1= P1B, A P 2=2P2B,∴x1= = =1, 2 1 3 1+ 2 1 -4+ ×2 2 -8+2 y1 = = =-2,即 P1(1,-2). 1 3 1+ 2 -1+2×5 9 -4+2×2 x2= = =3,y2= =0,即 P2(3,0). 3 1+2 1+2 1+λ1· 3 1 → → 由P1A=λ1 A P 2,得-1= ,∴λ1=- , 2 1+λ1 1+λ2· 3 → → 由P1B=λ2 BP2,得 5= ,∴λ2=-2. 1+λ2

【名师点评】

这类题型要确定清楚起点、分点与终点.

考点2

平移公式及应用

利用平移公式可研究点的平移或者曲线的平移. 例2 点(2,-3)按向量a平移后为点(1,-2),则(-7,2) 按向量a平移后点的坐标为( A.(-6,1) C.(-6,3) 【思路分析】 移再得到(-7,2)的平移点 ) B.(-8,3) D.(-8,1) 由(2,-3)平移(1,-2)得向量a,按向量a平

【解析】

设 A(2,-3),B(1,-2),

→ ∴a=AB=(1,-2)-(2,-3)=(-1,1). 设(-7,2)平移的点为(x′,y′),
?x′=-7-1=-8 ? ? ,即(-8,3). ?y′=2+1=3 ?

【答案】

B 平移向量就是旧点指向新点的向量.

【思维总结】

跟踪训练
1.点(2,-3)按向量 a 平移后为点(1,-2),要得到点 (-7,2),则原来的点的坐标为________.
?-7=x-1 ?x=-6 ? ? 解析:设原来的点为(x,y),即? ,得? . ? ? ?2=y+1 ?y=1

答案:(-6,1)

例3

已知抛物线y=x2-2x-8.

(1)求抛物线顶点的坐标;
(2)求将这条抛物线的顶点平移到点(2,-3)时的函数解析式. 【思路分析】 写出平移公式:x与y的表达式代入.

【解】

(1)y=x2-2x-8=(x-1)2-9,

∴顶点(1,-9); (2)由(1,-9)按向量 a 平移得到(2,-3), ∴a=(2,-3)-(1,-9)=(1,6),
?x′=x+1 ?x=x′-1 ? ? ? 平移公式为 ,即? , ? ?y′=y+6 ?y=y′-6 ?

∴y′-6=(x′-1-1)2-9, ∴y′=(x′)2-4x′+1,即 y=x2-4x+1.

【思维总结】

本题已知旧解析式和平移向量求新解析式,

其方法是把x、y的表达式代入原解析式,实质:向右平移1个

单位,向上平移6个单位得到.

跟踪训练
2.(2013· 河北唐山调研)函数 f(x)=2 sin(x+θ)的图象按向量 a ?π,0 ?平移后,它的一条对称轴为直线 x=π,则 θ 的一个可 = 3 ? ? 6 能值是( ) 5π 2π A. B. 12 3 π C. 6 π D. 12

解析:选 B.设 P(x,y)在 f(x)=2sin(x+θ)的图象上,按向量 a ?π,0 ?平移后得到点 P′(x′,y′). = 3 ? ? ?x+π=x′, ?x=x′-π, ? 3 ? 3 则? ∴?

?y+0=y′, ?

?y=y′, ?

?x′+θ-π ?. ∴y′=2sin 3? ?
π 而平移后所得图象的一条对称轴为直线 x= , 6 π π π 2π ∴ +θ- =kπ+ ,k∈Z.∴θ=kπ+ ,k∈Z. 6 3 2 3 2π 当 k=0 时,θ= .故选 B. 3

考点3

向量的定比分点及平移在解析几何中的应用

针对解析几何中点共线的位置关系,用向量作为解题工具,
转化为坐标建立等式.对于非标准曲线按一定的向量平移后 可化为标准曲线.

例4 已知曲线 x2+2y2+4x+4y+4=0,按向量 a=(2,1)平移
后得到曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 D(0,2)的直线与曲线 C 相交于不同的两点 M、N,且 M → → 在 D、N 之间,设DM=λMN,求实数 λ 的取值范围.

→ → 【思路分析】 按向量平移化为标准曲线 C, 利用DM=λMN建 立 M、N 之间的坐标关系,用其坐标表示 λ,求其值域.

【解】

(1)设曲线 C 上的点的坐标为(x′,y′),由平移公式

?x′=x+2 ?x=x′-2 ? ? 得? ,即? .代入曲线方程 ? ? ?y′=y+1 ?y=y′-1

即(x+2)2+2(y+1)2=2 中得到 x′ 2+2y′2=2. x2 2 ∴曲线 C 的方程为 +y =1. 2

? ? (2)设 M(x ,y ),N(x ,y ),则? 2+λy ?y = 1+λ . ?
λx2 x1= , 1+λ
2 1 1 1 2 2

由于点 M、N 在椭圆 x2+2y2=2 上,

?? λx2 ?2+2?2+λy2?2=2, ? 1+λ 故? 2 即 ? 1+λ 2 ? ?x2+2y2=2, 2 ?x2+2y2=2, ? 2
2 2 ?x1+2y1=2, ?

消去

x2得,2λ2+8λy2+8=2λ2+4λ+2,即 2

2λ-3 y2= . 4λ

2λ-3 1 ∵-1≤y2≤1,∴-1≤ ≤1.又∵λ>0,∴解得 λ≥ . 2 4λ 1 故 λ 的取值范围为[ ,+∞). 2

【思维总结】

把原曲线方程进行配方后再平移,就达到了化

→ → 简的目的,比直接把平移公式代入简单.对于DM=λMN ,隐 → 含了 M 为DN的内分点,λ>0.

方法感悟
方法技巧
1.求定比 λ 的方法 (1)定义法 → → ①由向量P1P与PP2是否方向相同决定 λ 的符号,相同为正、相 反为负. → |P1P| → → ②由向量P1P与PP2的长度关系决定 λ 的绝对值,|λ|= . → |PP2| (2)图示法 借助直观图形,依据定义数形结合求解.先利用内外分点确定 符号,再求长度之比.

(3)坐标法 x-x1 y-y1 λ= = . x2-x y2-y 2.起点、分点、终点的选择:P1、P2、P3 三点中,任何一点都 可以作为起点、分点、终点,区分内外分点的关键在于起点、 分点、终点的选择,当分点变化时,内分、外分常互相转化, 因而在计算过程中要灵活选择分点以求方便. 3.利用平移公式研究解析式可解决三类问题 (1)已知平移前解析式和平移向量,求平移后解析式; (2)已知平移后解析式和平移向量,求平移前解析式;

(3)已知平移前后解析式,求平移向量.
?x=x′-h ? 其中,第(1)类问题的解法是将? 代入已知解析式后 ? ?y=y′-k ?x′=x+h ? 化简;第(2)类问题的解法是将? 代入已知解析式后 ? ?y′=y+k

化简;第(3)类问题常用解法是待定系数法.

失误防范
→ → 1. 分有向线段P1P2所成的比 λ 与 P 分有向线段P2P1所成的比 P λ 是不同的. 2.利用平移公式时,要分清哪个是平移前的点的坐标,哪个 是平移后的点的坐标,哪个是平移向量的坐标,注意公式的正 用、逆用及变形使用.

考向瞭望把脉高考
命题预测
这部分知识在高考中很少单独出题,往往是与解析几何中的 曲线结合,根据定比分点的定义,转化为向量共线来体现点 的坐标之间的关系. 向量的平移很少考,2011年的高考中,全国仅天津卷结合坐标 系求向量和的模的最值.2012年高考中,天津卷结合定比分点 及数量积求定比. 预测2014年的高考,这部分知识仍将不会单独出题,只能与 其他知识结合,做为向量共线来转化.

典例透析 例
(2011· 高考天津卷)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,

→ ∠ADC=90° ,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则|PA+ → 3PB|的最小值为________.

【解析】 法一:以 D 为原点,分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设 DC=a,DP=x. ∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a), → → P(0,x),PA=(2,-x),PB=(1,a-x), → → ∴PA+3PB=(5,3a-4x), → →2 ∴|PA+3PB| =25+(3a-4x)2≥25, → → ∴|PA+3PB|的最小值为 5.

→ → 法二:设DP=xDC(0<x<1), → → ∴PC=(1-x)DC, → → → → → PA=DA-DP=DA-xDC, → → → → 1→ PB=PC+CB=(1-x)DC+ DA, 2 → → 5→ → ∴PA+3PB= DA+(3-4x)DC, 2 5 → → 2 25 → 2 → → → ∴|PA+3PB| = DA +2× ×(3-4x)DA · +(3-4x)2· 2 DC DC 4 2 → =25+(3-4x)2DC2≥25, → → ∴|PA+3PB|的最小值为 5.

【答案】

5

【名师点评】

本题考查向量加减及数乘运算,考查学生运算

能力, 观察问题分析问题的能力, 同时也考查了数形结合思想.


相关文章:
【优化方案】2014届高考数学5.3 线段的定比分点和平移 随堂检测(含答案解析)
【优化方案】2014届高考数学5.3 线段的定比分点和平移 随堂检测(含答案解析) 隐藏>> 1.已知点 A( 3,1),B(0,0),C( 3,0).设∠BAC 的平分线 AE 与...
【优化方案】2014届高考数学 5.3 线段的定比分点和平移课时闯关(含解析)
5页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 【优化方案】2014届高考数学 5.3 线段的定比分点和平移课时闯...
【优化方案】2014届高考数学5.3 线段的定比分点和平移 课时闯关(含答案解析)
【​优​化​方​案​】​2​0​1​4​​高​考​数​学​5​.​3​ ​线​段​的​定​比​分​点​和...
2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习课时闯关:5.3 线段的定比分点和平移 Word版含解析]
2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习课时闯关:5.3 线段的定比分点和平移 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习课时闯关:5...
5.3线段的定比分点与平移
5.3线段的定比分点与平移_数学_高中教育_教育专区...并且能熟练运用 掌握平移公式. 【考题分类】 (一)...
2015年高考第一轮复习数学:5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移
2015年高考一轮复习数学:5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移_数学_高中教育_教育专区。5.3 两点间距离公式、 线段的定比分点 与图形的平移 ...
2014年高考一轮复习数学教案:5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移
2014年高考一轮复习数学教案:5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移_数学_高中教育_教育专区。高三数学 2014年 高考第一轮复习数学教案集今日...
线段的定比分点及平移
掌握线段的定比分点公式,并能灵活应用于解题. 2. 理解将一个点按定向量平移的平移公式,会将一个曲线按定向量进行平移. 3.高三数学(理)一轮复习—— 5.5 ...
5.3线段的定比分点与平移
5.4 线段的定比分点与平移... 49页 5财富值 高考一轮复习数学:5.3 .....平移. 【考试要求】 (6)掌握平面两点间的距离公式,以及线段的定比分点和中点...
更多相关标签:

相关文章