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2011~2012学年第二学期期末试卷+答案


华南农业大学期末考试试卷(A 卷)
2011~2012 学年第二学期 考试科目: 高等数学 BⅡ

试题答案及其评分标准
一、填空题(本大题共5小题,每小题3 分,共15分)

1. 设向量 a ? (3, 2,1) ,向量 b ? (2, , k ) ,若 a ? b ,则 k ? ?

4 3<

br />
26 2 ;若 a // b ,则 k ? . 3 3

2. 函数z ? x2 y在点(1, 2)处的全微分是 dz ? 4dx ? dy

3.已知 D 是长方形区域 {( x, y) | a ? x ? b, 0 ? y ? 1} ,又已知 ?? yf ( x)dxdy ? 1 ,则
D

?
线
4.

b

a

f ( x)dx ? 2 .
? n

? x+1? 幂级数 ? 的收敛域为 n ? 0 ? 2n ? 1?

[?2, 0) .

5. 微分方程 xy?+y =0 满足初始条件 y (1)=2 的特解为

xy ? 2 。

二、选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
1.直线

x ?1 y z ?1 ? ? 与平面 x ? y ? z ? 1 的位置关系是( B ) . 2 1 ?1
(B)平行; (C)夹角为

(A)垂直;

π π ; (D)夹角为 ? . 4 4

2. 偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 存在是函数在点 ( x0 , y0 ) 处可微的(B) (A) 充分条件 (B) 必要条件 3.将极坐标系下的二次积分: I ? 积分,则 I ? ( D ). (A) I ? ? dy ?
?1 1 1 1? 1? y 2
2

(C)充要条件 (D)无关条件。
2sin ? 0

?

π

0

d? ?

rf (r cos ? , r sin ? )dr 化为直角坐标系下的二次

1? 1? y

f ( x, y)dx f ( x, y)dx

(B) I ? ? dx ?
0
1

2

2 x ? x2

? 2 x ? x2
1? 1? x2

f ( x, y)dy
f ( x, y)dy

(C) I ? ? dy ?
?1

2 y ? y2
2

? 2 y? y

(D) I ? ? dx ?
?1

1? 1? x2

1

4.交错级数

? (?1)
n ?1

?

n ?1

1 (A) . 3n ?1
(C)发散 (D)敛散性无法确定。

(A) 绝对收敛

(B)条件收敛

5.差分方程 yt ?1 ? 2 yt ? t 2 ? 2t 的特解形式为( C ). (A) yt ? kt 2 ? 2t ; (C) yt ? at 3 ? bt 2 ? Ct ? 2t ; (B) yt ? at 2 ? bt ? C ? 2t ;

?

?

?

?

(D) 以上都不对.

三、计算题(本题六个小题,每小题7分,满分42分)
1. 设z ? f ?

? y x? ?z ?z . , ? ,求 x ? y ?x ?y ? x y?
? x ? ?z ?1? . . . . . . . . . .5分 ? f1 ? ? ? ? f 2 ? ? ? 2 ? . ?y ? x? ? y ?

解:

?1? ?z ? y? ? f1 ? ? ? 2 ? ? f 2 ? ? ? , ?x ? x ? ? y? x

?x? ? x? ?z ?z ? y? ? y? . . . . . . . .7分 ? y ? f1 ? ? ? ? ? f 2 ? ? ? ? f1 ? ? ? ? f 2 ? ? ? ? ? 0 . ?x ?y ? x? ? x? ? y? ? y?
2 3 z

2. 设 z ? f ( x, y) 是由 x ? y ? e ? xyz ? 0 所确定的隐函数, 求

?z ? 2 z . , ?x ?y 2
. . . . .3分

2 x ? yz 3 y 2 ? xz 解:对方程两边求微分,得 dz ? dx ? dy xy ? e z xy ? e z
所以有

?z 2 x ? yz ?z 3 y 2 ? xz , ? , ? ?x xy ? e z ?y xy ? e z
2

. . . . . . . . 4分

? z ? ?y 2

(6 y ? x

?z ?z )( xy ? e z ) ? ? 3 y 2 ? xz ? ( x ? e z ) ?y ?y z 2 ( xy ? e )

2 3 y 2 ? xz z 2 z 3 y ? xz (6 y ? x )( xy ? e ) ? 3 y ? xz ( x ? e ) ? ? xy ? e z xy ? e z ? ( xy ? e z ) 2

. . . . . . .6分

2

6 xy 2 ? 6 ye z ? 3xy 2 ? x 2 z x 2 y ? xe z ? 3 y 2e z ? xze z z 2 )( xy ? e ) ? 3 y ? xz ( ) ? ? xy ? e z xy ? e z ? ( xy ? e z ) 2 . .7分 ( 6 ye2 z ? 2 x3 yz ? 9 y 4e z ? x 2 z 2e z ? 9 xy 2e z ? 2 x 2 ze z ? 3xy 2 ze z ? ( xy ? e z )3


2n n ! 3. 判别级数 ? n 的敛散性。 n ?1 n
解:因为 lim

?

an?1 2n?1 (n ? 1)! nn ? n ? 2 . . . . . .6分 ? lim ? n ? lim 2 ? ? ? ?1. n ?? a n ?? (n ? 1) n ?1 n ?? 2 n ! n ? 1 e ? ? n
. . . . . . .7分

n



所以,级数收敛。 4. 计算二重积分

?? y
D

x
2

dxdy ,其中D为 xy ? 1, y ? x 及 y ? 2 所围成的闭区域。

线

? xy ? 1 ? 解:积分区域如图所示: 联立方程 ? y ? x , ?y?2 ?
1 求得交点坐标为 ( , 2), (1,1), (2, 2) 2
. . . . .3分

y y=x 2
y? 1 x

O

x

x 1 2 1 ? 1 ? dx ? ? 2 ? y 2 ? 2 ? dy 2 1 2 1 y ? y ? y y D 1? 1 1 ? 17 ? ?1 ? ( ? 1) ? ? 2? 3 8 ? 48

?? y

x

2

dxdy ? ? dy ?1

2

y

. . . . . . . . .7分

5. 求伯努利方程 y? ?
4 3

4 2 2 3 y ? 3x y 的通解。 x

解:原方程化为
1 3

y

?

dy 2 ? 1 ? y 3 ? 3x 2 . dx x

. . . .2分

令z ? y

?

,则

4 ? dy dz 1 ? 4 dy dz ?? y 3 ? ?3 .代入上面的方程,得 ,即 y 3 dx 3 dx dx dx

?3

dz 2 ? z ? 3 x 2 ,即 dx x

dz 2 ? z ? ? x2 , dx 3 x
3

. . . . . . . . . .4分

其通解为

2 2 2 4 2 dx ? ? dx ? ? ? ? 3 7? z ? e? 3 x ? ? (? x2 e ? 3 x )dx ? C ? ? x 3 ? ? (? x 3 )dx ? C ? ? x 3 ? C ? x 3 ? . 7 ? ? ? ? ? ?
? 1 3 2 3 ? Cx 3 ? x3 . 7

所以原方程的通解为

y

. . . . . . . . . . . . 7分

6.用间接展开法把 f ( x) ?

1 展开成 x 的幂级数, 并写出其收敛区间. x ? 3x ? 2
2

解:因为 f ( x) ?

1 1 1 1 ? ? ? x ? 3x ? 2 ( x ? 1)( x ? 2) x ? 1 x ? 2
2

. . . . . . . .2分

因为

? 1 n ? 1 ? ? ? ?1? x n , 1? x n ?1

x ? (?1,1) ,
n

. . . .4分

1 1 ? ? 2? x 2

1 1 1 ? n? x? ? ? ? ? ?1? ? ? , ? x ? 2 2 n?1 ?2? 1? ? ? ?2?

x ? ? ?2, 2 ?

. . . .6分

所以,

1 1 ? 1 ? n n n x? ? ? ? 1 x ? ? ? ? ?1? ? ? ? ? ? 2 x ? 3x ? 2 2 n?1 2 n?1 ?2?
? 1 ? 1 ? n? ? ? ? ?1? ?1 ? n?1 ? x n , 2 n?1 ? 2 ?

n

x ? (?1,1) 。

. .7分

四、 (本题两个小题,任意选做一题,多选不多得分,满分8分)
1. 求微分方程 y ?? ? ? y ? ? ? y ? 满足初始条件 y ? 0? ? 0, y? ? 0? ? 1 的特解。
3

2. 求微分方程 y?? ? 3 y? ? 2 y ? 3x e 的通解。
?x

1.解:令 y? ? p,

y??=

d dp dy dp =p ? y? ? = dx dy dx dy ,
. . . . . . .2分

所以, p

dp dp ? p 3 ? p, ? ? p2 ? 1 , dy dy

积分得 arctan p=y+C1 , ? p= tan (y+C1 ) , 由条件 y ? 0? ? 0, y? ? 0? ? 1 得, C1 ?

. . . . . . .3分

π 。 4
4

. . . . .4分

由于

dy ? dx tan (y + ? 4) cos(y + ? 4)dy d sin (y + ? 4) ? ? =dx, ? ln ?sin (y + ? 4)? =x+C2 sin (y + ? 4) sin (y + ? 4)
. . .6分

所以,



即有 sin (y+ ? 4) ? C2e x ,再由条件 y ? 0? ? 0, y? ? 0? ? 1 ,得 C2 ?

2 , . .7分 2

故所求特解为 sin (y + ) ?

π 4

2 x e ,或 2

? 2 x? π y = arcsin ? ? 2 e ? ?? 4 。 ? ?

. .8分



?x 2.解: f ( x) ? 3x e 是 e? x P ,对应齐次方程的特 m ( x) ? 3 x , ? ? ?1 ) m ( x) 型(其中, P

征方程为

r 2 ? 3r ? 2 ? 0 ,解得

r1 ? ?1, r2 ? ?2 ,

. . .2分 . . . . .3分

故对应齐次方程的通解为

Y ? C1 e? x ? C2 e?2 x .

线

* 因为 ? ? ?1 是特征方程的单根,所以特解 y 的形式为

y* ? x( Ax ? B)e? x ? ( Ax2 ? Bx)e? x ,
代入原方程并消去 e ,得 比较系数,得
x

. . . .5分

2 Ax ? (2 A ? B) ? 3x .

. . . . . . . . .6分

A?

3 , B ? ?3 ,即 2

?3 ? . . .7分 y* ? ? x 2 ? 3x ? e? x , . ?2 ?

故原方程的通解为

?3 ? . . . .8分 y ? Y ? y* ? C1 e? x ? C2 e?2 x ? ? x 2 ? 3x ? e? x . ?2 ?

五、应用题(本题三个小题,任意选做二题,多选不多得分,满分16分)

? ,对于 OA ? 上任一点 P ( x, y ) , 1. 设有连结点 O(0,0) 和 A(1,1) 的一段向上凸的曲线弧 OA
? 与直线段 OP 所围成图形的面积为 x ,求曲线弧 OA ? 的方程. 曲线弧 OP
2

2 . 某公司生产产品 A(x 件) ,产品 B(y 件)的收益函数和成本函数分别为:

R( x, y ) ? 10 x ? 9 y, C ( x, y ) ? 400 ? 2 x ? 3 y ? 0.01? 3 x 2 ? xy ? 3 y 2 ? ,
试求获得最大利润的产量水平及最大利润.

5

2 2 3. 求由球面 z ? 8 ? x ? y 与锥面 z ?

x 2 ? y 2 所围成的立体体积。
y 1 y A(1,1) P(x, y) y O x 1 x

1.解 设曲线弧的方程为 y ? y ( x) ,依题意有

?

x

0

1 y ( x)dx ? xy ( x) ? x 2 , . . . . . .2 分 2

上式两端对 x 求导,

y ( x) ?

1 1 y ( x) ? xy?( x) ? 2 x , 2 2

. . . . . . . . .4分

即得微分方程

y? ?

y y dy du ? 4 ,令 u ? ,有 ? u ? x ,则微分方程可化为 x x dx dx u?x du du 4 ? u ? 4 ,即 ?? , dx dx x y ,故有 x
. . . . . . . . .5分

积分得

u? ? 4 l n |x ? |C ,因 u ?

y ? x(?4ln | x | ?C ) . . . . . . . . .7分

又因曲线过点 A(1,1) ,故 C ? 1 .于是得曲线弧的方程是

y ? x(1 ? 4ln | x |) .
(事实上应定义函数为 y( x) ? ?

. . . . . . . . .8分

? x(1 ? 4ln | x |) x ? 0 ) 。 0 x?0 ?

L x, y)=R( x, y) ? C ( x, y ) 2. 解:设利润函数 (
即 由于

L( x, y ) ? 8 x ? 6 y ? 0.01? 3 x 2 ? xy ? 3 y 2 ? ? 400 ,

. . . . .2分 . . . . . . .4分

Lx ? 8 ? 0.01? 6x ? y ? ? 0, Ly ? 6 ? 0.01? x ? 6 y ? ? 0

求的驻点为 (120,80) ,再由

Lxx ? ?0.06 ? 0, Lxy ? ?0.01, Lyy ? ?0.06. ,


. . . . . .5分 . . . . . . . .7分

Lxx Lyy ? ? Lxy ? ? ? ?0.06 ? ? ? ?0.01? ? 0 ,
2 2 2

6

所以点 (120,80) 是利润函数 L( x, y ) 的极大值点,极大值为 L(120,80) ? 320 . 即获得最大利润的产量为 x ? 120, y ? 80, 最大利润为 L(120,80) ? 320 。 . . .8分
2 2 3. 求由球面 z ? 8 ? x ? y 与锥面 z ?

x 2 ? y 2 所围成的立体体积。

2 2 解:令 8 ? x ? y ?

x2 ? y 2 ,
2 2


即得两曲面的交线在 xoy 坐标面的投影 x ? y ? 4 , 故所求立体体积为 V ? . . . . . . . .2分

?? ?
D

8 ? x 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 d? ,

?



其中 D ?

?? x, y ? x

2

? y2 ? 4 ,

?

. . . . . . .5分

化作极坐标系下的二次积分

线

V ? ??
D

?

8 ? x 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 d? ? ? d? ?
0 2 0

?



2

0

?

8 ? r 2 ? r rdr
. . . .8分

?

3 ? 1 2 2 2 ? 2π ? ? ? ? 8 ? r ? ? 2 3

1 2 ? 32 ? r3 0 ?? 3 ? 3

?

2 ?1 π

?

六、证明题(本题满分4分)
证明:如果正项级数

?u
n ?1 ?

?

n

收敛,则

?u
n ?1

?

2 n

也收敛。

证明:因为正项级数

?u
n ?1

n

收敛,则必有 lim un ? 0 ,所以存在正整数 N ,当 n ? N 时,
n ??

2 有 un ? 1 , 从 而 有 un ? un , 根 据 正 项 级 数 比 较 判 别 法 知

?u
n ?1

?

2 n



敛。

. . . . . .4分

7


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