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江苏南通四所名校2011届高三数学一轮复习课件:8章优化总结


本章优化总结

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任意角 任意角、 弧度制 弧度制 弧度制与角度制的互换 三角函数概念 念 任意角的 三角函数 诱导公式 任意角的三角函数 同角三角函数关系

三 角 函 数

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描点法 三角函数线法 三角函数 的图象 五点法 变换法 三角函数的 图象和性质 三角函数 的性质 单调性 对称性——奇偶性 最值 三角函数的应用,函数y=Asin(ωx+ φ)+k,(A, ω, φ,k为常数,A ≠ 0,ω ≠ 0,)的应用 定义域、值域

三 角 函 数

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热点一 三角函数的图象及其变换

三角函数图象的难点在于三角 函数图象的变换.要突破这一难点, 就要熟知三角函数图象变换的一般 方式:先作周期变换、再作相位变 换,也可以先作相位变换、再作周 期变换.同时要注意的是:若先作 周期变换,得到函数y=sinωx的图 象,再作相位变换,将所得函数的 图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|

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1 2 3 例1 已知函数 y= cos x+ sinxcosx+ = + + 2 2 1(x∈R) , 该 函 数 的 图 象 可 由 y = ∈ sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸 ∈ 的图象经过怎样的平移和伸 缩变换得到. 缩变换得到.

【思路点拨】 先将函数变形为 y=Asin(ωx+φ)+B的形式,再运 用函数图象变换.在进行函数图 象变换中,有以下两种方式,即 先进行平移变换,再进行伸缩变 换;或先进行伸缩变换,再进行

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1 2 3 解】 法一:y=2cos x+ 2 sinxcosx+1 3 1 1 2 =4(2cos x-1)+4+ 4 (2sinxcosx)+1 1 3 5 =4cos2x+ 4 sin2x+4 1 π π 5 =2(cos2xsin6+sin2xcos6)+4 π 5 1 =2sin(2x+6)+4.

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π 将 y=sinx 向左平移 个单位长度得 y 6 π =sin(x+ ), 再把所得图象上所有点的横 6 1 π 坐标变为原来的 倍得 y=sin(2x+ ),再 2 6 把所得图象上所有点的纵坐标变为原来 1 1 π 的 倍, y= sin(2x+ ), 得 再把函数图象 2 2 6 5 1 π 向上平移 个单位长度, y= sin(2x+ ) 得 4 2 6 5 + . 4

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1 π 5 法二: 化简同上, y= sin(2x+ )+ . 2 6 4 1 将 y=sinx 横坐标缩小为原来的2倍 π 得 y=sin2x, 再把函数图象向右平移 个 12 π 单位长度得 y=sin2(x+ ),再将纵坐标 12 1 1 π 缩小为原来的 倍得 y= sin2(x+ ),再 2 2 12 5 将所得函数图象向上平移4个单位长度得 1 π 5 1 π 5 y= sin2(x+ )+ = sin(2x+ )+ . 2 12 4 2 6 4

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【点评】 本题是一个函数图象变换的 问题, 其难点在于对两种变换方式的把握. 要 突破这一难点,就要掌握这两种变换的规律, 即先相位变换、再周期变换(如法一),或先周 期变换、 再相位变换(如法二). 而先周期变换, 再相位变换时,要注意的是由 y=sin2x 的图 π π 象向左平移 (而不是 )个单位长度,得到 y 12 6 π =sin2(x+ )的图象.这也就是说,将函数 y 12 的图象沿着 x 轴左右平移时,是在 x 后边加 减.这是这类问题最容易出现错误的地方, 我们要给予重视.

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考点二 三角函数的性质

三角函数与图象相关的性质:三角 函数y=Asin(ωx+φ)的图象在其对 称轴处取到最大值或最小值,且相 邻的最大值与最小值之间的距离为 其函数的半个周期 ;函数图象与x轴 1 的交点是其对称中心,相邻两对称 中心之间的距离也是函数的半个周
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x x 2x 例2 已知函数 f(x)=2sin cos - 2 3sin + 3. = 4 4 4 (1)求函数 f(x)的最小正周期及最值; 的最小正周期及最值; 求函数 的最小正周期及最值 π (2)令 g(x)=f(x+ ),判断函数 g(x)的奇偶性, 的奇偶性, 令 = + , 的奇偶性 3 并说明理由. 并说明理由.

【思路点拨】 本题第(1)问,先 将函数f(x)化为y=Asin(ωx+φ)的 形式,再由公式求其最小正周期, 然后求出其最值;本题第(2)问, 先求得函数g(x)的解析式,再利用 定义去确定函数g(x)的奇偶性.

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x 2x 【解】 (1)∵f(x)=sin + 3(1-2sin ) 2 4 x x x π =sin2 + 3cos2 =2sin(2 +3 ), 2π ∴f(x)的最小正周期 T= 1 =4π. 2 x π 当 sin( 2+3)=-1 时, f(x)取得最小值-2; x π 当 sin( + )=1 时,f(x)取得最大值 2. 2 3

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x π (2)由(1)知,f(x)=2sin( + ). 2 3 π 又 g(x)=f(x+ ), 3 1 π π ∴g(x)=2sin[ (x+ )+ ] 2 3 3 x π x =2sin( + )=2cos . 2 2 2 x x ∴g(-x)=2cos(- )=2cos =g(x), 2 2 ∴函数 g(x)是偶函数.

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【点评】 本题是三角函数有 关性质的应用问题,正确求解的 难点是函数f(x)与g(x)的解析式的 确定.要突破该难点,就要熟悉 三角函数恒等变换的公式,把握 三角函数恒等变换的技巧,灵活 而准确地进行化简.

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考点三 三角函数的求值、 三角函数的求值、化简与证明

三角函数的求值、化简与证明 的难点在于:其一,如何牢固记 忆众多公式;其二,如何根据三 角函数的形式去选择合适的求值、 化简与证明的方法.

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例3 如图所示,在平面 如图所示, 直角坐标系xOy中,以 中 直角坐标系 Ox轴为始边作两个锐角 轴为始边作两个锐角 α,β,它们的终边分别 , , 交单位圆于A, 两点 已知A, 两点的 两点. 交单位圆于 ,B两点.已知 ,B两点的 2 2 5 . 横坐标分别是 , 10 5 (1)求tan(α+β)的值; 的值; 求 + 的值 (2)求α+2β的值. 的值. 求 + 的值

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【思路点拨】 本题是三角函数 的求值问题,对第(1)问,先利用 条件,结合三角函数的定义可以 求得cosα,cosβ,既而求出sinα, sinβ,再求得tanα,tanβ,最后由 和角公式计算出tan(a+β)的值; 对第(2)问,先由第(1)问,利用角 变换求得tan(α+2β)的值,再由角 的范围确定角α+2β的大小.

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【解】 (1)由已知条件及三角函数的定义,可 2 2 5 知 cosα= 10 ,cosβ= 5 . 因为 α 为锐角, sinα>0, 故 从而 sinα= 1-cos2α 7 2 = 10 ; 5 2 同理可得 sinβ= 1-cos β= , 因此 tanα=7, 5 1 tanβ= . 2 1 7+ tanα+tanβ 2 所以 tan(α+β)= = =-3. 1 1-tanα·tanβ 1-7×2

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(2)tan(α + 2β) = tan[(α + β) + β] = 1 -3+2 =-1. 1. 1 1-(-3)×2 π π 3π 又 0<α< ,0<β< ,故 0<α+2β< . 2 2 2 从而由 tan(α+2β)=-1,得 α+2β 3π = . 4

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【点评】 本题是一道综合三角 函数的定义、同角三角函数的关系、 和差角公式等的“给值求值”及 “给值求角”的问题.问题求解的 难点就是要根据条件求出tanα, tanβ,因此,第(1)问求解的关键 是要利用三角函数的定义与同角三 角函数的关系求出tanα,tanβ;第 (2)问主要是利用角变换求得tan(α +2β)的值,进而确定角α+2β的 大小.对于这类“给值求角”的问


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