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江苏南通四所名校2011届高三数学一轮复习课件:垂直关系


第四节 垂直关系

基础知识梳理
1.直线与平面垂直 (1)定义:如果一条直线和一个平 任何直线 面相交于点O,并且和这个平面内过 平面的垂线 直线的垂面 交点O的 都垂直,就说这条 垂足 直线和这个平面互相垂直,这条直线 垂线段 ,这个平面叫 叫做 点到平面的距离 做 ,交点叫 做 .垂线上任意一点到垂足间的 线段,叫做这个点到这个平面 的 ,垂线段的长度叫

基础知识梳理

(3)判定定理:如果 两条相交直线 一条直线与平面内的 垂直,则这条直线与这个 a⊥b,a⊥c, ⊥ , ⊥ , 平面垂直. =P?a⊥α c?α,b?α,b∩c= ? ⊥ ? , ? , 其符号语言为 .

基础知识梳理

(4)推论:如果在两条平行 直线中,有一条垂直于平面, 那么另一条也垂直于这个平α a∥b,a⊥α?b⊥ ∥ , ⊥ ? ⊥ 面. 其符号语言 为 .

基础知识梳理
如果一条直线与一 个平面内的无数条直 线垂直,则这条直线 和这个平面是否垂直?
【思考·提示】 不一定 垂直,若平面内一组平行线与 直线l垂直,但直线l与平面的 关系是不确定的.

基础知识梳理

2.平面与平面垂直 (1)定义:如果两个相交平 垂直 面的交线与第三个平面 , 互相垂直 且这两个平面与第三个平面相交 所得的两条交线 ,就 称这两个平面互相垂直.

基础知识梳理
(2)判定定理:如果一个平 面过另一个平面的一条垂线, 则这两个平面互相垂直. α⊥β a⊥β, ? ? a⊥β,a?α?α⊥ 其符号语言 为: . (3)性质定理:如果两个平 α⊥β,α∩β=l,a? ⊥ , =, ? 面互相垂直,那么在一个平面 α,a⊥l?a⊥β , ⊥? ⊥ 内垂直于它们交线的直线垂直 于另一个平面.

三基能力强化

1.直线a⊥直线b,a⊥平 面β,则b与β的位置关系是 ________. ________
解析:由垂直和平行的有关性 质可知b?β或b∥β.
答案:b?β或b∥β

三基能力强化

2.若两直线a与b异面,则 过a且与b垂直的平面有 ___________________个.
答案:1

三基能力强化
3.设α、β、γ为平面,给 出下列条件: ①a、b为异面直线,a?α, b?β,a∥β,b∥α; ? ②α内不共线的三点到β的 距离相等; ③α⊥γ,β⊥γ. 则其中能使α∥β成立的条 件的个数是________.

三基能力强化
解析:①由a∥β知β内有直线 a′∥a,所以a′∥α,由a、b异面知a′, b相交,又b∥α,根据平面与平面 平行的判定定理知α∥β,②③中α 与β可能相交.故只有①成立.
答案:1

三基能力强化

4.垂直于同一平面的两条 直线________.
答案:平行

三基能力强化
5.(2008年高考湖南卷改 编)已知直线m、n和平面α、β 满足m⊥n,m⊥α,α⊥β,则 n与α的位置关系为 ________.
答案:n∥α或n?α

课堂互动讲练
考点一 直线与平面垂直

直线与平面垂直 证明线面垂直的方法和 常用结论 (1)利用线面垂直的定 义. (2)利用线面垂直的判定 定理. (3)两平行线中的一条垂

课堂互动讲练
(4)两平面垂直,在一个平 面内垂直于交线的直线必垂直 于另一个平面. (5)一直线垂直于两平行平 面中的一个,那么它必定垂直 于另一个平面. (6)两相交平面同时垂直于 第三个平面,那么两平面的交 线垂直于第三个平面.

课堂互动讲练
例1

正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1,点F、H分别为 A1D、A1C的中点. D AC (1)证明:A1B∥平面AFC; (2)证明:B1H⊥平面AFC.

课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)连结BD,利用三角 形的中位线,证明线线平行;(2)利用线面 垂直的判定定理证明线线垂直.

【证明】 (1)连BD交AC于点E, 则E为BD的中点,连EF, 又F为A1D的中点,所以EF∥A1B. 又EF?平面AFC,A1B?平面AFC, 由线面平行的判定定理可得 A1B∥平面AFC.

课堂互动讲练
(2)连B1D, 在正方体中A1B1CD为 长方形, ∵H为A1C的中点, ∴H也是B1D的中点, ∴只要证B1D⊥平面ACF即可.

课堂互动讲练
由正方体性质得AC⊥BD, AC⊥B1B, ∴AC⊥平面B1BD, ∴AC⊥B1D, 又F为A1D的中点, ∴AF⊥A1D,又AF⊥A1B1, ∴AF⊥平面A1B1D, ∴AF⊥B1D,又AF、AC为平面 ACF内的相交直线. ∴B1D⊥平面ACF. 即B H⊥平面ACF.

课堂互动讲练
【点评】 证明线面垂直,往往利 用线线垂直或面面垂直转化,除此外, 构造等腰三角形证垂直及利用勾股定理 求长度之间的关系证明垂直,甚至借助 矩形相邻边的垂直等,都是可能用到的 方法.

课堂互动讲练
跟踪训练

1.如图所示, 在直四棱柱ABCD -A1B1C1D1中, DB=BC,DB⊥AC, 点M是棱BB1上一 点. (1)求证: B1D1∥面A1BD; (2)求证: MD⊥AC;

课堂互动讲练
跟踪训练 解:(1)证明: 由直四棱柱,得 BB1∥DD1且BB1= DD1,所以BB1D1D 是平行四边形,所 以B1D1∥BD. 而BD?平面 A1BD,B1D1?平面 A1BD, 所以B1D1∥平 面A1BD.

课堂互动讲练
跟踪训练 (2)证明:因为BB1⊥面ABCD, AC?面ABCD,所以BB1⊥AC, ? 又因为BD⊥AC,且BD∩BB1= B, 所以AC⊥面BB1D, 而MD?面BB1D,所以 MD⊥AC.

课堂互动讲练
跟踪训练 (3)当点M为棱BB1的中点时, 平面DMC1⊥平面CC1D1D 取DC的中点N,D1C1的中点N1, 连结NN1交DC1于O,连结OM. 因为N是DC中点,BD=BC, 所以BN⊥DC;又因为DC是面 ABCD与面DCC1D1的交线,而面 ABCD⊥面DCC1D1,

课堂互动讲练
跟踪训练 所以BN⊥面DCC1D1. 又可证得,O是NN1的中点, 所以BM∥ON且BM=ON,即 BMON是平行四边形,所以 BN∥OM,所以OM⊥平面CC1D1D, 因为OM?面DMC1,所以平面 DMC1⊥平面CC1D1D.

课堂互动讲练
考点二 面面垂直的证明

1.判定面面垂直的方法 (1)面面垂直的定义(作两平 面构成二面角的平面角,计算 其为90°). (2)面面垂直的判定定理 (a⊥β,a?α?α⊥β).

课堂互动讲练
2.在求平面垂直时,一般 要用性质定理,在一个平面内 作交线的垂线,使之转化为线 面垂直,然后进一步转化为线 线垂直,要熟练掌握“线线垂 直”、“线面垂直”、“面面 垂直”间的转化条件和转化运 用,这种转化方法是本节内容 的显著特征.掌握转化思想方 法是解决这类问题的关键.

课堂互动讲练
例2

(2009年高考江 苏卷)如图,在直三 棱柱ABC-A1B1C1 ABC A 中,E、F分别是 A1B、A1C的中点, 点D在B1C1上, A1D⊥B1C. 求证:(1)EF∥ 平面ABC; (2)平面A1FD⊥

课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)在△A1BC中证明 EF∥BC;(2)证明A1D⊥平面BB1C1C.

【证明】 (1)由E、F分别是 (1) E F A1B、A1C的中点知EF∥BC. 因为EF?平面ABC,BC?平面 ? ? ABC, 所以EF∥平面ABC.

课堂互动讲练
(2)由三棱柱ABC-A1B1C1为直 三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1. 又A1D?平面A1B1C1,故 CC1⊥A1D. 又因为A1D⊥B1C,CC1∩B1C= C,CC1,B1C?平面BB1C1C, 故A1D⊥平面BB1C1C, 又A1D?平面A1FD,所以平面 A1FD⊥平面BB1C1C.

课堂互动讲练
【点评】 证明面面垂直,通常是 证明一个平面过另一个平面的垂线,将 证明面面垂直转化为证明线面垂直.因 此,正确地选择垂线是解题的关键,垂 线一般选取的方法是作出两平面的交线 在一个平面内的垂线.

课堂互动讲练
互动探究

2.将例2中“直三棱柱”改 为“正三棱柱”,“点D在B1C1 上,A1D⊥B1C”改为“点D是 B1C1的中点”,证明平面 A1FD⊥平面BB1C1C.
解:由正三棱柱的知识知 CC1⊥A1D, 又在底面A1B1C1中,D为B1C1的 中点, ∴A1D⊥B1C1,

课堂互动讲练
考点三 空间中垂直关系的综合问题

在几何图形中线线、线面、 面面的垂直关系三者往往互相 转化应用,灵活应用这种转化 才能快速地解题.

课堂互动讲练
例3

(解题示范)(本题满分12分) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E,F分别为棱BB1和DD1中点. (1)求证:平面B1FC1∥平面 ADE; (2)试在棱DC上求一点M,使 D1M⊥平面ADE.

课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)证线线平行;(2)设 平面ADE与CC1交于点G,D1M⊥平面ADE, 所以D1M⊥DG,可知M应为CD中点.

【证明】 (1)可证AD∥平面 FB1C1, AE∥平面FB1C1,4分 ∵AD∩AE=A,AD,AE?平面 ADE, ∴平面ADE∥平面FB1C1.6分

课堂互动讲练
(2)M应是DC的中点. ∵B1C1⊥平面DD1C1C,D1M?平面 ? DD1C1C, ∴B1C1⊥D1M,8分 由平面几何知识得FC1⊥D1M, FC1∩B1C1=C1,FC1,B1C1?平面FB1C1, ∴D1M⊥平面FB1C1, 又由(1)知平面ADE∥平面FB1C1,10分 ∴D1M⊥平面ADE.12分

课堂互动讲练
【点评】 证明平面垂直时,一般方法是 先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中这 样的直线不存在,则可通过作辅助线来解决; 而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明, 不能随意添加.在有平面垂直时,一般要用性 质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转 化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直, 要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、 “面面垂直”间的转化条件和转化运用,这种 转化方法是本节内容的显著特征.掌握转化思 想方法是解决这类问题的关键.

课堂互动讲练
自我挑战

3.(本题满分10 分)在四棱锥P- ABCD中,底面 ABCD是∠DAB= 60°的菱形,侧面 PAD为正三角形,其 所在平面垂直于底面 ABCD. (1)求证: AD⊥PB;

课堂互动讲练
证明:(1)取AD的中点G,连结PG、 BG、BD. ∵△PAD为等边三角形, ∴PG⊥AD.2分 在△ABD中,∠BAD=60°,AD= AB, ∴△ABD为等边三角形. ∴BG⊥AD, ∴AD⊥平面PBG. ∴AD⊥PB.4分

课堂互动讲练
(2)连结CG,与DE相交于点H, 在△PGC中作HF∥PG,交PC于 点F. ∵平面PAD⊥平面ABCD,8分 ∴PG⊥平面ABCD. ∴FH⊥平面ABCD. ∴平面DEF⊥平面ABCD. ∵H是CG的中点, ∴F是PC的中点, ∴在PC上存在一点F,即为PC 的 中点,使得平面DEF⊥平面 ABCD.10分

规律方法总结
1.线面垂直 (1)判定定理可以简单地记 为“线线垂直?线面垂直”, 定理中的关键词语是“平面内 两条相交直线”和“都垂 直”.证题时常常是定义和判 定定理反复使用,使线线垂直 与线面垂直之间相互转化.

规律方法总结
(2)直线和平面垂直的性质 定理可以作为两条直线平行的 判定定理,可以并入平行推导 链中,实现平行与垂直的相互 转化,即线⊥线?线⊥面,线 ? ∥线?线∥面.

规律方法总结
2.面面垂直 (1)两个平面垂直是通过这 两个平面所成的二面角的度数 来定的,同时也给我们提供了 一种证明方法:求二面角法. (2)欲证两个平面互相垂直, 可证明由它们组成的二面角的 平面角为直角(必须先作出平面 角来),因此这个定义既是平面 和平面垂直的判定又是性质.

规律方法总结
(3)两个平面垂直的判定定理 不仅是判定两个平面垂直的依据, 而且是找出垂面的依据(即在经过 该平面的垂线的平面内找). (4)两个平面垂直的判定定理 和性质定理分别由线面垂直得出 面面垂直,以及由面面垂直得到 线面垂直,从这一方面可知线面 垂直与面面垂直的密切关系,解 决有关问题时,经常利用“线线

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