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2017中考数学全等三角形的识别1.doc


全等三角形的识别(一)
【重点难点】
重点:⑴掌握三角形全等的识别方法(三) :如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等,那么这 两个三角形全等。 (简记为: “A.S.A.”) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 (简记为: “A.A.S.” ⑵掌握三角形全等的识别方法(四) :有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简 称为: “HL” 难点: “A.A.S.” 、 “A.S.A.” 、 “HL”识别方法的应用。

【学习方法】
1.在认识两个三角形全等的识别方法中,要切实地体会并会用“SSS” 、 “SAS” 、 “ASA” 、 “AAS”及“HL” 的识别两三角形全等。 2. 正确地使用两三角形的全等来证明两线段相等,两个角相等。 3. 全等三角形是两三角形相似时相似比为 1 的特例。

【典型例题分析】
例 1.已知如图,△ABC≌△A’B’C’,AD、A’D’分别 是△ABC 和△A’B’C’的高。试说明:AD=A’D’. 并用一 句话说出你的发现。 分析:由于△ABC≌△A’B’C’,即给出了 AD、A’D’ 所在三角形的一些边角的相等关系。 从而可得到线段 AD 与线段 A’D’相等。 解:因为△ABC≌△A’B’C’,所以 AB=A’B’,∠B=∠B’,(全等三角形的对应边、对应角相等) 因为 AD、A’D’分别是△ABC 和△A’B’C’的高, 所以∠ADB=∠A’D’B’=90° 在△ABD 和△A’B’D’中,∠B=∠B’, ∠ADB=∠A’D’B’, AB=A’B’, 所以 △ABD≌△A’B’D’ (AAS) 所以 AD=A’D’ 总结:全等三角形对应边上的高相等。

A

A'

B

D

C

B'

D'

C'

例 2.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为 D、E,BE,CD 相交于点 O,且∠1=∠2,试说明 OB=OC。 分析:要证:OB=OC 两条线段相等,即证这两条线段所在的三角形全等,即△ADO 和△AEO 全等。 解:因为 CD⊥AB,BE⊥AC, 所以∠ADO=∠AEO=90° 又因为∠1=∠2,AO=AO,

A
12

D B O

E C

所以△ADO≌△AEO (AAS) 所以 DO=OE 又因为∠BDO=∠CEO=90°,∠BOD=∠EOC, 所以 △BDO≌△CEO (ASA) 所以 OB=OC. 变式一:如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为 D、E,BE,CD 相交于点 O,且 OB=OC,试说明∠1=∠2。 分析:要证:∠1=∠2 两角相等,即证∠1、∠2 所在的△ADO 和△AEO 全等,在△ADO 和△AEO 中,有
∠ADO=∠AEO,且 AO=AO,故只要证 OD=OE,即证△BDO 与△CEO 全等。

解:因为 CD⊥AB,BE⊥AC,所以∠ADO=∠AEO=90°。 又因为∠BOD=∠EOC,BO=OC, 所以△BDO≌△CEO(AAS). 所以 OD=OE. 在 Rt△ADO 与 Rt△AEO 中, OD=OE, AO=AO 所以 Rt△ ADO≌Rt△AEO (HL) 所以 ∠1=∠2。

A
12

D B O

E C

变式二: 如图: 已知点 D 在 AB 上, 点 E 在 AC 上, BE 和 CD 相交于点 O, AB=AC,∠B=∠C,试说明 BD=CE. 分析:要证 BD=CE,按上例证法,即证△BOD≌△COE 较困难,如果能证明 AD=AE,则 BD=CE. 而判 断△ADC≌△AEB 比较容易。 解:在△ADC 和△AEB 中,
∠A=∠A, AC=AB, ∠C=∠B。

A

△ACD≌△ABE(ASA) 所以 AD=AE,又因为 AB=AC, 所以 BD=CE.

D O B

E

C

变式三:如图,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 上,BE 和 CD 相交于点 O,BD=CE,∠B=∠C,试说明 AB=AC. 分析:要证 AB=AC,只要证明△BAE≌△CAD,即证△BDO≌△CEO 即可。 解:在△BOD≌△COE 中,
∠B=∠C,∠BOD=∠COE,BD=CE.

所以 △BDO≌△CED (AAS) 所以 OB=OC, OD=OE. 所以 BO+OE=OC+OD. 所以 BE=CD 在△ABE 和△ACD 中,

A

D O B

E

C

BE=CD,∠A=∠A,∠B=∠C 所以 △ABE≌△ACD(AAS) 所以 AB=AC.

变式四:已知:在 AB、AC 上各取一点 E、D,使 AD=AE,连结 BD、CE 相交于点 O,连结 AO,∠1=∠2,试 说明∠B=∠C. 分析: 要证∠B、 ∠C 两角相等, 即证△BAO 与△CAO 全等, 即证∠AOB=∠AOC, 也就是要证∠AOE=∠AOD, 即证 △AEO 与△ADO 全等。 解:在△AEO 与△ADO 中, AE=AD,∠1=∠2,AO=AO 所以 △AEO≌△ADO (SAS) 所以 ∠AOE=∠AOD 又因为 ∠BOE=∠COD 所以 ∠AOB=∠AOC 在△AOB 与△AOC 中
∠1=∠2,AO=AO, ∠AOB=∠AOC

A
12

E O B

D

C

所以△AOB≌△AOC (ASA) 所以 ∠B=∠C.

例 3 如图,点 C 为线段 AB 上一点,△ACM、△CBN 是等边三角形,直线 AN、MC 交于点 E,直线 BM,CN 交于点 F.
⑴试猜想线段 AN、BM 的大小关系; ⑵试判断△CEF 的形状; ⑶将△ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°,其他条件不变,在图 2 中补出符合要求的图形,并判断

第⑴、⑵两小题结论是否仍然成立?

N

N M E
分析: ACM 、 △

C

B
据 △

F C B (1)
有已知根 CBN 是等

M A (2)

A

边 三 角 有 △

形,可得到△CAN≌△MCB,即可得到∠ANC=∠CBF,也 NCE≌△BCF,即 CE=CF,即有△CEF 为等边三角形。 解:⑴因为△ACM、△CBN 是等边三角形 所以 AC=MC,CN=CB,

因为∠ACM=∠BCN=60°, 所以∠CAN=60° 所以△ACN≌△MCB 所以 AN=BM
⑵由△CAN≌△MCB 得∠ANC=∠MBC

N

C M F A

E B

又 CN=CB,∠BCF=∠NCE=60° 由∠ENC=∠FBC, 所以△BCF≌△NCE. 所以 CE=CF 又∠ECF=60°,所以△CEF 是等边三角形
⑶补出图形如图所示,AN=BM 仍然成立

△CEF 是等边三角形不成立。 例 4.已知,在△ABC 和△A’B’C’中,CD、C’D’分别是高,且 AC=A’C’,AB=A’B’,CD=C’D’.判断△ABC 与△A’B’C’是否全等,说说你的理由。 分析:由已知可知三角形形状不惟一,所以解此题要分类讨论。

C

C'

A

D

B

A'

D'

B'

解:当△ABC 和△A’B’C’都为锐角三角形时 因为 CD、C’D’分别是△ABC 和△A’B’C’高, 所以∠ADC=∠A’D’C’=90°,又 AC=A’C’,CD=C’D’ 所以 Rt△ADC≌Rt△A’D’C’ (理由 则有∠A=∠A’. 在△ABC 和△A’B’C’中 AC=A’C’,∠A=∠A’,AB=A’B’, 得△ABC≌△A’B’C’. 当△ABC 为锐角三角形,△A’B’C’为钝角三角形。 )

C

C'

A

D

B

D'

A'

B'

显然,△ABC 与△A’B’C’不全等。 当△ABC 和△A’B’C’都是钝角三角形时

C

C'

D

A

B

D'

A'

B'

由 CD=C’D’ , AC=A’C’,∠D=∠D’=90°。根据 HL 可得到△ACD≌△A’C’D’ 得 ∠CAD=∠C’A’D’,于是
∠CAB=∠C A B
’ ’ ’

所以 △ABC≌△A’B’C’ 说明:当两个三角形有对应高相等时要注意分类讨论。如两个三角形有两边及第三边上的高对应相等的两 个三角形不一定全等。

例 5.如图⑴,A、E、F、C 在一条直线上,AE=CF,过 E、F 分别作 DE⊥AC,BF⊥AC,若 AB=CD,试说 明 BD 平分 EF。若将△DEC 的边 EC 沿 AC 方向移动变为⑵时,其余条件不变,上述结论是否成立,请说 明理由。

B A F C
A

B GE F (2) D C

E D

G

(1)

要说明 BD 平分 EF,即 FG=EG,可通过△ BFG≌△ DEG 得到, 为此由已知先说明 Rt△ ABF≌Rt△ CDE 得 到 BF=DE 即可。 解:⑴因为 DE⊥AC,BF⊥AC 所以∠DEG=∠BFE=90° 因为 AE=CF,AE+EF=CF+EF 即 AF=CE 在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中, 因为 AF=CE,AB=CD 所以 Rt△ABF≌Rt△CDE (HL) BF=DE. 在△BFG 和△DEG 中,

∠BFG=∠DEG,∠BGF=∠DGE,BF=DE

所以△BFG≌△DEG(AAS) 所以 FG=EG,即 BD 平分 EF
⑵说明方法是:由 AE=CF,得 AF=CE

结合已知得 Rt△ABF≌Rt△CDE 所以 BF=DE 所以△BFG≌△DEG (AAS) 所以 FG=EG 故 结论依然成立。

同步练习
一、填空题: 1.如图,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 上,CD 与 BE 相交于点 O,且 AD=AE,AB=AC,若∠B=20°,则
∠C=

.

2. 如图,点 F、 C 在线段 BE 上,且 ∠1 = ∠2 , BC=EF. 若要使△ ABC≌ △ DEF, 则还须补充一个条 件: 。

3. 如图,∠1=∠2,要使△ABE≌△ACE,还需添加一个条件是
A



A
D O B
(1)

D

B A E
1 2

E

B
C

1 2

F C (2)

E

(3)

C

二、选择题: 4. 如图,E 在 AB 上, D 在 AC 上,且∠B=∠C,那么补充下列一个条件 后,仍无法判定△ABE≌△ACD 的是( A. AD=AE B. ∠AEB=∠ADC C. BE=CD ) D. AB=AC

C D

A

E
A O D

B

5.如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=CD,对角线 AC 与 BD 交于点 O,则图中全等三角形共有( A. 1 对 三、解答题 6. 如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=CD,OA=OC.求证:△AOB≌ △COD. B. 2 对 ) C. 3 对 D. 4 对

B

C

D O A B

C

7.已知:如图点 A、E、F、C 在同一条直线上,AD∥BC,AD=CB,AE=CF.求证:BE=DF

A E

D F B C

8.已知:如图梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=BC,E 为底边 AB 的中点。求证:DE=CE。

D

C

A

E

B

9.已知:如图,点 D 是等腰△ ABC 底边 BC 上的一点,它到两腰 AB、AC 的距离分别是 DE、DF, 当点 D 在什么位置时,DE=DF?并加以证明。

A

E B

D

F C

10.已知:如图,AB=AF,BC=FE,∠B=∠F,D 是 CE 的中点。⑴求证:AD⊥CE;⑵连结 BF 后,还能得 出什么新的结论(请写出两个,不要求证明)?

A

B
11.如图,B、C、E 三点在一条直线上,△ ABC 和△ DCE 均为等 边三角形,连结 AE、DB.
⑴求证: AE=DB; ⑵如果把△DCE 绕点 C 顺时针再旋转一个角

F C E

D

度,⑴中的结论还成立吗?

D A

B

C

E

12.在△ABC 中,AC=BC,∠C=90°,将一块三角板的直角顶点放在斜边 AB 的中点 P 处,将三角板绕 P 点旋转,三角板的两直角边分别交 AC、CB 于 D、E 两点,如图(1) 、 (2)所示。

A D C P B

A P D C (2) B
C

A P B (3)

E (1)

E

⑴ 问 PD 与 PE 有何大小关系?并以图⑵为例证明; ⑵ 在旋转过程中,还会存在与图⑴、⑵不同的情形吗?若存在,请在图⑶中画出,并加以证明。

参考答案: 一、填空题: 1. 20°2.∠B=∠E(或 AC=DF 或∠A=∠D) 3.∠BAE=∠CAE (或∠B=∠C 或 EB=EC) 二、选择题: 4. B 5.C 三、解答题 6.因为 AB∥CD,所以 ∠C=∠A, ∠B=∠D,所以可以证出△AOB≌△COD 7.可先证明△ADF≌△CBE 8.先证明△ADE≌△BCE. 9.点 D 在 BC 中点时,DE=DF;即可证△EBD≌△FCD. 10.⑴连结 AC、AE,可先证△ABC≌△AFE; ⑵如果 AD⊥BF,AD 平分 BF,BF∥CE 等。 11.⑴可证:△ACE≌△BCD ⑵成立。 12.⑴相等,连结 CP,证明△PDC≌△PEB.
⑵存在,如图,与 AC、CB 的延长线相交的情形。

A P C D E

B


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