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2018年高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布课时达标56排列与组合理


2018 年高考数学一轮复习 第九章 计数原理与概率、随机变量及其 分布 课时达标 56 排列与组合 理
[解密考纲]本考点考查用排列与组合的知识解决计数问题, 一般以选择题或填空题的形 式出现. 一、选择题 1.在实验室进行的一项物理实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第 一步或最后一步,程序 B 和 C 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( A.34 种 C.96 种 B.48 种 D.124 种
1

C )

解析: 设 6 个程序分别是 A, B, C, D, E, F, A 安排在第一步或最后一步, 有 A2种方法. 将
4 B 和 C 看作一个元素,它们自身之间有 A2 2种方法,与除 A 外的其他程序进行全排列,有 A4种

方法,由分步计数原理得实验顺序的编排方法共有 A2A2A4=96(种),故选 C. 2.甲、乙等 5 位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这 3 所大学就读, 则每所大学至少保送 1 人的不同保送方法种数为( A A.150 C.240 B.180 D.540
1

1 2 4

)

解析:分为两类,第一类为 2+2+1,即有 2 所大学分别保送 2 名同学,方法种数为 C3 C5C4=90,第二类为 3+1+1,即有 1 所大学保送 3 名同学,方法种数为 C3C5C2=60,故不同 的保送方法种数为 150,故选 A. 3.在 5×5 的棋盘中,放入 3 颗黑子和 2 颗白子,它们均不在同一行且不在同一列,则 不同的排列方法种数为( D A.150 C.600 ) B.200 D.1 200
3 3 1 2 1 3 1

解析:首先放入 3 颗黑子,在 5×5 的棋盘中,选出三行三列,共 C5C5种方法,然后放 入 3 颗黑子,每一行放 1 颗黑子,共 3×2×1 种方法,然后在剩下的两行两列放 2 颗白子, 所以不同的方法种数为 C5C5×3×2×1×2×1=1 200,故选 D. 4.市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母 B,C,D 中 选择, 其他四个号码可以从 0~9 这十个数字中选择(数字可以重复), 某车主第一个号码(从 左到右)只想在数字 3,5,6,8,9 中选择,其他号码只想在 1,3,6,9 中选择,则他的车牌号码 可选的所有可能情况有( D A.180 种 C.720 种 ) B.360 种 D.960 种
3 3

解析:按照车主的要求,从左到右第一个号码有 5 种选法,第二个号码有 3 种选法,其
1

余三个号码各有 4 种选法.因此车牌号码可选的所有可能情况有 5×3×4×4×4=960(种). 5.节目组要安排晚会的 4 个音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序,要 求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( A.1 800 C.4 320 B ) B.3 600 D.5 040
5

解析:先安排了舞蹈节目以外的 5 个节目,共 A5种排法,再把 2 个舞蹈节目插在 6 个空 位中,有 A6种排法,所以共有 A5A6=3 600 种排法. 6.2017 年某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位在数字固定,后四位数从 “0000”到“9999”共 10 000 个号码中选择. 公司规定: 凡卡号的后四位恰带有两个数字 “6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金鸡卡”享受一定优惠政策.例如后四位数为 “2663”或“8685”,则为“金鸡卡”.则这组号码中“金鸡卡”的张数为( C A.484 C.966 B.972 D.486
2 2 5 2

)

解析:①当后四位数中有两个“6”时,“金鸡卡”共 C4×9×9=486 张;②当后四位 数中有两个“8”时,“金鸡卡”共有 C4×9×9=486 张.但这两种情况都包含了后四位数 是由两个“6”和两个“8”组成的这种情况,所以要减掉 C4 = 6 张,即“金鸡卡”共有 486×2-6=966(张). 二、填空题 7.4 个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的 4 个盒中,则恰有 1 个空盒的放法共有 144 种.(用数字作答) C4C2C1 解析:4 个球分成 3 组,每组至少 1 个,即分成小球个数分别为 2,1,1 的 3 组,有 2 A2 C4C2C1 3 3 种, 然后将 3 组球放入 4 个盒中的 3 个, 分配方法有 A4种, 因此, 方法共有 2 ×A4=144(种). A2 8.数字 1,2,3,4,5,6 按如图形式随机排列,设第一行的数为 N1,其中 N2,N3 分别表示 第二、三行中的最大数,则满足 N1<N2<N3 的所有排列的个数是 240.
2 1 1 2 1 1 2 2

解析:由题意知 6 必在第三行,安排 6 有 C3种方法,第三行中剩下的两个空位安排数字 有 A5种方法,在留下的三个数字中,必有一个最大数,这个最大数安排在第二行,有 C2种方 法, 剩下的两个数字有 A2种排法, 根据分步乘法计数原理, 所有排列的个数是 C3A5C2A2=240. 9.由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的六位数,要求奇数不相邻,且 4 不在第四位, 则这样的六位数共有 120 个. 解析:由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的六位数,要求奇数不相邻的情况,运用插入
2
2 1 2 1 2 2 1

1

法可得有 A3A4=144 种,而当第四位是 4 的情况如图所示,要使奇数不相邻,偶数只能放在 第 2,5,6 号位处,且 5,6 号位只能放一个偶数,因此偶数的放法有 2×2 种,其余的奇数放 在 1,3,5(或 6)号位处,共有 A3=6(种),共有 2×2×6=24(种),因此符合题意的六位数共 有 144-24=120(个).
3

3 3

三、解答题 10.将 7 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中. (1)不出现空盒时的放入方式共有多少种? (2)可出现空盒时的放入方式共有多少种? 解析: (1)将 7 个相同的小球排成一排, 在中间形成的 6 个空当中插入无区别的 3 个“隔 板”将球分成 4 份,每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式,则共有 C6=20 种不同 的放入方式. (2)每种放入方式对应于将 7 个相同的小球与 3 个相同的“隔板”进行一次排列,即从 10 个位置中选 3 个位置安排隔板,故共有 C10=120(种)放入方式. 11.从 1 到 9 的 9 个数字中取 3 个偶数 4 个奇数,试问: (1)能组成多少个没有重复数字的七位数? (2)上述七位数中,3 个偶数排在一起的有几个? (3)(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有几个? 解析:(1)分三步完成:第一步,从 4 个偶数中取 3 个,有 C4种情况;第二步,在 5 个 奇数中取 4 个,有 C5种情况;第三步,3 个偶数,4 个奇数进行排列,有 A7种情况.所以符 合题意的七位数有 C4C5A7=100 800(个). (2)上述七位数中,3 个偶数排在一起的有 C4C5A5A3=14 400(个). (3)上述七位数中, 3 个偶数排在一起, 4 个奇数也排在一起的有 C4C5A3A4A2=5 760(个). 12.用 0,1,2,3,4,5,6 构成无重复数字的七位数,其中: (1)能被 25 整除的数有多少个? (2)设 x,y,z 分别表示个位、十位、百位上的数字,满足 x<y<z 的数有多少个? (3)偶数必须相邻的数有多少个? 解析:(1)能被 25 整除的数有两类:后两位是 50 时,总的个数是 A5=120;后两位是 25 时,先排首位有 4 种方法,其他四位有 A4种方法,共有 4×A4=96(个)数.所以能被 25 整除的数有 120+96=216(个). (2)0,1,2,3,4,5,6 构成无重复数字的七位数有 6A6个,满足 x,y,z 分别表示个位、十 6A6 位、百位上的数字,且 x<y<z 的数共有 3 =720(个). A3
6 6 4 4 5 3 4 3 4 2 3 4 5 3 3 4 7 4 7 3 3 3

3

(3)先把四个偶数放在一起,共有 A4种排法,再把四个偶数看作一个元素与三个奇数组 成四个元素进行排列,有 A4种排法,总的排法有 A4×A4=576(种),由于此种排法会出现 0 在首位的现象,故从总的计数中减去 0 在首位的排法个数,0 在首位时,三个偶数的排法有 A3种,三个奇数排在个、十、百位也有 A3种方法,故 0 在首位的排法有 A3×A3=36(种).所 以偶数必须相邻的数有 576-36=540(个).
3 3 3 3 4 4 4

4

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