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指数与指数函数


指数与指数函数
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高中数学 通用

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高中三年级 60

指数函数的求值;指数函数的图像和性质;指数函数有关的复合函数的性质;指数函数与对数函数、抽象函数 1.考查指数函数的求值、指数函数的图像和性质; 2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质; 3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合,综合考查指数函数知识的应用.

教学重点

1.重视指数的运算,熟练的运算能力是高考得分的保证; 2.掌握两种情况下指数函数的图像和性质,在解题中要善于分析,灵活使用; 3.对有关的复合函数要搞清函数的结构.

教学难点

两种情况下指数函数的图像和性质,在解题中要善于分析,灵活使用

1

教学过程
一、课程导入
1.恒成立问题一般与函数最值有关,要与方程有解区别开来. 2.复合函数的问题,一定要注意函数的定义域. 3.对可化为 a2x+b·ax+c=0 或 a2x+b·ax+c≥0 (≤0)形式的方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围.

2

二、复习预习
1.根式与分数指数幂的实质是相同的,通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算,从而可以简化计算过程. 2.指数函数的单调性是底数 a 的大小决定的,因此解题时通常对底数 a 按:0<a<1 和 a>1 进行分类讨论. 3.比较指数式的大小方法:利用指数函数单调性、利用中间值.

3

三、知识讲解
考点 1.根式的性质
(1)(

n

a)n=a. n an=a;当 n 为偶数时 n an=?
? ?a ?-a ?

(2)当 n 为奇数时

?a≥0? ?a<0?

4

考点 2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念 ①正整数指数幂:an=a·a·…·na (n∈N*). 个 ②零指数幂:a0=1(a≠0). 1 ③负整数指数幂:a-p= p(a≠0,p∈N*).

a

④正分数指数幂: a = ⑤负分数指数幂: a
?

m n

n

am(a>0,m、n∈N*,且 n>1).

m n



1

a

m n



1

n

(a>0,m、n∈N*,且 n>1).

am

⑥0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义.

5

(2)有理数指数幂的性质 ①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q); ②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).

6

考点 3.指数函数的图像与性质
y=ax a>1
0<a<1

图像

定义域 值域

(1)R (2)(0,+∞) (3)过定点(0,1) (4)当 x>0 时,y>1; (5)当 x>0 时,0<y<1;

性质

x<0 时,0<y<1
(6)在(-∞,+∞)上是增函数

x<0 时,y>1
(7)在(-∞,+∞)上是减函数

7

四、例题精析
题型一
例1

指数幂的运算

【题干】
1 2 1 6 3 4 ?1

? ?2 ? (1)计算:(124 ? 22 3 ) ? 27 ? 16 ? 2 ? ? 8 3 ? ? ? ? ?
(2)已知 x
1 2

?x

?

1 2

? 3 ,求

x 2 ? x ?2 ? 2 x
3 2

?x

?

3 2

的值.

?3

8

3

【试题分析】(1)本题是求指数幂的值,按指数幂的运算律运算即可;(2)注意

x2+x-2、

x

2

? x

?

3 2

1

与x 2 ? x

?

1 2

之间的关系.

? ?2 ? 【规范解答】 (1)(124 ? 22 3 ) ? 27 ? 16 ? 2 ? ? 8 3 ? ? ? ? ?
1 2 1 6 3 4

?1

=(11 ? =11+ (2)∵ x
1 2

3)

2?

1 2

?3

3?

1 6

?2

4?

3 4

? ?2 ? ? 2 ? ? 8 3 ? = 11 ? ? ? ? ?

?1

3 ?3 ?2 ?2?2
3

1 2

3?

2 3

3-

3+8-8=11.
1 2

?x

?

? 3 ,∴(x

1 2

?x

?

1 2 2

) ? 9,

∴x+2+x-1=9,∴x+x-1=7,∴(x+x-1)2=49,∴x2+x-2=47, 又∵ x ∴
3 2

?x

?

3 2

=( x

1 2

?x

?

1 2

)·(x-1+x-1)=3×(7-1)=18,

x 2 ? x ?2 ? 2 x
3 2

?x

3 ? 2



?3

47-2 =3. 18-3

【总结与反思】 根式运算或根式与指数式混合运算时,将根式化为指数式计算较为方便,对于计算的结果,不强求统一用什么
形式来表示,如果有特殊要求,要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又有负指数.
9

【举一反三】 计算下列各式的值:
? 27 ? 3 (1)(? ) ? (0.002) 2 ? 10( 5-2)- 1 ? ( 2- 3 )0 ; 8 2 1

(2)

-( 5+2

1

3-1)0-

9-4

5;

(3)

a 3b 2 ? 3 ab 2
(a b ) a b
1 4 1 2 4 ? 1 3 1 3

(a>0,b>0).

10

2 1 ? 8 ?2 1 8 3 【解析】 (1)原式=(? ) ? (500 )2 ? 10( 5-2) ? 1 =?- ? +500 -10( 5+2)+1 2 27 ? 27?3

4 = +10 9

5-10

167 5-20+1=- . 9
2

(2)原式=

5-2-1- ( 5 ? 2) =(

5-2)-1-(
1 1 1? ? 2 ? 3 3

5-2)=-1.

(3)原式=

a 3b 2 ? 3 ab 2
(a b ) a b
1 4 1 2 4 ? 1 3 1 3



a

3 1 1 ? ?1 ? 2 6 3

b

=ab-1.

11

题型二 指数函数的图像、性质的应用
例2 【题干】
( )

(1)函数 f(x)=ax-b 的图像如图所示,其中 a,b 为常数,则下列结论正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 (2)求函数 f(x)=3

x2-5x+4的定义域、值域及其单调区间.

12

【试题分析】对于和指数函数的图像、性质有关的问题,可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手. 【答案】 D 【规范解答】 由 f(x)=ax-b 的图像可以观察出函数 f(x)=ax-b 在定义域上单调递减, 所以 0<a<1.函数 f(x)=ax-b 的图像是在 f(x)
=ax 的基础上向左平移得到的,所以 b<0. (2)解 依题意 x2-5x+4≥0,解得 x≥4 或 x≤1, ∴f(x)的定义域是(-∞,1]∪[4,+∞). ∵

x2-5x+4≥0,∴f(x)=3 x2-5x+4≥30=1,

∴函数 f(x)的值域是[1,+∞). 令 u=

x2-5x+4=

? 5? 9 ?x- ?2- ,x∈(-∞,1]∪[4,+∞), ? 2? 4

∴当 x∈(-∞,1]时,u 是减函数,当 x∈[4,+∞)时,u 是增函数. 而 3>1,∴由复合函数的单调性,可知 f(x)=3

x2-5x+4在(-∞,1]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数.

【总结与反思】 (1)与指数函数有关的函数的图像的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.
(2)对复合函数的性质进行讨论时,要搞清复合而成的两个函数,然后对其中的参数进行讨论.
13

【举一反三】
ex+e-x (1)函数 y= x 的图像大致为 e -e-x ( )

14

【答案】 A 【解析】 y=
ex+e-x 2 2 2x-1>0,且随着 x 的增大而增大,故 y=1+ = 1 + ,当 x >0 时, e >1 且随着 x 的增大而减小, ex-e-x e2x-1 e2x-1

即函数 y 在(0,+∞)上恒大于 1 且单调递减.又函数 y 是奇函数,故只有 A 正确.

15

(2)若函数 f(x)= e

?(x ? ? )2

(e 是自然对数的底数)的最大值是 m,且 f(x)是偶函数,则 m+μ =________.

【答案】 1 【解析】 由于 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x),
即e
?(x ? ? )2

=e

?( ?x ? ? )2

∴(x+μ )2=(x-μ )2,∴μ =0,

∴f(x)= e

?x 2

.又 y=ex 是 R 上的增函数,而-x2≤0,∴f(x)的最大值为 e0=1=m,∴m+μ =1.

16

题型三 指数函数的综合应用
例 3【题干】 (1)k 为何值时,方程|3x-1|=k 无解?有一解?有两解? 1 (2)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2x- |x|. 2 3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 ②若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围.

17

【试题分析】方程的解的问题可转为函数图像的交点问题;恒成立可以通过分离参数求最值或值域来解决.

【规范解答】 (1)函数 y=|3x-1|的图像是由函数 y=3x 的图像向下平移一个单位后,再把位于 x 轴下方的图像沿 x 轴翻折到 x
轴上方得到的,函数图像如图所示. 当 k<0 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图像无交点,即方程 无解;当 k=0 或 k≥1 时,直线 y=k 与函 数 y=|3x-1|的图像有唯一的交点,所以方程 有一解; 当 0<k<1 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图像有两个不同的交点,所以方程有两解. (2)①当 x<0 时,f(x)=0,无解; 1 当 x≥0 时,f(x)=2x- x, 2 1 3 1 由 2x- x= ,得 2·22x-3·2x-2=0,看成关于 2x 的一元二次方程,解得 2x=2 或- ,∵2x>0,∴x=1. 2 2 2

? ? 1? 1? ②当 t∈[1,2]时,2t?22t- 2t?+m?2t- t?≥0,即 m(22t-1)≥-(24t-1),∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1), 2 ? 2? ? ?
18

∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5],故 m 的取值范围是[-5,+∞).

【总结与反思】 对指数函数的图像进行变换是利用图像的前提,方程 f(x)=g(x)解的个数即为函数 y=f(x)和 y=g(x)图像交点的
个数;复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数,搞清复合函数的结构.

19

【举一反三】 已知 f(x)=
(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性;

a

a2-1

(ax-a-x) (a>0 且 a≠1).

(3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围.

20

【解析】 (1)因为函数的定义域为 R,所以关于原点对称.
又因为 f(-x)=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f(x),

所以 f(x)为奇函数. (2)当 a>1 时,a2-1>0,y=ax 为增函数,y=a-x 为减函数,从而 y=ax-a-x 为增函数,所以 f(x)为增函数, 当 0<a<1 时,a2-1<0,

y=ax 为减函数,y=a-x 为增函数,
从而 y=ax-a-x 为减函数,所以 f(x)为增函数. 故当 a>0,且 a≠1 时,f(x)在定义域内单调递增. (3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数, 所以在区间[-1,1]上为增函数, 所以 f(-1)≤f(x)≤f(1), 所以 f(x)min=f(-1)=

a

a2-1

(a-1-a)

21



1-a2 · =-1, a2-1 a

a

所以要使 f(x)≥b 在[-1,1]上恒成立,则只需 b≤-1, 故 b 的取值范围是(-∞,-1].

22

课程小结
1.判断指数函数图像上底数大小的问题,可以先通过令 x=1 得到底数的值再进行比较. 2.指数函数 y=ax (a>0,a≠1)的性质和 a 的取值有关,一定要分清 a>1 与 0<a<1. 3.对和复合函数有关的问题,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成

23


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