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高二竞赛讲义 生成函数方法5


高二数学竞赛班二试讲义 第5讲
一、知识点金

生成函数方法
班级 姓名

1.生成函数方法,也称母函数法,应用相当广泛。这种方法就是将离散数列和一类函数对 应起来,通过对函数的研究来确定离散数列的性质。 在初等数学中,主要有下面两类基本的对应。 (1)有限的数列 a 0 , a1 , ? ? ?, a n 与函数 Ac

( x ) ? a 0 ? a1 x ? ? ? ? ? a n x (的各项系数)对应。
n

(2)有限的整数数列 a1 , ? ? ?, a n 与函数 Ac ( x ) ? x

a1

?x

a2

? ??? ? x

an

(的各项指数)对应。

二、例题分析
例 1.证明: (1) C m C n ? C m C n
0 k 1 k ?1

? ? ? ? ? C m C n ? C mC n ? C m?n
1 k 0 k

k ?1

(2) ( C n ) ? ( C n ) ? ( C n ) ? ? ? ? ? ( ? 1) ( C n ) ? ?
0 2 1 2 2 2 n n 2

? 0, ?
n n

若 n是 奇 数 ,

? ( ? 1) 2 C n2 , 若 n 是 偶 数 。 ?

例 1. (1)考虑 (1 ? x ) (1 ? x ) 中 x 的系数,一方面,多项式
m n
k

(1 ? x ) (1 ? x ) ? (1 ? x )
m n
m

m?n

展开式中 x 的系数是 C m ? n

k

k

另一方面, (1 ? x ) (1 ? x ) ?
n

?C
i?0

m

i m

x ? ? C n x 展开式中 x 的系数是
i j j
k

n

j?0

CmCn ? CmCn
0 k 1
0 k

k ?1

? ? ? ? ? Cm Cn ? CmCn
1 k
k ?1 k ?1 1

k ?1

0

所以 C m C n ? C m C n
1

? ? ? ? ? C m C n ? C mC n ? C m?n
k 0 k

(2)考虑 (1 ? x ) (1 ? x ) 中 x 的系数,一方面,多项式
n n
n

(1 ? x ) (1 ? x ) ?
n n

?

n

i?0

C n x ? ? ( ? 1) C n x 展开式中 x 的系数是
i i j j j
n

n

j?0

?C
k ?0

n

n?k n

( ? 1) C n ?
k k

? ( ? 1)
k ?0

n

k

( C n ) ? ( C n ) ? ( C n ) ? ( C n ) ? ? ? ? ? ( ? 1) ( C n )
k 2 0 2 1 2 2 2 n n

2

另一方面, (1 ? x ) (1 ? x ) ? (1 ? x ) ?
n n 2 n

?C
i?0

n

i n

( ? 1) ( x ) ?
i 2 i

? ( ? 1)
i?0

n

i

Cnx

i

2i

展开式中 x 的系

n

若 n是 奇 数 , ? 0, ? 数分奇偶讨论。为 ? ,得证。 n n ? ( ? 1) 2 C n2 , 若 n 是 偶 数 。 ?

【评注】例 1 体现了生成函数方法证明组合恒等式的基本想法:针对恒等式的特点,考虑适 当的生成函数,用两种方法计算其某一项的系数,综合起来,得出结果。两种方法计算同一 个量,有时称为“算两次) 。 例 2.设 (1 ? x ? x ) ? a 0 ? a1 x ? ? ? ? ? a 2 n x
2 n 2n

,证明:

若3 ? k | ? 0, ? 1 k k a k ? C n a k ? 1 ? ? ? ? ? ( ? 1) C n a 0 ? ? l l ? ( ? 1) C n , 若 k ? 3 l ?

例 2.一方面,(1 ? x ) (1 ? x ? x ) ?
n 2 n

? ( ? 1)
j?0

n

j

C n x ? ( a 0 ? a1 x ? ? ? ? ? a 2 n x
j j

2n

) 展开式中 x 的

k

系数是 a k ? C n a k ?1 ? ? ? ? ? ( ? 1) C n a 0
1 k k

另一方面,(1 ? x ) (1 ? x ? x ) ? (1 ? x ) ?
n 2 n 3 n

? ( ? 1)
j?0

n

j

Cn x

j

3j

| 中, x 的系数是 0 (若 3 ? k ) ,

k

或 ( ? 1) C n (若 k ? 3 l )
l l

综合两个方面得出结果。 例 3.证明: ? C n 2
k k ?0 n n?k

C

?k ? ?2? ? ? k

? C 2 n ?1
n

例 3.证明: ( x

?1

? x ) 展开式的一般项是 C k x
k
i
?k ? ?2? ? ? k k

2i?k

,当 k 为奇数时, C
?1 k

?k ? ?2? ? ? k

k ?1

? Ck 2 是 x
?k ? ?2? ? ? k

?1

的系

数;当 k 为偶数时, C

? C k2 是常数项。所以 (1 ? x )( x
k n?k

? x ) 的常数项是 C



于是求证等式的左边是 ? C n 2
k ?0

n

(1 ? x )( x
k

?1

? x ) 的常数项。
k n k n?k ?1

另一方面, ? C n 2
k k ?0

n

n?k

(1 ? x )( x
n

?1

? x ) ? (1 ? x ) ? C n 2
k ?0

(x

? x ) ? (1 ? x )( 2 ? x
k

?1

? x)

n

?

( x ? 1) x
n

2 n ?1

的常数项是 C 2 n ? 1 。
p j p p 2

例 4.设 p 是一个素数,证明: ? C p C p ? j ? 2 ? 1(m o d p )
j?0

例 4.

三、同步检测
1.


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