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江苏南通四所名校2011届高三数学一轮复习课件:1章优化总结


本章优化总结

知识体系网络
元素与集合 集合的概念 集合的表示 子集、真子集

集 合

集合的基 本关系 集合相等 交集 集合的基 本运算 m 并集 补集

性质

子、交、并 的性质 数轴与 Venn图

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热点一 集合的意义与运算

1.集合之间的关系 集合之间有包含和运算两种关系, 这两种关系在具体问题中往往相互 交织在一起,在运算关系中含有包 含关系,在包含关系中含有运算关 系.对这些关系的分析是一个难点, 破解的方法就是根据集合关系的有 关概念以及借助于图形进行直观判 断,把集合与集合之间的各种关系

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2.含有参数的集合问题 含有参数的集合问题一般是方程的解集、 不等式的解集、函数的定义域与值域等问题, 要结合有关的知识,根据具体情况确定分类 讨论的标准,如对于二次项含参数的一元二 次方程,要注意根据二次项的系数进行分类 讨论,而对于对数问题,就要根据对数的底 数的值进行分类讨论.

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3.空集 空集是任何集合的子集,是任何非空集合 的真子集,在不少问题中空集是隐含在其中 的,在这类问题中能否知道何处存在空集、 何时使用空集是解决问题的关键,往往也是 个难点,破解的方法是在解题时要有“空集” 的思想及对集合进行分类讨论的意识.

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例1 为两个集合, 设A,B为两个集合,下列四个命 , 为两个集合 题: ①A B?对任意 ∈A,有x?B; ?对任意x∈ , ? ; ② A B ?A∩B=?;③ A B ?A? = ? B;④ A B ?存在 ∈A,使得 ?B. 存在x∈ ,使得x? ; 其中真命题的序号是_ 其中真命题的序号是 _____.(把 .把 符合要求的命题序号都填上) 符合要求的命题序号都填上

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【思路点拨】 求解本题的关 键是A B的含义,它表示集合A不 是集合B的子集,清楚这点后就可 以根据概念或结合韦恩图进行分析 解析】 法一: B的含义即A不是 【解析】 法一:A 解决. 说明集合A中至少有一个元素不是集 B的子集, 的子集,
中的元素, 合B中的元素,但是集合A中的元素可能也有属 ①②不正确 不正确, 正确. 于集合B的,故①②不正确,④正确.当集合A 的子集时, 不是集合B的子集时,集合B可以是集合A的真 子集, 的子集, 子集,当然也就是集合A的子集,故③不正 综上,只有④正确.故填④ 确.综上,只有④正确.故填④.

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法二:用韦恩图表示出AB的各种 情况,如下图所示:

由图(2)可以看出③不正确,图(3) 说明①②有成立的可能.综合分析

由上图(1)可以看出①②不正确, 【答案】 ④ 答案】

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【点评】 本题的难点在于对集合A 不是集合B的子集的各种可能情况进行判 断,特别是图(2)中的情况,可能会认为 既然集合A不是集合B的子集,那么集合B 就一定不是集合A的子集.解决这类不给 出具体元素的抽象集合问题,明确集合问 题中的各个概念,借助于韦恩图进行分析 是化解难点的必要保证.

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例2
m-4 - 已知集合 M={m| 2 ∈Z}, = , p+3 + P = {p| Z} M∩P = ∩ 2 ∈ ,则 _______.

【思路点拨】 根据两个集合 中元素的特征分析m,p所满足的条 件,确定出集合M,P即可.

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m-4 - m 解析】 为整数, 【解析】 欲使 2 为整数, 即要 2 为整数, 为偶数. 为整数,∴m 为偶数. p+3 p+1 + + 为整数, 为整数, 欲使 2 为整数,即要 2 为整数, 为奇数. ∴p 为奇数. 是偶数集, 故 M 是偶数集, P 是奇数集, M∩P 而 是奇数集, ∴ ∩ 故填? =?.故填?. 故填

【答案】 ?

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【点评】 用描述法表示的集合, 其代表元素的特征是解决问题的关 键,本题就是根据其代表元素m,p 分别是偶数和奇数得到了两个集合 的具体元素特征解决的.在解决与 集合的元素有关的问题时要牢牢抓 住集合代表元素的特征,分析其中 的规律,这是化解该类问题难点的 主要方法.

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例3 集合M= 集合 ={x|x=2n-2m,n,m = , ∈N,且n>m},P={x|1912≤x≤2010, , , = , x∈N},则M∩P中所有元素的和等 ∈ , 中所有元素的和等 于________. .

【思路点拨】 集合M中的元素 是2的自然数幂的差,由于n,m值 之间没有确定的数量关系,就需要 根据其特点进行尝试解决.

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【解析】 首先求出在 [1912,2010]内形式为2n-2m的整 数,∵210=1024,211=2048,因 此n=11,根据1912≤2048- 2m≤2010,得38≤2m≤136,此时 只有m=6,7,∴M中满足条件的 数为2048-64=1984,2048-128 =1920,这两个数字的和是3904. 故填3904. 【答案】 3904

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【点评】 对本题中集合的 代表元素的特征分析是难点,由 于m,n值的不确定性就给解决问 题带来了很大的困难,化解这个 难点的方法就是根据元素所在的 区间首先找到n的值,就本题而 言n的值只能等于11,这样只要 根据集合的元素所在的区间确定 出m的值问题就解决了.实际上 本题中集合M的元素是可以进行 列举的,如n=1,m=0,此时x

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考点二 集合中的创新概念问题

1.紧扣新定义 新定义型试题的难点就是对新定义的 理解和运用,在解决问题时要分析新定义 的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄 清楚,并能够应用到具体的解题过程之中, 这是破解新定义型试题难点的关键所在.

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2.用好集合的性质 集合的性质(概念、元素的性质、运 算性质等)是破解集合类创新型试题的基 础,也是突破口,在解题时要善于从试 题中发现可以使用集合性质的一些因素, 在关键之处用好集合的性质.

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例4 对于非空集合M, , 对于非空集合 ,P,把所有属 而不属于P的元素组成的集合称 于M而不属于 的元素组成的集合称 而不属于 的差集, 为M与P的差集,记作 -P,用数学 与 的差集 记作M- , 符号描述这一集合, 符号描述这一集合,则M-P={x|___ - = _____},且在下列给出的 个集合中, 个集合中, ,且在下列给出的5个集合中 必与M- - 相等的集合的序号是 必与 -(M-P)相等的集合的序号是 ________. . ①M;②P;③M∩P;④M∪P; ; ; ; ∪ ; ⑤?.

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【思路点拨】 充分利用Venn图求 解. 【解析】 由定义,知M-P表示的是 在M中而不在P中的元素的集合,∴M-P ={x|x∈M,且x?P},从而M-(M-P)表 ? 示的是在M中且在P中的元素的集合,即 M∩P.

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【答案】 x∈M,且x?P ③
【点评】 本题是新定义题目, 点评】 本题是新定义题目, 难点在于对新定义的理解和运用, 难点在于对新定义的理解和运用, 只要把这个新定义理解透彻就容 易破解试题的难点, 易破解试题的难点,可以借助于 韦恩图进行理解,如右图所示, 韦恩图进行理解,如右图所示, M-P是在 而不在 中的元素的集 是在M而不在 是在 而不在P中的元素的集 合,即

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区域中的1所示的部分,M(M-P)是在M而不在M-P中的元 素的集合,即区域中在2而不在 1中的元素的集合,即区域2表 示M-(M-P),故M-(M-P)=M∩P.

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例5 对任意两个正整数m、 , 对任意两个正整数 、n,定义某 种运算(用 表示运算符号): 种运算 用?表示运算符号 :当m、n 、 都是正偶数或都是正奇数时, ? = 都是正偶数或都是正奇数时,m?n= m+n(如4?6=4+6=10,3?7=3+7= + 如 ? = + = ? = + = 10等);当m、n中有一个正奇数,另一 中有一个正奇数, 等; 、 中有一个正奇数 个为正偶数时, ? = 个为正偶数时,m?n=mn(如3?4=3 如 ? = ×4=12,4?3=4×3=12等),则在上 = ? = × = 等, 述定义下,集合M= 述定义下,集合 ={(m,n)|m?n=36, , ? = , m,n∈N*}中元素的个数为 中元素的个数为________. , ∈ 中元素的个数为 .

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【思路点拨】 根据给出的 定义,分类讨论即可解决.
【解析】 (1)当 m、n 都是正偶数 解析】 当 、 或都是正奇数时, ? = + = , 或都是正奇数时,m?n=m+n=36, ?m=1, ?m=2, ? = , ? = , ∴? 或? 或…或 ?n=35 ?n=34 ? = ? =
?m=35, ? = , ? ?n=1, ? = ,

个元素; 即此时有 35 个元素;

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(2)当m、n中有一个是正奇数, 另一个是正偶数时, ∵m?n=mn=36, ?m=3, ? ?m=1, ?m=36, = , = , = ,
? ∴? ?n=36 ? = ? 或? ?n=1 ? = ? 或? ?n=12 ? = ?m=12, ? = , ? ?n=3 ? = ?m=4, ? = , 或? ?n=9 ? = ?m=9, ? = , 或? ?n=4, ? = ,



【答案】 41 答案】

即此时有6个元素.

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【点评】 本题的难点在于 需要理解新定义并把新定义转化 为分类讨论,再将其转化为不定 方程的正整数解的个数,其中最 难的就是当m、n一个为正偶数, 一个为正奇数时,mn=36的解, 实际上就是对36进行因数分解, 分解为一个正奇数和一个正偶数 的乘积,并注意分解的顺序.集 合问题常常与一些整数问题交汇

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考点三 集合的综合性问题

1.转化 在集合所涉及的综合性问题 中,集合的知识固然是一个重要 方面,但更重要的是集合的外表 下所蕴涵着的一些规律,要通过 分析题目的已知条件和结论,把 这些规律找出来,脱掉集合的外 衣,把问题的本质揭示出来,这

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2.充分利用其他知识 集合所涉及的综合性问题中解题的关 键往往不是集合本身的知识,而是高中数 学的其他重要知识,在解题时这些知识的 灵活应用是破解难点的另一个关键所在.

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例6 是两个实数, = , = 设a,b是两个实数,A={x,y|x= , 是两个实数 n,y=na+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m, , = + , ∈ , = , = , y=3m2+15,m∈Z},C={(x,y)|x2+y = , ∈ , = , 2≤144}是平面 是平面xOy内的点集,讨论是否 内的点集, 是平面 内的点集 存在a和 ,使得(1)A∩B≠?;(2)(a,b)∈ 存在 和b,使得 ? , ∈ C同时成立. 同时成立. 同时成立

【思路点拨】 根据已知将 点(a,b)转化为符合某种条件的 点集,讨论这些点集是否存在 公共元素.

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【解】 如果存在实数 a 和 b 使得(1)成 立,于是存在整数 m 和 n 使得(n,na+b)= ?m=n, ? 2 (m,3m +15),即 ? 由此得 ?na+b=3m2+15, ? 出, 存在整数 n 使得 na+b=3n2+15, 或写成 na+b-(3n2+15)=0,

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这个等式表明点 P(a,b)在直线 l: , 在直线 : nx+y-(3n2+15)=0 上,记从原点到直 + - = 3n2+15 = 线 l 的距离为 d, 于是 d= 2 , = n +1 n2+1 2 6( )≥12 , 当 且 仅 当 + ≥ 2 n2+1 n2+1 =1,即 n2=3 时上式中等号才成 , 2 是整数, 立,由于 n 是整数,因此 n2≠3,所以上 , 式中等号不可能成立, 式中等号不可能成立,即 d>12, ,

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因为点 P 在直线 l 上,点 P 到原点 的距离 a2+b2必满足 a2+b2≥d>12. 而 (2) 成 立 要 求 a2 + b2≤144 , 即 a2+b2 ≤12.由此可见使得 成立的 a 由此可见使得(1)成立的 由此可见使得 必不能使(2)成立 成立. 和 b 必不能使 成立. 所以, 使得(1), 所以,不存在实数 a 和 b 使得 , (2)同时成立. 同时成立. 同时成立

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【点评】 本题的难点在于题目中的集合是以 点评】 为代表元素, 点(x,y)为代表元素,而要解决的是点 ,b)所满足 , 为代表元素 而要解决的是点(a, 所满足 的点集问题, 的点集问题,破解这个难点的方法就是根据已知条 件实现从点集(x, 到点集 到点集(a, 的转化 的转化, 件实现从点集 ,y)到点集 ,b)的转化,问题的突 使得(n, 破口就是当 A∩B≠?时,存在整数 m 和 n 使得 , ∩ ≠ na+b)= na+b)=(m,3m2+15),适当整理后即 na+b-(3n2 15), na+b- +15)=0,这时把这个式子看做关于 a,b 的方程, = , , 的方程, 中的直线方程, 这个方程就是平面 aOb 中的直线方程, 这样就把问 题归结为平面 aOb 中的这条直线与平面 aOb 中的 圆形区域“ 圆形区域“a2+b2≤144”是否存在公共点的问题, ”是否存在公共点的问题, 这样就破解了本题的难点.在一些问题中, 这样就破解了本题的难点.在一些问题中,往往主 次相互转化是实现解题的关键突破口. 次相互转化是实现解题的关键突破口.


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