当前位置:首页 >> 数学 >>

实验十四 矩阵的特征值与特征向量 数学实验课件习题答案


天水师范学院数学与统计学院

实验报告
实验项目名称 矩阵的特征值与特征向量 所属课程名称 实 验 类 型 实 验 日 期 数学实验 线性代数 2013-5-26

班 学 姓 成

级 号 名 绩

10 级数应 2 班 291010836 吴保石

一、实验概述: 【实验目的】
学习掌握利用 Mathematicas 命令求方阵的特征值和特征向量; 利用特征值求二次型的标准 形。

【实验原理】
(1)命令 Eigenvalues,给出方阵 M 的特征值. (2)命令 Eigenvectors[M],给出方阵 M 的特征向量.但是时输出中含有零向量,此时输出 中的非零向量才是真正的特征向量. (3)命令 eigensystem[M],给出方阵 m 的特征值和特征向量.同样,有时输出的向量中含有 零向量. (4)调用“线性代数.向量组正交化”软件包命令是

<<LinearAlgebra\Orthogonalization.m
现在,对向量组施行正交单位化的命令 GramSchmidt 就可以使用了,命令 Gramschmidt[A]给 出与矩阵 a 的行向量组等价的且已正交化的单位向量组.

【实验环境】
系统 Microsoft Windows XP Professional 版本 2002 Service Pack 3 Ghost XP_SP3 电脑公司快速装机版 V2011.07 Intel(R)Core(TM)i3 CPU 550 @3.20GHz 3019GHz,1.74GB 的内存物理地址扩展

二、实验内容: 【实验方案】
1.求方阵的特征值与特征向量 2. 矩阵的相似变换

【实验过程】 (实验步骤、记录、数据、分析)
1.求方阵的特征值与特征向量

Clear[M]; M={{1,2,3},{2,1,3},{3,3,6}}; Eigenvalues[M] Eigenvectors[M] Eigensystem[M]
用命令 Eigenvalues[M]立即求得方阵 M 的特征值,命令 Eigenvectors[M]立即求得方阵 M
1

的特征向量,命令 Eigensystem[M]立即求得方阵的特征值和特征向量 例 14.2 求方阵 M 的特征值和特征向量

(*Example14.2*) G={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6,1,-2}}; Eigensystem[G] G={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6.0,1,-2}}; Eigensystem[G]
例 14. ,已知:是方阵的特征值,求 t.

(*Example14.3*) Clear[A,q]; A={{2-3,0,0},{-1,2-t,-3},{-1,-2,2-3}}; q=Det[A]; Solve[q? 0,t]
例 14.4 已知 z=(1,1,一 I)是方阵 A=J 5

(*Example14.4*) Clear[A,B,v,a,b,t]; A={{t-2,1,-2},{-5,t-a,-3},{1,-b,t+2}}; v={1,1,-1}; B=A.v; Solve[{B[[1]]? 0,B[[2]]? 0,B[[3]]? 0},{a,b,t}]
2-矩阵的相似变换 若 n 阶方阵 A 有 n 个线性无关的特征向量,则 A 与对角阵相似.实对称阵总与对角阵相 似,且存在正交阵 P,使 P’AP 为对角阵.命令 EigenVectors[A]与 Eigensystem[A]给出还未经过 正交化和单位化的特征向量因此要对特征向量进行正交化和单位化所用的命令是 GramSchmidt[ ]不过首先要输人调用软件包<<LinearAlgebra\Orthogonalization.m 的命令 例 14 5 设方阵 A=,求一可逆阵 P,使 P-1AP 为对角阵.

Clear[A,p]; A={{4,1,1},{2,2,2},{2,2,2}}; Eigenvalues[A]; p=Eigenvectors[A]//Transpose Inverse[p].A.p jor=JordanDecomposition[A] j or[[1]] jor[[2]]
例 14 6 方阵 A 是否与对角阵相似?

Clear[A]; A={{1,0},{2,1}}; Eigensystem[A]
例 14.7

Clear[x,v]; v={{4,0,0},{-2,2-x,-2},{-3,-1,1}}; Solve[Det[v]? 0,x]
例 14.8 对实对称矩阵 A=

<<LinearAlgebra\Orthogonalization.m
2

Clear[a,p]; A={{0,1,1,0},{1,0,1,0},{1,1,0,0},{0,0,0,2}}; Eigenvalues[A] Eigenvectors[A] p=GramSchmidt[Eigenvectors[A]]//Transpose
例 14.9 求一个正交变换,化二次型为标准二次型的矩阵为

f=Table[x[j],{j,4}].A.Table[x[j],{j,4}]//Simplify f/.Table[x[j]?(p.Table[y[j],{j,4}])[[j]],{j,4}]//Simplify 【实验结论】 (结果)
在计算机上应用 mathematics5.2 在实际操作,应用矩阵求特征值与特征向量的命令求解 了下面问题: 1.求方阵的特征值与特征向量; 2. 求方阵的特征值与特征向量的近似值; 3.已知特征值求未知数; 4.求对角阵,正交阵等。

【实验小结】 (收获体会)
通过本节的学习,我初步掌握了方阵特征值的命令 Eigenvalues;方阵特征向量命令 Eigenvectors[M]; 给出方阵 m 的特征值和特征向量的命令 eigensystem[M]; 调用 “线性代数. 向 量组正交化”软件包命令<<LinearAlgebra\Orthogonalization.m。对求方阵的特征值与特征 向量;求方阵的特征值与特征向量的近似值;特征值求未知数;求对角阵,正交阵等的问题有 了更深刻的理解,方便了以后的学习。

三、指导教师评语及成绩: 评语等级 评 语 优 良 中 及 格 不及格

1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强 2.实验方案设计合理 3.实验过程(实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻) 4 实验结论正确.



绩: 指导教师签名: 批阅日期:

附录 1:源 程 序
第一题 Clear[A];

3

A={{-1,2,2},{2,-1,-2},{2,-2,-1}}; Eigenvalues[A] Eigenvectors[A] Eigensystem[A] {-5,1,1} {{-1,1,1},{1,0,1},{1,1,0}} {{-5,1,1},{{-1,1,1},{1,0,1},{1,1,0}}} 第二题 Clear[A]; A={{1,1,1,1},{1,1,-1,-1},{1,-1,1,-1},{1,-1,-1,1}}; Eigenvalues[A] Eigenvectors[A] Eigensystem[A] {-2,2,2,2} {{-1,1,1,1},{1,0,0,1},{1,0,1,0},{1,1,0,0}} {{-2,2,2,2},{{-1,1,1,1},{1,0,0,1},{1,0,1,0},{1,1,0,0}}} 第三题 Clear[A,q]; A={{1,0,1},{0,2,0},{1,0,t}}; q=Det[A]; Solve[q? 0,t] {{t?1}} 第四题 Clear[A,B,v,t]; A={{t-2,1,1},{1,t-2,1},{1,1,t-2}}; v={1,k,1}; Transpose[{v}] B=A.Transpose[{v}]; Solve[{B[[1]]? 0,B[[2]]? 0,B[[3]]? 0},{t,k}] {{t?0,k?1},{t?3,k?-2}} 第五题 Clear[A]; A={{0,-1,2},{0,1,0},{1,-1,1}}; Eigensystem[A] {{2,-1,1},{{1,0,1},{-2,0,1},{1,1,1}}} 第六题 Clear[A,P,x,v]; A={{2,0,0},{0,0,1},{0,1,0}}; v={{-3,0,0},{0,-1,-1},{0,-1,-1-x}}; Solve[Det[v]? 0,x] {{x?0}} Eigenvalues[A] P=Eigenvectors[A]//Transpose {2,-1,1}
4

{{1,0,0},{0,-1,1},{0,1,1}} Inverse[p].A.p Inverse[p].{{2,0,0},{0,0,1},{0,1,0}}.p 第七题 <<LinearAlgebra`Orthogonalization` Clear[A,C1]; A={{1,2,4},{2,-2,2},{4,2,1}}; Eigenvalues[A] Eigenvectors[A] C1=GramSchmidt[Eigenvectors[A]]//Transpose {6,-3,-3} {{2,1,2},{-1,0,1},{-1,2,0}}
2 , ? 3 1 , ? 1 , 1 2 2 , 0, 3 3

Transpose[C1].C1 Inverse[C1].A.C1//Simplify Transpose[C1].A.C1//Simplify {{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}} {{6,0,0},{0,-3,0},{0,0,-3}}

?????? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?
2 3 2 , 2 , 3 1 2 ,? 1 3 2
{{6,0,0},{0,-3,0},{0,0,-3}}

附录 2:实验报告填写说明
1.实验项目名称:要求与实验教学大纲一致。 2.实验目的:目的要明确,要抓住重点,符合实验教学大纲要求。 3.实验原理:简要说明本实验项目所涉及的理论知识。 4.实验环境:实验用的软、硬件环境。 5.实验方案(思路、步骤和方法等):这是实验报告极其重要的内容。概括整个实验过程。 对于验证性实验,要写明依据何种原理、操作方法进行实验,要写明需要经过哪几个步 骤来实现其操作。对于设计性和综合性实验,在上述内容基础上还应该画出流程图、设 计思路和设计方法,再配以相应的文字说明。对于创新性实验,应注明其创新点、特色。 6.实验过程(实验中涉及的记录、数据、分析):写明具体实验方案的具体实施步骤,包 括实验过程中的记录、数据和相应的分析。 7.实验结论(结果):根据实验过程中得到的结果,做出结论。

5

8.实验小结:本次实验心得体会、思考和建议。 9.指导教师评语及成绩:指导教师依据学生的实际报告内容,给出本次实验报告的评价。

6


赞助商链接
相关文章:
数学实验特征值与特征向量.
搜 试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...数学实验 特征值 特征向量实验六一.实验目的 特征值...掌握特征值特征向量、 特征方程、 矩阵的对角化...
实验七 多元函数微分 数学实验课件习题答案
数学实验课件习题答案 ... 实验十一 行列式与矩阵 ... 实验十二 矩阵的秩与向量组... 实验十三 线性方程组 数... 实验十四 矩阵的特征值与特... 极限与...
数学实验特征值与特征向量.
数学实验特征值与特征向量._数学_自然科学_专业资料。数学实验报告 学班学姓 院: 级: 号: 名: 完成日期: 实验矩阵的特征值与特征向量问题一 一.实验目的 ...
matlab实验十四__特征值和特征向量
搜试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...matlab数学实验系列 实验十四 特征值和特征向量【实验...与步骤】 实验方法与步骤】 练习 1 求矩阵 A = ...
十四矩阵的特征值与特征向量
天水师范学院数学与统计学院 实验报告实验项目名称 矩阵的特征值与特征向量 所属课程名称 实验类型实验日期 高等数学实验 线性代数 2011.12.14 班学姓成 级号名绩...
华工数学实验报告 特征值与特征向量
特征根与特征方程 2016/05/31 特征根与特征方程 1. 实验目的 掌握特征值特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论; 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法; ...
南邮MATLAB数学实验答案(全)
南邮MATLAB数学实验答案(全)_数学_小学教育_教育专区...求出矩阵 A2 的特征值与特征向量, 并将特征向量与...(122 页练习 14) >> A2=[3/4,1/2,1/4;1...
极限与连续 数学实验课件习题答案
实验十三 线性方程组 数... 实验十四 矩阵的特征值与特...1...数学实验课件习题答案数学实验课件习题答案隐藏>> 天水师范学院数学与统计学院 实验...
实验十 微分方程 数学实验课件习题答案
实验十四 矩阵的特征值与特... 极限与连续 数学实验课件...1...数学实验课件习题答案数学实验课件习题答案隐藏>> 天水师范学院数学与统计学院 实验...
天水师范学院数学实验上机操作上机报告实验报告十四
天水师范学院数学与统计学院 实验报告实验项目名称 矩阵的特征值与特征向量 所属课程名称 实验类型实验日期 高等数学实验 上机实验 2012-5-31 班学姓成 级号名绩...
更多相关标签: