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《经济数学--微积分》第三章 导数与微分练习题


《经济数学--微积分》 (上)练习题--第三章 导数与微分

第三章 导数与微分
一、判断题
1. 2. 3. 4. 5. 6. 若函数 f (x) 在 x 0 点可导,则 f ?( x0 ) ? [ f ( x0 )]? ; ( ) ) )

lim 若 f (x) 在 x 0 处可导,则 x? x f ( x ) 一

定存在; (
0

函数 f ( x) ? x x 是定义区间上的可导函数; ( 函数 f ( x) ? x 在其定义域内可导; ( )

若 f (x) 在 [a, b] 上连续,则 f (x) 在 (a, b) 内一定可导; ( 若 f ( x) 在 x0 点不可导,则 f ( x) 在 x0 不连续; ( )



? 2x2 , x ?1 ? 7. 函数 f ( x) ? ? x ?ln , 0 ? x ? 1 ? 4

在 x ? 1 点可导; (



8. 已知 y ? e 9.

f ( x)

,则

y?? ? e f ( x ) f ??( x) ; (




(n) 若 f ( x) ? x , 则 f (0) ? n ! ; (

n

10. d (ax 2 ? b) ? 2ax ; (



二、填空题
1. 设 f (x) 在 x 0 处可导,且 f ?( x0 ) ? A ,则 lim A 的代数式表示为_______ ; 2.
f ( x) ? ln 1 ? x 2 ,则 f ?(0) ? _________ ;
e x e
h ?0

f ( x0 ? 2h) ? f ( x0 ? 3h) 用 h

3. 设 y ? x ? e ? ln x ? e ,则 y ? = ______ ; 4. ( x x )? = _______; 5. 曲线 y ? x3 在点 (1,1) 处的切线方程是 ________ ; 6. 曲线 y ? x ? e x 在点 (0,1) 的处的切线方程是_______; 7. 函数 y ? x3 sin( x 2 ? 1) 的微分 dy ? __________ ;

8. y ? sin(e x ? 1) , dy ? _______ ;
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《经济数学--微积分》 (上)练习题--第三章 导数与微分

9.

dy ? ?y 的近似值是 _________
n



10. 设 y ? x ? e ,则

y(n)

= ________ ;

三、选择题
1. 设 f (x) 在点 x 0 处可导,则下列命题中正确的是 ( (A) lim
f ( x) ? f ( x0 ) 存在 x ? x0

)

x ? x0

(B) lim (D) lim

x ? x0

f ( x) ? f ( x0 ) 不存在 x ? x0

(C) lim

x ? x0 ?

f ( x) ? f ( x0 ) 存在 x
x ?0

?x ?0

f ( x) ? f ( x0 ) 不存在 ?x

2. 设 f (x) 在点 x 0 处可导且 lim (A) 4 (B) –4

x 1 ? , f ?( x0 ) 等于 ( 则 f ( x0 ? 2 x) ? f ( x0 ) 4

)

(C) 2 )

(D)

–2

3. 设 y ? f ( x) 可导,则 f ( x ? 2h) ? f ( x) = ( (A) f ?( x)h ? o(h) (C) 4.
? f ?( x)h ? o(h)
x ?0

(B) (D)

?2 f ?( x)h ? o(h) 2 f ?( x)h ? o(h)

设 f (0) ? 0 ,且 lim (A) f ?( x)

f ( x) f ( x) 存在,则 lim = ( x ?0 x x

)
1 f ?(0) 2

(B) f ?(0)

(C) f (0) ) (C)
1 x ?1

(D)

5. 设 f ( x ? 2) ? (A) ? 6.
1 ( x ? 1) 2

1 ,则 f ?( x) ? ( x ?1

(B) ?

1 ( x ? 1) 2

(D) ?

1 x ?1

函数 f ( x) ? ( x ? 1) x 的导数为 ( (A) x( x ? 1) x (B) ( x ? 1) x ?1

) (C) x x ln x (D) ( x ? 1) x [
x ? ln( x ? 1)] x ?1

? x 2 ? 1 , ?1 ? x ? 0 7. 设 f ( x) ? ? ,则 f (x) 在点 x = 0 处 ( , 0? x?2 ? 1

)

(A) 可导

(B) 连续但不可导

(C) 不连续

(D) 无定义 )

8. 函数 f (x) 在 x ? x0 处连续,是 f (x) 在 x0 处可导的 ( (A) 充分不必要条件 (C) 充分必要条件 (B) (D) 必要不充分条件 既不充分也不必要条件

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《经济数学--微积分》 (上)练习题--第三章 导数与微分

9.

函数 f ( x) ?

x x

在 x?0 处 (

) (B) 连续且可导 (D) 不连续也不可导

(A) 连续但不可导 (C) 极限存在但不连续
? 0, 10.函数 f ( x) ? ? 1 ? ?x, ? x?0 x?0

,在点 x ? 0 不连续是因为 (

)

(A) f (0 ? 0) ? f (0) (C) f (0 ? 0) 不存在

(B) f (0 ? 0) ? f (0) (D) f (0 ? 0) 不存在

1 ? ? x cos x , x ? 0 ? x ? 0 ,则 f ( x) 在 x ? 0 处( 11.设 f ( x) ? ? 0, ?1 ? tan x 2 , x ? 0 ?x



(A) 极限不存在 (C) 连续但不可导 12. 函数 y ? e f ( x ) ,则 y" ? ( (A) e f ( x ) 13. (B) e f ( x ) f " ( x) )

(B) 极限存在,但不连续 (D) 可导

(C) e f ( x ) [ f ' ( x)] 2 ) (C) ?e x ? e? x ( (C)
8! x9

(D) e f ( x ) {[ f ' ( x)] 2 ? f " ( x)}

设 y ? e x ? e? x ,则 y ?? ? ( (A) e x ? e? x (B) e x ? e? x

(D) ?e x ? e? x

14.

已知 y ? x ln x ,则 y (10) ? (A) ?
1 x9

) (D) ? ) (C) ? sin x (D) ? cos x
8! x9

(B) ,则

1 x9

15. 已知 y ? sin x (A) sin x

y (10) ? (

(B) cos x

四、计算与应用题
1.设 e y ? y ln x 确定 y 是 x 的函数,求
dy dx

2.方程 e y ? e x ? xy ? 0 确定 y 是 x 的函数,求 y ?

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《经济数学--微积分》 (上)练习题--第三章 导数与微分

3.方程 y 2 cos x ? e y ? 0 确定 y 是 x 的函数,求 y ?

1 4.设 y ? (1 ? x 2 ) arctan x ? cos x ,求 2

y?

x 5. y ? l n t a n ,求 y ' 及 dy 2

2 6. y ? ln 5 ? cos x ?

1 , y ? 及 dy 求 x2

7.

y ? ea r c t ax n ,求

y ? 及 dy

8.

y ? e x ? xy ,求 y ? 及 dy

9.已知 y ? cos 2 3x ,求 y ?

10.设 y ? x ln( x ? 1 ? x 2 ) ,求 y ?

2x 11.设 y ? arctan( ) ,求 y ? 1 ? x2

12.设 y ? x x ,求 y ?

13.求 y ? e1?3 x cos x 的微分

e2 x 14.求 y ? 的微分 x

15.设 y ? ln(ln x ) ,求 dy

16.设 y ? ln

1 1 ? cos ,求 dy x x

17.设 y ? ecos 2 x ,求 dy

3 cos x ,求 dy 18. y ? x cos x ? e

19. y ? x ln x ,求 y??

? 20.已知 f ( x) ? sin 3x ,求 f ??( ) 2
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