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备战noip基本算法


备战 noip 基本算法 一、数论算法 1.求两数的最大公约数 function gcd(a,b:integer):integer; begin if b=0 then gcd:=a else gcd:=gcd (b,a mod b); end ; 2.求两数的最小公倍数 function lcm(a,b:integer):integer; begin if a<b then swap(a,b); lcm:=a; while lcm mod b>0 do inc(lcm,a); end; end; 3.素数的求法 A.小范围内判断一个数是否为质数: A.小范围内判断一个数是否为质数: 小范围内判断一个数是否为质数 function prime (n: integer): Boolean; var I: integer; begin for I:=2 to trunc(sqrt(n)) do if n mod I=0 then begin prime:=false; exit; end;
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prime:=true; end; B.判断 范围内的数是否为素数( 以内的素数表): B.判断 longint 范围内的数是否为素数(包含求 50000 以内的素数表): getprime; procedure getprime; var i,j:longint; p:array[1..50000] of boolean; begin fillchar(p,sizeof(p),true); p[1]:=false; i:=2; while i<50000 do begin if p then begin j:=i*2; while j<50000 do begin p[j]:=false; inc(j,i); end; end;

inc(i); end; l:=0;
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for i:=1 to 50000 do if p then begin inc(l);pr[l]:=i; end; end;{getprime} function prime(x:longint):integer; var i:integer; begin prime:=false; for i:=1 to l do if pr>=x then break else if x mod pr=0 then exit; prime:=true; end;{prime} 二、图论算法 1.最小生成树 算法: A.Prim 算法: procedure prim(v0:integer); var lowcost,closest:array[1..maxn] of integer; i,j,k,min:integer; begin for i:=1 to n do begin lowcost:=cost[v0,i];
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closest:=v0; end; nfor i:=1 to n-1 do begin {寻找离生成树最近的未加入顶点 k} min:=maxlongint; min:=maxlongint; for j:=1 to n do if (lowcost[j]<min) and (lowcost[j]<>0) then begin min:=lowcost[j]; k:=j; end; {将顶点 加入生成树} lowcost[k]:=0; {将顶点 k 加入生成树} {生成树中增加一条新的边 k 到 closest[k]} {修正各点的 lowcost 和 closest 值} for j:=1 to n do if cost[k,j]<lwocost[j] then begin

lowcost[j]:=cost[k,j]; lowcost[j]:=cost[k,j]; closest[j]:=k; end; end; end;{prim} 算法: 贪心) B.Kruskal 算法:(贪心) 按权值递增顺序删去图中的边,若不形成回路则将此边加入最小生成树。 按权值递增顺序删去图中的边,若不形成回路则将此边加入最小生成树。 {返回顶点 所在的集合} function find(v:integer):integer; {返回顶点 v 所在的集合}
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var i:integer; begin i:=1; while (i<=n) and (not v in vset) do inc(i); find:=0; if i<=n then find:=i else find:=0; end; procedure kruskal; var tot,i,j:integer; begin vset:=;{初始化定义 个集合, for i:=1 to n do vset:=;{初始化定义 n 个集合,第 I 个集合包含一个元素 I} p:=n为尚待加入的边数, 为边集指针} p:=n-1; q:=1; tot:=0; {p 为尚待加入的边数,q 为边集指针} sort; e[I]中 {对所有边按权值递增排序,存于 e[I]中,e[I].v1 与 e[I].v2 为边 I 所连接的 对所有边按权值递增排序, 两个顶点的序号, 条边的长度} 两个顶点的序号,e[I].len 为第 I 条边的长度} while p>0 do begin i:=find(e[q].v1);j:=find(e[q].v2); i:=find(e[q].v1);j:=find(e[q].v2); if i<>j then begin inc(tot,e[q].len); vset:=vset+vset[j];vset[j]:=[]; dec(p); end; inc(q); end;
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writeln(tot); end; 2.最短路径 2.最短路径 A.标号法求解单源点最短路径: A.标号法求解单源点最短路径: 标号法求解单源点最短路径 var a:array[1..maxn,1..maxn] of integer; 指顶点 到源点的最短路径} b:array[1..maxn] of integer; {b 指顶点 i 到源点的最短路径} mark:array[1..maxn] of boolean; procedure bhf; var best,best_j:integer; begin

fillchar(mark,sizeof(mark),false); 为源点} mark[1]:=true; b[1]:=0;{1 为源点} repeat best:=0; for i:=1 to n do {对每一个已计算出最短路径的点 对每一个已计算出最短路径的点} If mark then {对每一个已计算出最短路径的点} for j:=1 to n do if (not mark[j]) and (a[i,j]>0) then if (best=0) or (b+a[i,j]<best) then begin best:=b+a[i,j]; best_j:=j;
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end; if best>0 then begin b[best_j]:=best; b[best_j]:=best;mark[best_j]:=true; end; until best=0; end;{bhf} 算法求解所有顶点对之间的最短路径: B.Floyed 算法求解所有顶点对之间的最短路径: procedure floyed; begin for I:=1 to n do for j:=1 to n do {p[I,j]表示 if a[I,j]>0 then p[I,j]:=I else p[I,j]:=0; {p[I,j]表示 I 到 j 的最短路 的前驱结点} 径上 j 的前驱结点} {枚举中间结点 枚举中间结点} for k:=1 to n do {枚举中间结点} for i:=1 to n do for j:=1 to n do if a[i,k]+a[j,k]<a[i,j] then begin a[i,j]:=a[i,k]+a[k,j]; p[I,j]:=p[k,j]; end; end; 算法: C. Dijkstra 算法: var a:array[1..maxn,1..maxn] of integer;
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的前驱结点} b,pre:array[1..maxn] of integer; {pre 指最短路径上 I 的前驱结点} mark:array[1..maxn] of boolean; procedure dijkstra(v0:integer); begin fillchar(mark,sizeof(mark),false); for i:=1 to n do begin d:=a[v0,i]; if d<>0 then pre:=v0 else pre:=0; end; mark[v0]:=true;

{每循环一次加入一个离 集合最近的结点并调整其他结点的参数} repeat {每循环一次加入一个离 1 集合最近的结点并调整其他结点的参数} 集合最近的结点} min:=maxint; u:=0; {u 记录离 1 集合最近的结点} for i:=1 to n do if (not mark) and (d<min) then begin u:=i; min:=d; end; if u<>0 then begin mark:=true; for i:=1 to n do if (not mark) and (a[u,i]+d<d) then begin d:=a[u,i]+d; pre:=u;
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end; end; until u=0; end; 3.计算图的传递闭包 3.计算图的传递闭包 Procedure Longlink; Var T:array[1..maxn,1..maxn] of boolean; Begin Fillchar(t,sizeof(t),false); For k:=1 to n do For I:=1 to n do j:=1 For j:=1 to n do T[I,j]:=t[I,j] or (t[I,k] and t[k,j]); End;

4.无向图的连通分量 A.深度优先 A.深度优先 procedure dfs ( now,color: integer); begin for i:=1 to n do {对结点 染色} if a[now,i] and c=0 then begin {对结点 I 染色} c:=color; dfs(I,color); end;
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end; 宽度优先(种子染色法) B 宽度优先(种子染色法)

5.关键路径 几个定义: 为源点, 为汇点。 几个定义: 顶点 1 为源点,n 为汇点。 },其中 a. 顶点事件最早发生时间 Ve[j], Ve [j] = max{ Ve [j] + w[I,j] },其中 Ve (1) = 0; },其中 b. 顶点事件最晚发生时间 Vl[j], Vl [j] = min{ Vl[j] – w[I,j] },其中 Vl(n)

= Ve(n); <j,k>表示 表示, c. 边活动最早开始时间 Ee[I], 若边 I 由<j,k>表示,则 Ee[I] = Ve[j]; <j,k>表示 表示, d. 边活动最晚开始时间 El[I], 若边 I 由<j,k>表示,则 El[I] = Vl[k] – w[j,k]; 为关键活动,由关键活动组成的路径为关键路径。 若 Ee[j] = El[j] ,则活动 j 为关键活动,由关键活动组成的路径为关键路径。 求解方法: 求解方法: topsort,判断是否有回路并计算 a. 从源点起 topsort,判断是否有回路并计算 Ve; topsort,求 b. 从汇点起 topsort,求 Vl; c. 算 Ee 和 El;

6.拓扑排序 的点,删去与其相连的所有边,不断重复这一过程。 找入度为 0 的点,删去与其相连的所有边,不断重复这一过程。 寻找一数列, 项之和为正, 项之和为负, 例 寻找一数列,其中任意连续 p 项之和为正,任意 q 项之和为负,若不存在则 输出 NO.

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7.回路问题 7.回路问题 回路(DFS) Euler 回路(DFS) 定义:经过图的每条边仅一次的回路。(充要条件:图连同且无奇点) 定义:经过图的每条边仅一次的回路。(充要条件:图连同且无奇点) 。(充要条件 Hamilton Hamilton 回路 定义:经过图的每个顶点仅一次的回路。 定义:经过图的每个顶点仅一次的回路。 一笔画 充要条件: 充要条件:图连通且奇点个数为 0 个或 2 个。 Bellman9.判断图中是否有负权回路 Bellman-ford 算法 x[I],y[I],t[I]分别表示第 条边的起点,终点和权。 条边。 x[I],y[I],t[I]分别表示第 I 条边的起点,终点和权。共 n 个结点和 m 条边。 bellmanprocedure bellman-ford begin nfor I:=0 to n-1 do d[I]:=+infinitive; d[0]:=0; nfor I:=1 to n-1 do {枚举每一条边 枚举每一条边} for j:=1 to m do {枚举每一条边} if d[x[j]]+t[j]<d[y[j]] then d[y[j]]:=d[x[j]]+t[j]; for I:=1 to m do if d[x[j]]+t[j]<d[y[j]] then return false else return true; end; 10. 10.第 n 最短路径问题 *第二最短路径:每举最短路径上的每条边,每次删除一条,然后求新图的最短 第二最短路径:每举最短路径上的每条边,每次删除一条, 路径,取这些路径中最短的一条即为第二最短路径。 路径,取这些路径中最短的一条即为第二最短路径。 最短路径的基础上求解。 *同理,第 n 最短路径可在求解第 n-1 最短路径的基础上求解。 同理, 三、背包问题 *部分背包问题可有贪心法求解:计算 Pi/Wi 部分背包问题可有贪心法求解: 背包问题可有贪心法求解 数据结构: 数据结构:
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w:第 个背包的重量; w:第 i 个背包的重量; p:第 个背包的价值; p:第 i 个背包的价值; 背包: 每个背包只能使用一次或有限次(可转化为一次) 1.0-1 背包: 每个背包只能使用一次或有限次(可转化为一次):

A.求最多可放入的重量。 A.求最多可放入的重量。 求最多可放入的重量 NOIP2001 装箱问题 v(正整数 o≤v≤20000), 正整数, 个物品(o≤n≤30) (o≤n≤30), 有一个箱子容量为 v(正整数,o≤v≤20000),同时有 n 个物品(o≤n≤30),每 正整数) 个物品中,任取若千个装入箱内, 个物品有一个体积 (正整数)。要求从 n 个物品中,任取若千个装入箱内,使 箱子的剩余空间为最小。 箱子的剩余空间为最小。 l 搜索方法 {搜索第 个物品, procedure search(k,v:integer); {搜索第 k 个物品,剩余空间为 v} var i,j:integer; begin if v<best then best:=v; v-(s[n]-s[k{s[n]为前 个物品的重量和} if v-(s[n]-s[k-1])>=best then exit; {s[n]为前 n 个物品的重量和} if k<=n then begin search(k+1,vif v>w[k] then search(k+1,v-w[k]); search(k+1,v); end; end; l DP F[I,j]为前 的标志,为布尔型。 F[I,j]为前 i 个物品中选择若干个放入使其体积正好为 j 的标志,为布尔型。 实现:将最优化问题转化为判定性问题 实现:将最优化问题转化为判定性问题 i- j边界: f [I, j] = f [ i-1, j-w ] (w[I]<=j<=v) 边界:f[0,0]:=true.
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For I:=1 to n do F[I,j]:=f[I-1,jFor j:=w[I] to v do F[I,j]:=f[I-1,j-w[I]]; 优化:当前状态只与前一阶段状态有关,可降至一维。 F[0]:=true; For I:=1 to n do begin F1:=f; For j:=w[I] to v do f[jIf f[j-w[I]] then f1[j]:=true; F:=f1; F:=f1; End; B.求可以放入的最大价值。 B.求可以放入的最大价值。 求可以放入的最大价值 个背包所能获得的最大价值。 F[I,j] 为容量为 I 时取前 j 个背包所能获得的最大价值。 ji,jF [i,j] = max { f [ i – w [ j ], j-1] + p [ j ], f[ i,j-1] } C.求恰好装满的情况数。 C.求恰好装满的情况数。 求恰好装满的情况数 DP: Procedure update; var j,k:integer; begin c:=a; for j:=0 to n do if a[j]>0 then inc(c[j+now],a[j]); if j+now<=n then inc(c[j+now],a[j]); a:=c; end;
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2.可重复背包 求最多可放入的重量。 A 求最多可放入的重量。 F[I,j]为前 的标志,为布尔型。 F[I,j]为前 i 个物品中选择若干个放入使其体积正好为 j 的标志,为布尔型。 状态转移方程为 If[I,j] = f [ I-1, j – w[I]*k ] (k=1.. j div w[I]) B.求可以放入的最大价值。 B.求可以放入的最大价值。 求可以放入的最大价值 USACO 1.2 Score Inflation 进行一次竞赛, 固定,有若干种可选择的题目,每种题目可选入的数量不限, 进行一次竞赛,总时间 T 固定,有若干种可选择的题目,每种题目可选入的数量不限,每种题目有 ti(解答此题所需的时间) si(解答此题所得的分数),现要选择若干题目, ),现要选择若干题目 一个 ti(解答此题所需的时间)和一个 si(解答此题所得的分数),现要选择若干题目,使解这些题 以内的前提下,所得的总分最大,求最大的得分。 的总时间在 T 以内的前提下,所得的总分最大,求最大的得分。 *易想到: 易想到: [ijf[i,j] = max { f [i- k*w[j], j-1] + k*p[j] } (0<=k<= i div w[j]) f[i,j]表示容量为 种背包所能达到的最大值。 其中 f[i,j]表示容量为 i 时取前 j 种背包所能达到的最大值。 *实现: 实现: Begin FillChar(f,SizeOf(f),0); For i:=1 To M Do For j:=1 To N Do iIf i-problem[j].time>=0 Then Begin Begin t:=problem[j].point+f[it:=problem[j].point+f[i-problem[j].time]; If t>f Then f:=t; End;
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Writeln(f[M]); End. C.求恰好装满的情况数。 C.求恰好装满的情况数。 求恰好装满的情况数 Ahoi2001 Problem2 本质不同的质数和的表达式的数目。 求自然数 n 本质不同的质数和的表达式的数目。 思路一,生成每个质数的系数的排列,在一一测试,这是通法。 思路一,生成每个质数的系数的排列,在一一测试,这是通法。 procedure try(dep:integer); var i,j:integer; begin {此过程计算当前系数的计算结果 此过程计算当前系数的计算结果, 为结果} cal; {此过程计算当前系数的计算结果,now 为结果} {剪枝 剪枝} if now>n then exit; {剪枝} {生成所有系数 生成所有系数} if dep=l+1 then begin {生成所有系数} cal; if now=n then inc(tot); exit; end; for i:=0 to n div pr[dep] do begin xs[dep]:=i; try(dep+1); xs[dep]:=0;

end; end; 思路二, 思路二,递归搜索效率较高
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procedure try(dep,rest:integer); i,j,x:integer; var i,j,x:integer; begin if (rest<=0) or (dep=l+1) then begin if rest=0 then inc(tot); exit; end; for i:=0 to rest div pr[dep] do try(dep+1,resttry(dep+1,rest-pr[dep]*i); end; {main: try(1,n); } 思路三: 思路三:可使用动态规划求解 USACO1.2 money system 个物品, 求放法总数。 V 个物品,背包容量为 n,求放法总数。 转移方程: 转移方程: Procedure update; var j,k:integer; begin c:=a; for j:=0 to n do if a[j]>0 then for k:=1 to n div now do if j+now*k<=n then inc(c[j+now*k],a[j]); a:=c;
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end; {main} begin {读入第一个物品的重量 读入第一个物品的重量} read(now); {读入第一个物品的重量} 时的放法总数} i:=0; {a 为背包容量为 i 时的放法总数} while i<=n do begin inc(i,now); {定义第一个物品重的整数倍的重量 作为初值} a:=1; inc(i,now); end; {定义第一个物品重的整数倍的重量 a 值为 1,作为初值} for i:=2 to v do begin read(now); {动态更新 动态更新} update; {动态更新} end; writeln(a[n]); 四、排序算法 1.快速排序: 1.快速排序: 快速排序

procedure qsort(l,r:integer); var i,j,mid:integer; begin {将当前序列在中间位置的数定义为中 i:=l;j:=r; mid:=a[(l+r) div 2]; {将当前序列在中间位置的数定义为中 间数} 间数} repeat while {在左半部分寻找比中间数大的数 在左半部分寻找比中间数大的数} while a<mid do inc(i); {在左半部分寻找比中间数大的数} dec(j);{在右半部分寻找比中间数小的数 在右半部分寻找比中间数小的数} while a[j]>mid do dec(j);{在右半部分寻找比中间数小的数}
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{若找到一组与排序目标不一致的数对则交换它们 若找到一组与排序目标不一致的数对则交换它们} if i<=j then begin {若找到一组与排序目标不一致的数对则交换它们} swap(a,a[j]); {继续找 继续找} inc(i);dec(j); {继续找} end; until i>j; {若未到两个数的边界 则递归搜索左右区间} 若未到两个数的边界, if l<j then qsort(l,j); {若未到两个数的边界,则递归搜索左右区间} if i<r then qsort(i,r); end;{sort} end;{sort} B.插入排序: B.插入排序: 插入排序 思路: a[1]..a[i-1]已排好序了 已排好序了, 有序。 思路:当前 a[1]..a[i-1]已排好序了,现要插入 a 使 a[1]..a 有序。 procedure insert_sort; var i,j:integer; begin for i:=2 to n do begin a[0]:=a; j:=ij:=i-1; while a[0]<a[j] do begin a[j+1]:=a[j]; j:=jj:=j-1; end; a[j+1]:=a[0]; end; end;{inset_sort}

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C.选择排序: C.选择排序: 选择排序 procedure procedure sort; var i,j,k:integer; begin nfor i:=1 to n-1 do for j:=i+1 to n do if a>a[j] then swap(a,a[j]); end; D. 冒泡排序 procedure bubble_sort; var i,j,k:integer; begin

nfor i:=1 to n-1 do for j:=n downto i+1 do a[j]<a[ja[j],a[j {每次比较相邻元素的关系 每次比较相邻元素的关系} if a[j]<a[j-1] then swap( a[j],a[j-1]); {每次比较相邻元素的关系} end; E.堆排序: E.堆排序: 堆排序 sift(i,m:integer);{调整以 为根的子树成为堆,m 为结点总数} procedure sift(i,m:integer);{调整以 i 为根的子树成为堆,m 为结点总数} var k:integer; begin k:=2*i;{在完全二叉树中结点 2*i,右孩子为 a[0]:=a; k:=2*i;{在完全二叉树中结点 i 的左孩子为 2*i,右孩子为 2*i+1} while k<=m do begin
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inc(k);{找出 a[k]与 a[k+1]中较大值 中较大值} if (k<m) and (a[k]<a[k+1]) then inc(k);{找出 a[k]与 a[k+1]中较大值} if a[0]<a[k] then begin a:=a[k];i:=k;k:=2*i; end else k:=m+1; end; {将根放在合适的位置 将根放在合适的位置} a:=a[0]; {将根放在合适的位置} end; procedure heapsort; var j:integer; begin for j:=n div 2 downto 1 do sift(j,n); for j:=n downto 2 do begin swap(a[1],a[j]); sift(1,jsift(1,j-1); end; end; F. 归并排序 为序列表, 为辅助数组} {a 为序列表,tmp 为辅助数组} procedure merge(var a:listtype; p,q,r:integer); a[p..q]与 a[q+1..r]合并为有序的 {将已排序好的子序列 a[p..q]与 a[q+1..r]合并为有序的 tmp[p..r]} var I,j,t:integer; tmp:listtype; begin 指针, 分别为左右子序列的指针} t:=p;i:=p;j:=q+1;{t 为 tmp 指针,I,j 分别为左右子序列的指针}
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while (t<=r) do begin (i<=q){左序列有剩余 左序列有剩余} {满足 满足取左边序列 if (i<=q){左序列有剩余} and ((j>r) or (a<=a[j])) {满足取左边序列 当前元素的要求} 当前元素的要求} then begin tmp[t]:=a; inc(i); end else begin tmp[t]:=a[j];inc(j); end; inc(t);

end; for i:=p to r do a:=tmp; end;{merge} {合并排序 procedure merge_sort(var a:listtype; p,r: integer); {合并排序 a[p..r]} var q:integer; begin if p<>r then begin q:=(p+rq:=(p+r-1) div 2; merge_sort (a,p,q); merge_sort (a,q+1,r); merge (a,p,q,r); end;
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end; {main} begin merge_sort(a,1,n); end. G.基数排序 G.基数排序 思想: 思想:对每个元素按从低位到高位对每一位进行一次排序 五、高精度计算 高精度数的定义: 高精度数的定义: type hp=array[1..maxlen] of integer; 1.高精度加法 a,b:hp; procedure plus ( a,b:hp; var c:hp); var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); if a[0]>b[0] then len:=a[0] else len:=b[0]; for i:=1 to len do begin inc(c,a+b); {进位 进位} if c>10 then begin dec(c,10); inc(c[i+1]); end; {进位} end; if c[len+1]>0 then inc(len); c[0]:=len; end;{plus} 2.高精度减法
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procedure substract(a,b:hp;var c:hp); var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); if a[0]>b[0] then len:=a[0] else len:=b[0]; for i:=1 to len do begin inc(c,ainc(c,a-b);

if c<0 then begin inc(c,10);dec(c[i+1]); end; (len>1) while (len>1) and (c[len]=0) do dec(len); c[0]:=len; end; 3.高精度乘以低精度 procedure multiply(a:hp;b:longint;var c:hp); var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); len:=a[0]; for i:=1 to len do begin inc(c,a*b); inc(c[i+1],(a*b) div 10); c:=c mod 10; end;
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inc(len); {处理最高位的进位 处理最高位的进位} while (c[len]>=10) do begin {处理最高位的进位} c[len+1]:=c[len] div 10; c[len]:=c[len] mod 10; inc(len); end; {若不需进位则调整 while (len>1) and (c[len]=0) do dec(len); {若不需进位则调整 len} c[0]:=len; end;{multiply} 4.高精度乘以高精度 procedure high_multiply(a,b:hp; var c:hp} var i,j,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); for i:=1 to a[0] do for j:=1 to b[0] do begin inc(c[i+jinc(c[i+j-1],a*b[j]); inc(c[i+j],c[i+jinc(c[i+j],c[i+j-1] div 10); c[i+j-1]:=c[i+jc[i+j-1]:=c[i+j-1] mod 10; end; len:=a[0]+b[0]+1; dec(len); while (len>1) and (c[len]=0) do dec(len); c[0]:=len; end;
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5.高精度除以低精度 procedure devide(a:hp;b:longint; var c:hp; var d:longint); {c:=a div b; d:= a mod b} var i,len:integer; begin

fillchar(c,sizeof(c),0); len:=a[0]; d:=0; for i:=len downto 1 do begin d:=d*10+a; c:=d div b; d:=d mod b; end; while (len>1) and (c[len]=0) then dec(len); c[0]:=len; end; 6.高精度除以高精度 procedure high_devide(a,b:hp; var c,d:hp); var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); fillchar(d,sizeof(d),0);
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len:=a[0];d[0]:=1; begin for i:=len downto 1 do begin multiply(d,10,d); d[1]:=a; {即 while(compare(d,b)>=0) do {即 d>=b} begin Subtract(d,b,d); inc(c); end; end; while(len>1)and(c.s[len]=0) do dec(len); c.len:=len; end; 六、 树的遍历 1.已知前序中序求后序 procedure Solve(pre,mid:string); var i:integer; begin if (pre='') or (mid='') then exit; i:=pos(pre[1],mid); solve(copy(pre,2,i),copy(mid,1,isolve(copy(pre,2,i),copy(mid,1,i-1)); solve(copy(pre,i+1,length(pre)-i),copy(mid,i+1,length(mid)solve(copy(pre,i+1,length(pre)-i),copy(mid,i+1,length(mid)-i)); {加上根 加上根, 即为后序遍历} post:=post+pre[1]; {加上根,递归结束后 post 即为后序遍历} end;
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2.已知中序后序求前序 procedure Solve(mid,post:string);

var i:integer; begin if (mid='') or (post='') then exit; i:=pos(post[length(post)],mid); {加上根 加上根, 即为前序遍历} pre:=pre+post[length(post)]; {加上根,递归结束后 pre 即为前序遍历} solve(copy(mid,1,I-1),copy(post,1,Isolve(copy(mid,1,I-1),copy(post,1,I-1)); solve(copy(mid,I+1,length(mid)-I),copy(post,I,length(post)solve(copy(mid,I+1,length(mid)-I),copy(post,I,length(post)-i)); end;

3.已知前序后序求中序的一种 function ok(s1,s2:string):boolean; var i,l:integer; p:boolean; begin ok:=true; l:=length(s1); for i:=1 to l do begin p:=false; for j:=1 to l do if s1=s2[j] then p:=true; if not p then begin ok:=false;exit;end; end;
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end; procedure procedure solve(pre,post:string); var i:integer; begin if (pre='') or (post='') then exit; i:=0; repeat inc(i); until ok(copy(pre,2,i),copy(post,1,i)); solve(copy(pre,2,i),copy(post,1,i)); midstr:=midstr+pre[1]; solve(copy(pre,i+2,length(pre)- 1),copy(post,i+1,length(post)solve(copy(pre,i+2,length(pre)-i-1),copy(post,i+1,length(post)-i-1)); ost,i+1,length(post) end; 七 进制转换 1 任意正整数进制间的互化 除 n 取余 2 实数任意正整数进制间的互化 乘 n 取整 负数进制: 3 负数进制: 设计一个程序,读入一个十进制数的基数和一个负进制数的基数, 设计一个程序,读入一个十进制数的基数和一个负进制数的基数,并将此十进 进制下的数: R∈{4,....制数转换为此负 进制下的数:-R∈{-2,-3,-4,....-20} 八 全排列与组合的生成

排列的生成:(1..n) :(1..n 1 排列的生成:(1..n)
28

procedure solve(dep:integer); var i:integer; begin dep=n+1 if dep=n+1 then begin writeln(s);exit; end; for i:=1 to n do if not used then begin s:=s+chr(i+ord('0'));used:=true; solve(dep+1); s:=copy(s,1,length(s)s:=copy(s,1,length(s)-1); used:=false; end; end; 组合的生成(1..n 个数的所有方案) 2 组合的生成(1..n 中选取 k 个数的所有方案) procedure solve(dep,pre:integer); var i:integer; begin if dep=k+1 then begin writeln(s);exit; end; for i:=1 to n do if (not used) and (i>pre) then begin s:=s+chr(i+ord('0'));used:=true; solve(dep+1,i); s:=copy(s,1,length(s)s:=copy(s,1,length(s)-1); used:=false; end;
29

end; 九.查找算法 1 折半查找 binsearch(k:keytype):integer; function binsearch(k:keytype):integer; var low,hig,mid:integer; begin low:=1;hig:=n; mid:=(low+hig) div 2; while (a[mid].key<>k) and (low<=hig) do begin hig:=midif a[mid].key>k then hig:=mid-1 else low:=mid+1; mid:=(low+hig) div 2; end; if low>hig then mid:=0; binsearch:=mid; end; end; 2 树形查找 二叉排序树: 二叉排序树:每个结点的值都大于其左子树任一结点的值而小于其右子树任一 结点的值。 结点的值。

查找 function treesrh(k:keytype):pointer; var q:pointer; begin q:=root;
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while (q<>nil) and (q^.key<>k) do if k<q^.key then q:=q^.left else q:=q^.right; treesrh:=q; end; 十、贪心 *会议问题 个活动每个活动有一个开始时间和一个结束时间 一个开始时间和一个结束时间, (1) n 个活动每个活动有一个开始时间和一个结束时间,任一时刻仅一项活动 进行,求满足活动数最多的情况。 进行,求满足活动数最多的情况。 按每项活动的结束时间进行排序,排在前面的优先满足。 解:按每项活动的结束时间进行排序,排在前面的优先满足。 (2)会议室空闲时间最少。 会议室空闲时间最少。 (3)每个客户有一个愿付的租金,求最大利润。 每个客户有一个愿付的租金,求最大利润。 间会议室, 间会议室,费用相同,求最大利润。 (4)共 R 间会议室,第 i 个客户需使用 i 间会议室,费用相同,求最大利润。 十一、 十一、回溯法框架 1. n 皇后问题 procedure try(i:byte); var j:byte; begin if i=n+1 then begin print;exit;end; for j:=1 to n do c[jif a and b[j+i] and c[j-i] then begin x:=j; c[ja[j]:=false; b[j+i]:=false; c[j-i]:=false; try(i+1); c[ja[j]:=true; b[i+j]:=true; c[j-i]:=true;
31

end; end;

h(n)=2*h(n2.Hanoi Tower h(n)=2*h(n-1)+1 h(1)=1 初始所有铜片都在 a 柱上 {将第 柱通过 柱上} procedure hanoi(n,a,b,c:byte); {将第 n 块铜片从 a 柱通过 b 柱移到 c 柱上} begin if n=0 then exit; hanoi(n{将上面的 柱上} hanoi(n-1,a,c,b); {将上面的 n-1 块从 a 柱通过 c 柱移到 b 柱上} write(n,’moved from’,a,’to’,c); hanoi(nhanoi(n-1,b,a,c);{ 将 b 上的 n-1 块从 b 柱通过 a 柱移到 c 柱上 end; 个柱上, 初始铜片分布在 3 个柱上,给定目标柱 goal

h[1..3,0..n]存放三个柱的状态, h[1..3,0..n]存放三个柱的状态,now 与 nowp 存最大的不到位的铜片的柱号和 存放三个柱的状态 编号,h[I,0]存第 个柱上的个数。 编号,h[I,0]存第 I 个柱上的个数。 ,h[I,0] Procedure {将最大不到位的 Procedure move(k,goal:integer); {将最大不到位的 k 移到目标柱 goal 上} Begin If k=0 then exit; For I:=1 to 3 do For j:=1 to han[I,0] do {找到 的位置} If h[I,j]=k then begin now:=I;nowp:=j; end; {找到 k 的位置} {若未移到目标 若未移到目标} If now<>goal then begin {若未移到目标} Move(k-1,6-now{剩下的先移到没用的柱上 剩下的先移到没用的柱上} Move(k-1,6-now-goal); {剩下的先移到没用的柱上}
32

Writeln(k moved from now to goal); H[goal,h[goal,0]+1]:=h[now,nowp]; h[now,nowp]:=0; Inc(h[goal,0]); dec(h[now,0]); Move(k{剩下的移到目标上 剩下的移到目标上} Move(k-1,goal); {剩下的移到目标上} End; 十二、 十二、DFS 框架 NOIP2001 数的划分 {入口为 procedure work(dep,pre,s:longint); {入口为 work(1,1,n)} 个数,pre 为前一次试放的数,s 为当前剩余可分的总数} {dep 为当前试放的第 dep 个数,pre 为前一次试放的数,s 为当前剩余可分的总数} var j:longint; begin if dep=n then begin if s>=pre then inc(r); exit; end; work(dep+1,j,sfor j:=pre to s div 2 do work(dep+1,j,s-j); end; 类似: 类似: procedure try(dep:integer); var i:integer; begin if dep=k then begin tot>=a[depif tot>=a[dep-1] then inc(sum); exit; end; i:=a[depfor i:=a[dep-1] to tot div 2 do begin
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a[dep]:=i; dec(tot,i); try(dep+1); inc(tot,i); end; end;{try} 十三、 十三、BFS 框架 IOI94 房间问题 head:=1; tail:=0; while tail<head do begin inc(tail);

for k:=1 to n do if k 方向可扩展 then begin inc(head); list[head].x:=list[tail].x+dx[k]; {扩展出新结点 list[head].x:=list[tail].x+dx[k]; {扩展出新结点 list[head]} list[head].y:=list[tail].y+dy[k]; 处理新结点 list[head]; end; end; 十五、数据结构相关算法 十五、 1.链表的定位函数 loc(I:integ

34

{寻找链表中的第 er):pointer; {寻找链表中的第 I 个结点的指 针} procedure loc(L:linklist; I:integer):pointer;

var p:pointer; j:integer; begin p:=L.head; p:=L.head; j:=0; if (I>=1) and (I<=L.len) then while j<I do begin p:=p^.next; inc(j); end; loc:=p; end; 2.单链表的插入操作 procedure insert(L:linklist; I:integer; x:datatype); var p,q:pointer; begin p:=loc(L,I); new(q); q^.data:=x; q^.next:=p^.next; p^.next:=q; p^.next:=q; inc(L.len); end;
35

3.单链表的删除操作 procedure delete(L:linklist; I:integer); var p,q:pointer; begin p:=loc(L,Ip:=loc(L,I-1); q:=p^.next; p^.next:=q^.next; dispose(q); dec(L.len); end; 4.双链表的插入操作(插入新结点 q) 双链表的插入操作( p:=loc(L,I);

q^.next:=p^.next; q^.next:=p^.next; new(q); q^.data:=x; q^.pre:=p; p^.next:=q; q^.next^.pre:=q;

5.双链表的删除操作 为要删除的结点} p:=loc(L,I); {p 为要删除的结点} p^.pre^.next:=p^.next; p^.next^.pre:=p^.pre; dispose(p); 关键路径(最长路经): 关键路径(最长路经): var a,b:array [1..10,1..10] of integer;
36

n,last,out:integer; q,c:array [1..10] of integer; o:set o:set of 1..10; procedure init; var i,j:integer; begin readln(n); for i:=1 to n do for j:=1 to n do read(a[i,j]); last:=0; o:=[]; out:=0; b:=a; end; procedure sort; var i,j:integer; p:boolean; begin while out<>n do begin for i:=1 to n do not if not (i in o) then begin p:=true; for j:=1 to n do if a[j,i]=1 then begin
37

p:=false; break; end; if p then begin inc(last); q[last]:=i; inc(out);

o:=o+; fillchar(a,sizeof(a),0); end; end; end; end; procedure work_1; var i,j,t,k:integer; begin begin a:=b; c[1]:=0; for i:=1 to n do begin k:=0; ifor j:=1 to i-1 do if (a[q[j],q]>0) and (a[q[j],q]+c[q[j]]>k) then k:=a[q[j],q]+c[q[j]];
38

c[q]:=k; end; end; procedure work_2; var i,j,k:integer; begin writeln(q[n]); i:=nfor i:=n-1 downto 1 do begin k:=maxint; for j:=i+1 to n do (c[q[j]]if (a[q,q[j]]>0) and (c[q[j]]-a[q,q[j]]<k) then k:=c[q[j]]k:=c[q[j]]-a[q,q[j]]; if c[q]=k then writeln(q,' '); c[q]:=k; end; end; begin init; sort; work_1; work_2; end. 拓扑排序: 拓扑排序: var a:array [1..100,1..100] of 0..1;
39

n:integer; n:integer; p:set of 1..100; procedure init; var i,j,k:integer;

begin fillchar(a,sizeof(a),0); readln(n); for i:=1 to n do begin read(k); while k<>0 do begin a[i,k]:=1; read(k); end; end; p:=[]; end; procedure search; i,j,t,sum,printed:integer; var i,j,t,sum,printed:integer; begin printed:=0; while printed<n do for i:=1 to n do begin
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sum:=0; for j:=1 to n do sum:=sum+a[j,i]; if (sum=0) and not(i in p) then begin write(i,' '); p:=p+; inc(printed); for t:=1 to n do a[i,t]:=0; end; end; end; begin init; search; search; end.

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