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高考试题教学运用与探究(发表稿):复合函数的单调性9.26修改后


复合函数的单调性的求解策略
我们知道,在复合函数 y ? f ? ? g ? x ?? ? 中,若内层函数 u ? g ? x? 在区间 ? a, b ? 上具有单调性,当

x ?? a, b? 时 , u ? ? m, n? , 且 外 层 函 数 y ? f ? u? 在 区 间 ? m, n? 上 也 具 有 单 调 性 , 则 复 合 函

数 y ? f ? g ( x)? 在区间 ? a, b ? 上一定是单调函数.其规律为:同增同减复合增,增减相异复合减.简而言
之“同为增,异为减”. 函数的单调性是高考的重点和热点内容之一,其中复合函数的单调性是高中数学的一个难点. 如何 求解复合函数的单调性呢? 一、外层函数与内层函数均为一种单调性的复合型 【例 1】函数 f (x) = log a (4 - ax)(a > 0, a ? 1) 在 [0,1]上单调递减,则 a 的取值范围是 (A) (1, 4] (B) (1, 4) (C) (4, + ?

)

(D) [4, + ?

)

【解析】 (1)函数的定义域须满足: 4 - ax > 0 ; (2)还原复合函数的复合过程:此函数是由函数 y ? loga u,u ? x ? ? 4 ? ax 复合所得; (3)内层函数的单调区间:因 a > 0 ,函数 u ? x ? ? 4 ? ax 在 [0,1]上单调递减,且 u ?? 4 ? a, 4? ; (4) 外层函数的单调区间: 当 0 < a < 1时, 函数 y ? log a u 在 u ?? 4 ? a, 4? 上单调递减; 当a > 1 时,函数 y ? log a u 在 u ?? 4 ? a, 4? 上单调递增; (5)因为函数 f ( x) = loga (4- ax) 在 [0,1]上单调递减,而函数 u ? x ? ? 4 ? ax 在 [0,1]上单调递 减,根据复合函数的单调性规律,可知: a > 1 ,且 4 ? a ? 0 . 故答案为 B. 【评注】研究函数的单调区间必须遵循“定义域优先”的原则,不能忽视 4 - ax > 0 在 [0,1]恒成 立. 【变式 1-1】函数 f (x) = log a (4 - ax)(a > 0, a ? 1) 在 [6,8]上单调递增,则 a 的取值范围是

1 (A) ? ÷ ?0, ÷

骣 ? 桫 2÷

(B) ? ÷ ? ,1÷

骣 1 ? 桫 2 ÷

(C) (2, + ?

)

(D) [2, + ?

)

【变式 1-2】 (2010 重庆)函数 y ? 16 ? 4x 的值域是 (A) [0, ??) (B) [0, 4] (C) [0, 4) (D) (0, 4)

二、外层函数只有一种单调性,内层函数有多种单调性的复合型 【例 2】求函数 y ? log 1 x 2 ? 4 x ? 3 的单调区间.
2

?

?

1

【解析】 (1)函数的定义域: ? ??, 1? ? ?3, ? ?? ; (2)还原复合函数的复合过程:此函数是由函数 y ? log 1 u,( u x) ? x 2 ? 4 x ? 3 复合所得;
2

u x) ? x ? 4 x ? 3 在 x ? ? ??,2? 单调递减, x ??2, (3)内层函数的单调区间:函数 ( ? ?? 单调
2

递增; (4)外层函数的单调区间:函数 y ? log 1 u 在 u ? ? 0, ??? 上单调递减;
2

(5)根据复合函数的单调性规律,写出复合函数的单调区间:复合函数 y ? log 1 x 2 ? 4 x ? 3 在
2

?

?

1? 单调递增, ?3, ? ?? 单调递减. ? ??,
【评注】探求此类复合函数的单调性的五环节: (1)确定定义域,函数的单调区间必须是函数定 义域的子区间; (2)还原复合函数的复合过程; (3)确定内层函数的单调区间; (4)确定外层函数的 单调区间; (5)根据复合函数的单调性规律,给出复合函数的单调区间.在考虑它的单调区间时,包括 不包括端点都可以,但,若单调区间端点在定义域之中,最好用“闭” ,否则,用“开” .
2 【变式 2-1】 (2013 福建)函数 f ( x ) = ln ( x + 1) 的图象大致是

A.

B.
2

C.

D.

【变式 2-2】 (2014 天津)函数 f ( x) = log 1 x2 - 4 的单调递增区间是 (A) (0, + ?

(

)

)

(B) (- ? ,0)

(C) (2, + ?

)

(D) (- ? , 2) .

2 【例 3】函数 f ? x ? ? log sin3 x ? 6 x ? 5 的单调区间是

【解析】 (1)此函数的定义域: ? ??, 1? ? ?15 , ? ?? ; ? ? ?5,

u x) ? x 2 ? 6 x ? 5 复合所得; (2)此函数是由函数 y ? log sin 3 u,( u x) ? x 2 ? 6 x ? 5 在 ? ??, (3)内层函数的单调区间:函数 ( 1? 单调递减, ?1, 5? 3? 单调递增, ?3,
单调递减, ?5, ? ?? 单调递增; (4)外层函数的单调区间:函数 y ? logsin3 u 在 u ? ? 0, ??? 单调递减;
2 (5) 根据复合函数的单调性规律, 复合函数的单调区间: 函数 y ? log sin 3 x ? 6 x ? 5 在 ? ??, 1? 单

调递增, ?1 5? 单调递增, ?5, ? ?? 单调递减. , 3? 单调递减, ?3,

2

2 【评注】函数 f ? x ? ? logsin 3 x ? 6 x ? 5 既在 ? ??, 1? 单调递增,又在 ?3, 5? 单调递增,但是,不
2 能说函数 y ? log sin 3 x ? 6 x ? 5 在 ? ??, 1? ? ?3, 5? 单调递增.

【变式 2-3】函数 f ? x ? ? log9 ? x ? 8 ?

? ?

a? ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数,求 a 的取值范围. x?

三、外层函数有多种单调性,内层函数只有一种单调性的复合型 【例 4】求函数 y ? 2log 1 2 x ? 2log 1 x ? 1 的单调区间.
2 2

【解析】 (1)此函数的定义域: ? 0, ? ?? ; (2)此函数是由函数 y ? 2u 2 ? 2u ? 1 ,( u x) ? log 1 x 复合所得;
2

(3)内层函数的单调区间:函数 ( u x) ? log 1 x 在 x ?? 0, ??? 单调递减;
2

(4)外层函数的单调区间:函数 y ? 2u 2 ? 2u ? 1在 u ? ? ??, ? 单调递减,u ? ? , ? ? ? 单调递 增; (5)根据复合函数的单调性规律,写出复合函数的单调区间:函数 y ? 2log 1 2 x ? 2log 1 x ? 1 在
2 2

? ?

1? 2?

?1 ?2

? ?

? 2 ? ? 1? 2? ? ?1 ? u ? ? ??, ? ? x ? ? , ? ?? ? ?? ? x?? 0, ? 单调递增;在 u ? ? , ? ? ? 单调递减. 2? ? ?2 ? ? 2 ? ? 2 ?
【评注】 给出复合函数的单调区间, 必须将外层函数中的 u ? ? ??, ? 调整为复合函数的自变量 x

? ?

1? 2?

等价的范围 x ? ?

? 2 ? ?1 ? , ? ?? ,必须将外层函数中的 u ? ? , ? ? ? 调整为复合函数的自变量 x 等价的范 ? ?2 ? ? 2 ?

围 x ? ? 0,

? ? ?

2? ?. 2 ? ?
x x?1

【变式 3-1】函数 f ? x ? ? 9 ? 2 ? 3 【变式 3-2】函数 f ? x ? ? sin ? (A) ? ?? ,0?

? 2 的单调递减区间是

;单调递减区间是

.

?? ? ? x ? 的单调递增区间是 ?4 ?
(C) ?

(B) ? ?

? ? 3? ? , ? 4 4 ? ?

? 3? 7? ? , ? 4 4 ? ?

(D) ? 0, ? ?

四、外层函数与内层函数都有多种单调性的复合型 【例 5】已知函数 f ? x ? ? x ? 8x ? 2, 则 g ? x ? ? f ? x ?
2

? ?

1? ? ? x ? 0 ? 的递增区间是 x?

.

3

【解析】 (1)此函数的定义域: ? 0, ? ?? ; (2)此函数是由函数 y ? f ? u ? ? u ? 8u ? 2, u ? x ? ? x ?
2

1 ? x ? 0 ? 复合所得; x

(3)内层函数的单调区间:函数 u ? x ? ? x ? 递增;

1 ? x ? 0 ? 在 x ? ? 0,1? 单调递减,在 x ? ?1, ??? 单调 x

(4)外层函数的单调区间: y ? f ?u ? ? u 2 ? 8u ? 2 在 u ? ? ??, 4 ? ? x ? 2 ? 3, 2 ? 3 单调 递减,在 u ? ? 4, ?? ? ? x ? ??, 2 ? 3 ? 2 ? 3, ?? 单调递增, (5) 根据复合函数的单调性规律, 写出复合函数的单调区间: 函数 g ? x ? 在 0, 2 ? 3 单调递减, ,

?

?

?

? ?

?

?

?

?2 ?

3,1 单调递增, 1, 2 ? 3 单调递减, 2 ? 3, ?? 单调递增.
答案: 2 ?

?

?

? ? 3,1? , ? 2 ? 3, ?? ? .

?

?

2 【变式 4-1】已知函数 f ? x ? ? 8 ? 2x ? x2 , 则 g ? x ? ? f 2 ? x

?

?

(A)在区间 ? ?1,0? 上是减函数 (B)在区间 ? 0,1? 上是减函数 (C)在区间 ? ?2,0 ? 上是增函数
2

(D)在区间 ? 0, 2 ? 上是增函数

【例 6】函数 f ? x ? ? cos x ? cos x ?1 的单调性判断错误的是 (A)在 ? ?? , ?

? ?

??
3? ?

单调递减

(B)在 ? ?? ,0? 单调递增

(C)在 ? 0,

? ?? 单调递减 ? 3? ?

(D)在 ? ?

? 5? ? , ?? ? 单调递增 ? 3 ?

解析: (1)此函数的定义域: ? ??, ? ?? ; (2)此函数是由函数 y ? u ? u ? 1 ,( u x) ? cos x 复合所得;
2

u x) ? cos x 在 x ??2k? ? ? , 2k? ? ? k ? Z ? 单 调 递 增 , 在 (3)子函数的单调区间:函数 (

x ??2k? ,2k? ? ? ? 单调递减;
( 4 ) 母 函 数 的 单 调 区 间 : 函 数 y ? u ? u1 ? 在 u ? ? ??, ? 单 调 递 减 , 此 时
2

? ?

1? 2?

?? ? ? ? x ? ? 2k? ? ? , k 2 ? ? ? ? ? k? 2? 3? ? 3 ?

? ?1 ? k, ?2 ? ? ? ?k ? Z ? ; 在 u ? ? , ? ?? 单 调 递 增 , 此 时 ? ?2 ?

4

? ?? ? x ? ? 2k ? ? , 2 k ? ? ? ? k ? Z ? . 3 3? ?
(5)根据复合函数的单调性规律,写出复合函数的单调区间: 函数 f ? x ? ? cos2 x ? cos x ? 1在 ? 2k? ? ? , 2k? ?

? ?

??

? ? ? 单调递减,在 ? 2k? ? , 2k? ? 单调递增, ? 3 3? ? ?

在 ? 2 k? , 2 k? ?

? ?

??

? ? ? 单调递减,在 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? ? 3 3? ? ?

? k ? Z ? 单调递增.
?? ? ? , ? 是减函数,则 a ?6 2?
.

故答案为 B. 【变式 4-2】 (2014 年全国理科卷)若函数 f ? x ? ? cos 2x ? a sin x 在区间 ? 的取值范围是________. 【变式 4-3】函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 4sin x ?1 的单调递增区间是 变式训练答案: 【变式 1-1】答案: A. 提示:因为 a > 0 ,所以内函数 u ? x ? ? 4 ? ax 单调递减,又因为复合函数 f ( x) 在 [6,8]上单调递 增,所以外函数 y ? log a u 单调递减,则 ?
【变式 1-2】答案:C.

? 1 ?0 ? a ? 1 ,解得: 0 ? a ? . 2 ? ?u ? 8 ? ? 0

提示:根据复合函数的单调性规律知:函数 y ? 16 ? 4x 单调递减,因为定义域为 ? ??,2? ,所以

y ? 16 ? 4x 的值域为 [0, 4) .
【变式 2-1】答案:A.
2 2 提示:函数 f ( x ) = ln ( x + 1) 是偶函数, f (0) = 0 ,且当 x > 0 时,复合函数 f ( x ) = ln ( x + 1)

单调递增. 【变式 2-2】答案:D. 提 示 : 函 数 f ( x) = log1 x2 - 4 的 定 义 域 为 (- ? , 2) ? (2, + ?
2

(

)

) , 内 层 函 数 y ? x2 ? 4 在
单调递减,所以函数

(- ? , 2) 单 调 递 减 , 在 (2, + ? ) 单 调 递 增 , 外 层 函 数 y ? l o g 1 u
2

2 f(x )= l o g 1 ( x2

4的单调递增区间是 (- ? )

, 2) .

【变式 2-3】答案: ? ?1,9? 提示: y ? log9 u , u ? x ?

a ?8; x

因 为 y?l o9 gu 增 , 由 函 数 f ? x ? ? log9 ? x ? 8 ?

? ?

a? ? 在 ?1, ?? ? 上 是 增 函 数 , 则 函 数 x?

u ? x? ? x ?

a a ? 8 也必是增函数,即 u ? ? 1 ? 2 ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,只要 a ? 1 ;又 u ?1? ? 0 , x x
5

综上, a 的取值范围为 ? ?1,9? . 【变式 3-1 】答案: ? ??,1? ;? 1,??? . 提示:函数 f ? x ? ? 3

? ?

x 2

? 6 ? ? 3x ? ? 2 分解出外层函数

f ? x ? ? u2 ? 6u ? 2 , 内 层 函 数 u ? 3x ; 因 为 内 层 函 数 u ? 3x 在 R 上 单 调 递 增 , 外 层 函 数 f ? x ? ? u2 ? 6u ? 2 在 u ?? ??,3? ? x ? ? ??,1? 单调递减,在 u ??3, ??? ? x ? ?1, ??? 单调递增.
【变式 3-2】答案:C. 提示:函数 f ? x ? ? sin ? 因为内层函数 u ? x ? ?

? ?? ? ? x ? 分解为 f ? u ? ? sin u,u ? x ? ? ? x . 4 ?4 ?

?

?? ? ? x 单调递减,所以复合函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? 的单调递增区间就是外 4 ?4 ?

层函数 f ? u ? ? sin u 的单调递减区间,即

2 k? ?

?
2

?u ?

?
4

? x ? 2k? ?

3? 5? ? ? k ? Z ? ? ?2 k ? ? ? x ? ? 2 k ? ? ? k ? Z ? , 2 4 4

故函数 f ? x ? ? sin ?

5? ?? ?? ? ? ? x ? 的单调递增区间为 ? ?2k? ? , 2 k? ? ? ? k ? Z ? . 4 4? ?4 ? ?

【变式 4-1】答案:A.
2 2 2 提示:函数 g ? x ? ? f 2 ? x 分解为外层函数 f ?u ? ? ?u ? 2u ? 8 ,内层函数 u ? x ? ? 2 ? x ;

?

?

因为内层函数 u ? x? ? 2 ? x 在 x ? ? ??,0? 单调递增,在 x ? ? 0, ??? 单调递减,而外层函数
2

f ?u ? ? ?u2 ? 2u ? 8 在 u ? ? ??,1? 单调递增,此时 x ?? ??, ?1? ? ?1, ??? ;在 u ? ?1, ?? ? 单调递减,
2 此时 x ? ? ?1,1? , 故复合函数 g ? x ? ? f 2 ? x 在 ? ??, ?1? 单调递增, 在 ? ?1,0? 单调递减, 在 ? 0,1? 单

?

?

调递增,在 ?1, ?? ? 单调递减. 【变式 4-2】答案: ? ??,2? . 提示: f ? x ? ? cos 2x ? a sin x ? ?2sin x ? a sin x ?1,
2

令 t ? sin x ,由 x ? ?

?? ? ? ?1 ? , ? ,得 t ? ? ,1? ,所以函数 f ? x ? 是由 y ? ?2t 2 ? at ? 1 与 t ? sin x 复 ?6 2? ?2 ? ?? ? ? , ? 上单调递增,由复合函数单调性的判断方法“同增异减” ?6 2?

合而成的复合函数,因为 t ? sin x 在 ? 知,要使 f ? x ? 在区间 ?

?? ? ? ?1 ? , ? 是减函数,必有 y = ? 2t 2 ? at ? 1 在 ? ,1? 上为减函数 . 因为曲线 ?6 2? ?2 ?

6

y ? ?2t 2 ? at ? 1 的对称轴为直线 t ?
是 ? ??,2? . 【变式 4-3】答案为 x ? ? 2k? ?

a 1 a 且开口向下,所以 ? ,即 a ? 2 ,所以实数 a 的取值范围 4 2 4

? ?

?
2

, 2k ? ?

??
2? ?

?k ? Z ? .

提示:函数 f ? x ? ? sin2 x ? 4sin x ?1 是由函数 y ? u2 ? 4u ?1 ,u ? x ? ? sin x 复合所得; 函数 u ? x ? ? sin x 在 x ? ? 2k? ? 调递减,且 u ? 1; 函数 y ? u 2 ? 4u ? 1在 u ? ? ??, ? 2? 单调递减,在 u ???2, ? ?? 单调递增, 所 以 , 函 数 f ? x ? ? sin2 x ? 4sin x ?1 在 在 x ? ? 2k? ?

? ?

?
2

, 2 k? ?

??

? 3? ? ? ? ? k ? Z ? 单调递增,在 x ? ? 2k? ? , 2k? ? ? 单 2? 2 2? ?

? ?

?
2

,2 k? ?

??

??k ? Z ? 单 调 递 增 , 在 2?

? 3? ? ? x ? ? 2k? ? , 2k? ? ? 单调递减. 2 2? ?

7


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