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奥狐杯竞赛函数第一讲


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奥狐杯竞赛函数第一讲:高考常考考点和几大思想方法 1.高考考什么
①高考常考点:定义域、值域、解析式求法、单调性、奇偶性、周期性、对称性; 例: (1)已知 f ? x ? ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是偶函数,定义域为 ? a ?1,2a?

,则 a ? ?, b ? ? (2)已知函数 f ? x ? ? x ?
2

a ? x ? 0, a ? R ? x

1)讨论函数 f ? x ? 的奇偶性,并说明理由; 2)若函数 f ? x ? 在 [2, ??) 为增函数,求实数 a 的取值范围; 思考:上面 2 道题考察了哪些知识点? ②重点掌握的 7 大函数及其图像:二次函数、三角函数、对勾函数、指数函数、对数函数、 幂函数、分式函数;

ax ? b (c ? 0, ad ? bc) 的图象和性质: cx ? d d (1)定义域: { x | x ? ? } c a (2)值域: { y | y ? } c d d (3)单调性:单调区间为 (??, ? ), ( ? , +?) c c d a (4)渐近线及对称中心:渐近线为直线 x ? ? , y ? ,对称中心 c c d a 为点 ( ? , ) c c (5)奇偶性:当 a ? d ? 0 时为奇函数。
分式函数 y ?
-10 -5

8

6

4

a c

2

O -2

d c

5

③综合考点:函数与方程综合、函数与不等式综合、函数与数列综合等。 ④常用思想方法:分类讨论、构造函数、数形结合、化归思想

2.本章需要了解的知识点
(1)有关函数的一个基本性质 定义域为 (?l , l ) 的任意函数都能表示为一个奇函数与一个偶函数之和。这是由于

f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) ? , 2 2 f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) 显然, 是偶函数, 是奇函数。 2 2 f ( x) ?
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(2) 函数的单调性(高考和竞赛考察的重点) A.单调性的定义的等价形式:设 x1,x2∈[a,b], f?x1?-f?x2? 那么(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0? >0?f(x)在[a,b]上是增函数; x1-x2 f?x1?-f?x2? (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0? <0?f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 例 : 已 知 函 数 f ? x ? 是 定 义 在 ??1,1? 上 的 奇 函 数 , 且 f ?1? ? 1 , 若 任 意

a, b ?? ?1,1? , a ? b ? 0 ,有

f ? a ? ? f ?b? ?0 a?b

1)判断 f ? x ? 在 ??1,1? 上的单调性,并加以证明;
2 2)解不等式 f ? x ? ? f x ? 3x ? 3 ? 0 ;

?

?

3)若 f ? x ? ? m2 ? 2mk ? 1 对所有的 x ???1,1? , k ???1,1? 恒成立,求实数 m 的取值范围; B.若函数 f(x)和 g(x)都是减函数,则在公共定义域内,f(x)+g(x)是减函数;若函数 f(x)和 g(x)都是增函数,则在公共定义域内,f(x)+g(x)也是增函数;根据同增异减判断复合函数 y =f[g(x)]的单调性. (3)奇偶性 A. f(x)为奇函数?f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0;f(x)为偶函数?f(x)=f(-x)=f(|x|)?f(x)- f(-x)=0.只有当定义域关于原点对称时,这个函数才能具有奇偶性. B. f(x)是偶函数?f(x)的图象关于 y 轴对称;f(x)是奇函数?f(x)的图象关于原点对称. C. 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调 性. D. 若 f(x+a)为奇函数?f(x)的图象关于点(a,0)中心对称;若 f(x+a)为偶函数?f(x)的图象关 于直线 x=a 对称. E. 在 f(x),g(x)的公共定义域上:奇± 奇=奇,偶± 偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶, 奇×偶=奇. (4)函数的周期性的结论 (1)若 y=f(x)在 x∈R 时,f(x+a)=f(x-a)恒成立,则函数 f(x)的周期为 2|a|. 1 (2)若 y=f(x)在 x∈R 时,f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)=± 恒成立,则函数 y=f(x)的周期为 f?x? 2|a|. (5)函数的对称性 A.重要结论:(1)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),即 f(x)=f(2a-x),则 f(x)的图象关于直 线 x=a 对称.

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a+b B.若 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称. 2 C.若函数 y=f(x)满足 f(x)=2b-f(2a-x),则该函数图象关于点(a,b)成中心对称. (2011 河北省预赛)函数 f ? x ? ?

例 1.

x x ?1 x ? 2 x ? 2010 ? ? ? ??? ? 的图像的对 x ?1 x ? 2 x ? 3 x ? 2011

称中心为 【解析】 f ? x ? ? 2011 ? ? 记 g ? x? ?

1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ??? ? ?, x ? 2011 ? ? x ?1 x ? 2 x ? 3

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? x ?1 x ? 2 x ? 3 x ? 2011

则 f ? x ? ? ?g ? x ? ? 2011 ,易见

g ? x ? 1006 ? ?

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 为奇函数,它关于点 ? 0, 0 ? x ? 1005 x ? 1004 x ? 1003 x ? 1005

对 称 , 故 g ? x ? 关 于 点 ?1006,0? 对 称 , ? g ? x ? 关 于 点 ? ?1 0 0 6 ? 对称,可得 ,0

f ? x ? ? ?g ? x ? ? 2011 关于点 ? ?1006, 2011? 对称;

3.几种和求函数值相关的典型题
?3 x ( x ? 0) f ( x) ? ? ?log2 x( x ? 0) 1)已知函数
1 f [ f ( )] 8 的值为 ,那么

x 2)已知 f ( x) 为 R 上增函数,且对任意 x ? R ,都有 f ? ? f ( x) ? 3 ? ? ? 4 ,则 f (2) ?

3)已知函数 f ? x ? ? ? x ? log 2
1 ? ? 求 f ?? ?? ? 2005 ? 1 ? ? f ?? ?? ? 2004 ?

1? x , 1? x

? 1 ? f? ?? ? 2004 ? ? 2? f ? ?? ?9?

? 1 ? f? ? 的值; ? 2005 ? ? 3? f ? ? ? ??? f ?9? ?8? ? ? 的值; ?9?

4)设 f ? x ? ?

4x ?1? ,则 f ? ? ? x 2?4 ?9?

5)已知 f ? x ? ? x 2 ? 53x ? 196 ? x 2 ? 53x ? 196 ,求 f ?1? ? f ? 2? ????? f ?50? 6)若奇函数 f ? x ? 满足 f ? x ?1? ? f ? x ? 1? ? 0 ,则 f ? 2010? =? 7) f ? x ? ? ?1 ? tan1? ??1 ? tan 2? ? ??? ?1 ? tan 45? ? ? ? 8)知函数 f ? x ? 满足: f ? p ? q ? ? f ? p ? f ? q ? , f ?1? ? 3 ,则
f 2 ?1? ? f ? 2 ? f 2 ? 2 ? ? f ? 4 ? f 2 ? 3? ? f ? 6 ? f 2 ? 4 ? ? f ? 8 ? ? ? ? ? f ?1? f ? 3? f ?5? f ?7?
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解:令 q ? 1, f ? p ?1? ? f ? p ? ? f ?1? ? 3 f ? p ? ,且 f ?1? ? 3 ,则 f ? p ? ? 3 p ,代入可得原 式=24

? x ? 2002 ? 9) 定义在 R 上的函数 f ? x ?? x ? 1? 满足 f ? x ? ? 2 f ? 则 f ? 2004? ? ? ? 4015 ? x , ? x ?1 ?
解 : 令 x?2 , 则 有

f ? 2? ? 2 f?

2004 , 则 有 2 ?0 ? 0 4 , 4令0 x 1? 3

f ? 2 0 ?0 ? 4f ? ?2 ?

2 ,联立两式得 2 0 1 1f ? 2004? ? 2005

b 10)已知 a ? 0, b ? 0,log9 a ? log12 b ? log16 ? a ? b? ,求 的值。 a
解:设 log9 a ? log 12 b ? log16 (a ? b) ? k ,则 9 ? 12 ? 16 ,解得
k k k

b 5 ?1 ? a 2

11) 设实数 x, y ? 0 ,且满足 2 x ? y ? 5 ,则函数 f ( x, y) ? x2 ? xy ? 2 x ? 2 y 的最大值是?

4.高考常考的几种思想方法 1)分类讨论----不得已而为之(绝对值函数、二次函数、分段函数)
(2014 浙江高考压轴题答案)本题主要考查极值的概念、 利用导数研究函数的单调性等基础知 识,同时考查推理论证能力,分类讨论等综合解题能力。满分 14 分。 (Ⅰ) 由题意得 f ′(x)=3ax2-6(m+a)x+12m=3(x-2)(ax-2m), 由于 f (x)在(0,3)上无极值点,故 (Ⅱ) 由于 f ′(x)=3(x-2)(ax-2m), 故 (i) 当

2m =2,所以 m=a.………… 5 分 a

3 2m 2m ≤0 或 ≥3,即 m≤0 或 m≥ a 时, 2 a a 3 a. 2

取 x0=2 即满足题意. 此时 m≤0 或 m≥ (ii) 当 0<

2m <2,即 0<m<a 时,列表如下: a 2m ) a 2m a
0 极大值

x f ′(x) f (x)

0

(0,

(

2m ,2) a


2 0 极小值

(2,3) + 单调递增

3

+ 1 单调递增

单调递减

9m+1

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2m )≥f(3), a ?4m3 ? 12m 2 a 即-4a+12m+1≤1 或 +1≥9m+1, a2 ? m(2m ? 3a ) 2 a 3a 即 3m≤a 或 ≥0, 即 m≤ 或 m≤0 或 m= . 2 a 3 2 a 此时 0<m≤ . 3 2m 3a (iii) 当 2< <3,即 a<m< 时,列表如下: a 2
故 f(2)≤f(0) 或 f ( x f ′(x) f(x) 故 f( 1 0 (0,2) + 单调递增 2 0 极大值 (2,

2m ) a

2m a
0 极小值

(

2m ,3) a


3

- 单调递减

单调递增

9m+1

2m )≤f(0) 或 f(2)≥f(3), a ?4m3 ? 12m 2 a 即 +1≤1 或 -4a+12m+1≥9m+1, a2 ?4m 2 ( m ? 3a ) 4a 即 ≤0 或 3m≥4a,即 m=0 或 m≥3a 或 m≥ . 2 a 3 4a 3a 此时 ≤m< . 2 3 a 4a 综上所述, 实数 m 的取值范围是 m≤ 或 m≥ .………… 14 分 3 3
①高考题型: 例 1:关于 x 的方程 x ? 1 ? x ? 1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题:
2 2

?

?

2

①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; ②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根; 其中,错误的命题有( )个 A. 0 B.1 C. 2 D. 3 答案:选 A 方法:分类讨论、特殊值、数形结合 例 2.设 a 为实数,函数 f ? x ? ? x ? x ? a ?1, x ? R ,
2

(1)讨论 f ? x ? 的奇偶性; (2)求 f ? x ? 的最小值

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例 3.已知 f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ,其中 a ? N ? , b, c ? Z (1)当 b ? 2a 时,在 ??1,1? 上是否存在 x ,使得 f ? x ? ? b 成立? (2)当方程 f ? x ? ? x ? 0 的根在 ? 0,1? 时,试求 a 的最小值。

例 4. 设 a 为实数,设函数 f ? x ? ? a 1 ? x ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g ? a ?
2

1)设 t ? 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f ? x ? 的表示为 t 的函数 m ? t ? ; 2)求 g ? a ? ; 3)试求满足 g ? a ? ? g ?

?1? ? 的所有实数 a ; ?a?

例 5.

已知函数 f ? x ? ?

ax 2 ? 1 ?b ? 0? bx

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(1)求 f ? x ? 的单调区间; (2) a ? 0, x1 ? x2 ? 0, x2 ? x3 ? 0, xi ?

1 ? i ? 1, 2,3? ,求证: a

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ?
【解答】 (1) 由已知得:f ? x ? ?

2 a b

1 1 1? 1? 当 a ? 0 时,f ? x ? ? ? , 由于 b ? 0 , 故 x 在 ? ??,0? ? ax ? ? , b x b? x?

和 ? 0, ??? 上单调递减;当 a ? 0 时,由分式函数的性质知, x 在 ? 0,

? ?

1 ? ? 上单调递减, x 在 a?

[

1 1 ? 1 ? , ??) 上单调递增,x 在 (??, ? ] 上单调递增,x 在 ? ? 当a ? 0 , 0 ? 上单调递减; a a a ? ?

时, x 在 ? ??,0? 和 ? 0, ??? 上单调递减; (2)显然, x1 , x2 , x3 中至多有一个是负的 若 x1 , x2 , x3 均 为 正 数 , 则 xi ?

1 ? 1 ? 2 ? i ? 1, 2,3? , 由 ?1? 知 f ? xi ? ? f ? ? ? a , a ? a? b

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ?

6 2 a? a ;若 x1 , x2 , x3 中有一个负的,不妨设 x3 ? 0 ,则由 b b

x2 ? x3 ? 0 ,有 x2 ? ? x3 ? 0 ,且 x2 ? ? x3 ?

1 ? 1 ? ,从而 f ? x2 ? ? f ? ? x3 ? ? f ? ? ,再 a ? a?

注意到 f ? x ? 为奇函数,所以 f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0 , f ? x1 ? ? f ? 所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ?

? 1 ? 2 a, ?? ? a? b

2 a b 2 a b

综上可得, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ?

②如何避免分类讨论 A.高考系列 例 1(安徽高考) 若函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? a 的最小值为 3,则实数 a 的值为(
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例 2. ( 高 考 ) 设 定 义 在 ? ?2, 2? 上 的 减 函 数 f ? x ? 的 区 间 ? 0 , 2 ? 上单调递减,若

A.5 或 8

B. ? 1 或 5

C. ? 1 或 ? 4

D. ? 4 或 8

f ?1 ? m? ? f ? m? ,求实数 m 的取值范围;

例 3.设 a ? R ,函数 f ? x ? ? ax2 ? x ? a ? ?1 ? x ? 1? ,求当 a ? 1 时, f ? x ? 的取值范围

B.自招系列

2 例 1.(中科大自招)求 f ? x ? ? ln x ? 4 x ? 3 的定义域;

?

?

例 2.(北约自招)求 x 的取值范围使得 f ( x) ? x ? 2 ? x ? x ? 1 是增函数( A.(-∞,2] B.[-2,0] C.[0,+∞] D.(-∞,0]



例 3.(北约自招) 求 x ? 11 ? 6 x ? 2 ?

x ? 27 ? 10 x ? 2 ? 1 的实根的个数;

C.竞赛系列 例 1.如果函数 f ? x ? ? ax ? ? 2a ?1? x ? 3? a ? 0? 在区间 ? ?
2

? 3 ? , 2 上的最大值为 1,求实数 ? 2 ? ?

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a 的取值范围?

作业: 1.(高考练习)已知函数 y ? f ? x ? 的图像与函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的图像关
于直线 y ? x 对称, 记 g ? x? ? f ? x? ? 若 y ?g ? x ? f ? x ? ? f ? 2 ? ? 1? ?, 函数,则实数 a 的取值范围是( )

? 在区间 ? ?
1 2

1 ? , 2 上是增 ?2 ? ?

A. [2, ??)

B. (0,1) ? (1, 2)

C. [ ,1)

1 2

D. (0, ]

2.(高考练习)设 a ? 1 ,若仅有一个常数 c ,使得对任意的 x ??a, 2a? ,
2 都有 y ? ? ? a, a ? ? 满足方程 loga x ? loga y ? c ,这时 a 的取值集合为

3.(高考练习)已知 x ? [ , 2] ,求函数 y ? 4. (联赛初试) 若实数 x, y 满足: 10 则x? y ? .

1 2

5x ? 2 的最小值; x

x y x y ? 10 ? 1, 10 3 ? 10 ?1, 3 3 2 ?5 2 ?6 3 ? 5 3 ? 63

5. (联赛初试)整数 x ? y ? z ,且 2x ? 2 y ? 2z ? 4.625 ,则 x, y, z 分别为

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