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两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习


两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
一、知识要点: 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1) S(? ?? ) : sin(? ? ? ) ? _________________ ; (2) S(? ?? ) : sin(? ? ? ) ? _________________ (3) C(? ?? ) : cos(? ? ? ) ? ________________ ; (4) C(? ?? ) : cos(? ? ? ) ? ________________ (5) T(? ?? ) : tan(? ? ? ) ? ________________; 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1) S(2? ) : sin 2? ? ; _________________ ; ____________=_____________=__________ (6) T(? ?? ) : tan(? ? ? ) ? ________________

[例 2] 已知 sin(

?
4

? ?) ?

2 ,求: sin 2? , sin ? ? cos ? 的值 5

变式训练 1:已知 sin(

?
6

??) ?

3 ? ,求 sin( ? 2? ) 的值 5 6

(2) C(2? ) : cos 2? ? (3) T(2? ) : tan 2? ?

[例 3] 已知 ? ? (0, _________________。

?

? 3 ),cos(? ? ) ? ,求 sin ? 的值. 2 6 5

3.常用的公式变形 (1) tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? tan ? ) ; (2) cos
2

? ? ___________,sin 2 ? ? ____________ ;
2 sin(? ? ) . 4

变式训练 1:已知 tan ? ? ?2, tan(? ? ? ) ?

2 2 (3) 1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos ? ) ,1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos ? ) ,sin ? ? cos ? ?

?

1 , 则 tan ? ? ___________ 7

4.辅助角公式 f ( x) ? a sin ? ? b cos ? ?

b ? ? a 2 ? b2 sin(? ? ? ) ( a ? 0, tan ? ? ,? ? ? ? ) a 2 2

(1)拆角、拼角技巧:(2)化简技巧:切化弦、 “1”的代换等. 考向一 三角函数式的化简与求值 [例 1] 求值:① 变式训练 2: ② sin500 (1 ? 3 tan100 ) .

cos15 ? sin15 ; cos150 ? sin150
0 0

sin ? ? cos ? ? 3, tan(? ? ? ) ? 2, 则 tan( ? ? 2? ) ? _______. sin ? ? cos ?

变式训练 3: 0 ? ? ?

?
2

,?

?

? 3 ? ? 5 ? ? ? ? 0, cos( ? ? ) ? , cos( ? ) ? , 则 cos( ? ? ) ? ______ 2 4 5 4 2 13 2

考向三

三角函数公式的逆用与变形应用
2

[例 4] (2013·德州一模)已知函数 f ( x) ? 2 cos

x ? 3 sin x . 2

(1)求 f ( x ) 的最小正周期和值域;(2)若 ? 为第二象限角,且 f (? ?

?

1 cos 2? ) ? ,求 的值. 3 3 1 ? cos 2? ? sin 2?

变式训练 4:已知 ? , ? ? (0,

?

4 1 ),sin ? ? , tan(? ? ? ) ? ? , 求 cos ? 的值 2 5 3

变式训练 1:已知 sin(? ?

?
6

) ? cos ? ? 3 2

? 4 3 , 则 sin(? ? ) =_______________ 3 5
D.

A. 考向二 三角函数的求角问题 [例 3] 已知 cos ? ?

4 5

B.

3 5

C.

3 5

1 13 ? ,cos(? ? ? ) ? , 且 0 < ? < ? < ,求 ? . 7 14 2

变式训练 2:若 ? ? ? ?

3? , 则 (1 ? tan ? )(1 ? tan ? ) 的值是________. 4

考向四 三角函数的综合应用 【例 4】?(2010·北京)已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin x .
2

(1)求 f ( ) 的值;(2)求 f ( x ) 的最大值和最小值.

?

1 1 变式训练 1:已知 tan(? ? ? ) ? , tan ? ? ? , 且 ? , ? ? (0, ? ), ? , ? ? (0, ? ) ,求 2? ? ? 的值. 2 7

3

变式训练 1: 已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (1)求 f ( x ) 的最小正周期;(2)求 f ( x ) 在区间 [ ? 变式训练 2:已知锐角 ? , ? 满足 sin ? ?

? ?

5 10 , cos ? ? , 求:① ? ? ? 的值;② ? ? ? 的值. 5 10

, ] 上的最大值和最小值. 6 2


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