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重庆一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


重庆一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个符合题目要求.) 1. (5 分)直线 x﹣y+1=0 的倾斜角是() A.30° B.45° C.60° D.135°

2. (5 分)如果命题“p∨q”为真命题,则() A.p,q 中至少有一个为真命题 B. p,q 均为假命题 C. p,q 均为真命题 D.p,q 中至多有一个为真命题 3. (5 分)全称命题“? x∈R,x +2x+3≥0”的否定是() 2 2 A.? x∈R,x +2x+3<0 B. ? x?R,x +2x+3≥0 2 2 C. ? x∈R,x +2x+3≤0 D.? x∈R,x +2x+3<0 4. (5 分)已知直线 m,n,l,若 m∥n,n∩l=P,则 m 与 l 的位置关系是() A.异面直线 B. 相交直线 C. 平行直线 D.相交直线或异面直线 5. (5 分)设 x∈R,则“x> ”是“2x +x﹣1>0”的() A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ,那么它的体积为() D.4π
2 2

6. (5 分)已知圆锥的母线长为 4,侧面展开图的中心角为 A. B. C.

7. (5 分)以直线 x﹣2y=0 和 x+2y﹣4=0 的交点为圆心,且过点(2,0)的圆的方程为() A.(x﹣2) +(y﹣1) =1
2 2 2

B.
2 2

(x+2) +(y+1) =1 C. ( x ﹣ 2 ) + ( y ﹣ 1 )

2

2

2

=2 D.

(x+2) +(y+1) =2

8. (5 分)对于直线 m、n 和平面 α,下面命题中的真命题是() A.如果 m? α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n∥α B. 如果 m? α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n 与 α 相交 C. 如果 m? α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n D.如果 m∥α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n 9. (5 分)已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y =2px(p>0)的
2

准线分别交于 O、A、B 三点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 ,则 p=() A.1 B. C. 2 D.3

10. (5 分)过双曲线

的右焦点 F2 向其一条渐近线作垂线 l,垂

足为 P,l 与另一条渐近线交于 Q 点,若 A.2 B. 3 C. 4

,则双曲线的离心率为() D.6

二、填空题.(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面积是.

12. (5 分)已知球的体积为

,则球的大圆面积是.

13. (5 分)设 M 为圆(x﹣5) +(y﹣3) =9 上的点,则 M 点到直线 3x+4y﹣2=0 的最短距离 为. 14. (5 分)一长方体的各顶点均在同一个球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为 1 , ,3,则这个球的表面积为. 15. (5 分)已知双曲线 (6,2) ,则 3|PM|+ =1 的右焦点为 F,P 是双曲线右支上任意一点,定点 M

2

2

|PF|的最小值是.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤,并把解答写在答题卷相应的位置上. 16. (13 分)如图直三棱柱 ABC﹣A1B1C1,CA=CB,E、F、M 分别是棱 CC1、AB、BB1 中 点. (1)求证:平面 AEB1∥平面 CFM;

(2)求证:CF⊥BA1.

17. (13 分)已知命题 p:方程

=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆;命题 q:m ﹣15m

2

<0,若 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,求 m 的取值范围. 18. (13 分)如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x =4y 相切于点 A. (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.
2

19. (12 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆

=1(a>b>0)的离心率为 ,

过椭圆焦点 F 作弦 AB.当直线 AB 斜率为 0 时,弦 AB 长 4. (1)求椭圆的方程; (2)若|AB|= .求直线 AB 的方程.

20. (12 分)已知四棱锥 G﹣ABCD,四边形 ABCD 是长为 2a 的正方形,DA⊥平面 ABG, 且 GA=GB,BH⊥平面 CAG,垂足为 H,且 H 在直线 CG 上. (1)求证:平面 AGD⊥平面 BGC;

(2)求三棱锥 D﹣ACG 的体积; (3)求三棱锥 D﹣ACG 的内切球半径.

21. (12 分)已知椭圆的两焦点为



,离心率



(1)求此椭圆的方程; (2)设直线 l:y=x+m,若 l 与此椭圆相交于 P,Q 两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求 m 的值; (3)以此椭圆的上顶点 B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 ABC,这样的直角三 角形是否存在?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.

重庆一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个符合题目要求.) 1. (5 分)直线 x﹣y+1=0 的倾斜角是() A.30° 考点: 专题: 分析: 解答: B.45° ? C.60° ? D.135°

直线的倾斜角. 直线与圆. 化直线的方程为斜截式可得直线的斜率,进而可得其倾斜角. 解:直线方程可化为:y=x+1,

∴直线的斜率为 1, 设其倾斜角为 α,0°≤α<180° , 则可得 tanα=1, ∴α=45° 故选:B 点评: 本题考查直线的倾斜角,涉及斜率和倾斜角的关系,属基础题. 2. (5 分)如果命题“p∨q”为真命题,则() A.p,q 中至少有一个为真命题 B. p,q 均为假命题

C. p,q 均为真命题 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑.

D.p,q 中至多有一个为真命题

分析: 根据 p∨q 为真命题的定义即可找出正确选项. 解答: 解:根据 p∨q 为真命题的定义即可知道:A 正确. 故选 A. 点评: 考查真假命题的概念,以及 p∨q 真假和 p,q 真假的关系. 3. (5 分)全称命题“? x∈R,x +2x+3≥0”的否定是() 2 2 A.? x∈R,x +2x+3<0 B. ? x?R,x +2x+3≥0 2 2 C. ? x∈R,x +2x+3≤0 D.? x∈R,x +2x+3<0 考点: 专题: 分析: 解答: 全称命题;命题的否定. 简易逻辑. 根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则,可写出原命题的否定. 2 解:原命题为:? x∈R,x +2x+3≥0
2

∵原命题为全称命题 ∴其否定为存在性命题,且不等号须改变 ∴原命题的否定为:? x∈R,x +2x+3<0 故选项为:D. 点评: 本题考查命题的否定的写法,常见的命题的三种形式写否定: (1)“若 A,则 B” 的否定为“若¬A,则¬B”; (2)全称命题的否定为存在性命题,存在性命题的否定为全称 命题; (3)切命题的否定为或命题,或命题的否定为切命题.本题考查第二种形式,属简 单题 4. (5 分)已知直线 m,n,l,若 m∥n,n∩l=P,则 m 与 l 的位置关系是() A.异面直线 B. 相交直线 C. 平行直线 D.相交直线或异面直线 考点: 异面直线的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用正方体的空间结构求解. 解答: 解:如图,AB∥CD,CD∩DD1=D,∴AB 与 DD1 异面, AB∥CD,CD∩AD=D,∴AB 与 AD 相交, ∴若 m∥n,n∩l=P,则 l 与 m 的位置关系:相交或异面. 故选 D.
2

点评: 本题考查两直线的位置关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思 维能力的培养.

5. (5 分)设 x∈R,则“x> ”是“2x +x﹣1>0”的() A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 求出二次不等式的解,然后利用充要条件的判断方法判断选项即可. 解答: 解:由 2x +x﹣1>0,可知 x<﹣1 或 x> ; 所以当“x> ”? “2x +x﹣1>0”; 但是“2x +x﹣1>0”推不出“x> ”. 所以“x> ”是“2x +x﹣1>0”的充分而不必要条件. 故选 A. 点评: 本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,二次不等式的解法,考查计算 能力. 6. (5 分)已知圆锥的母线长为 4,侧面展开图的中心角为 A. B. C. ,那么它的体积为() D.4π
2 2 2 2

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 设圆锥的底面半径为 R,利用侧面展开图的中心角为

,求得 R,再根据圆锥的

底面半径,高,母线构成直角三角形求得圆锥的高,代入圆锥的体积公式计算. 解答: 解:设圆锥的底面半径为 R, ∵侧面展开图的中心角为 ∴R=1,圆锥的高为 ∴圆锥的体积 V= ×π×1 ×
2

,∴ ×π×4=2πR, = = , .

故选:A. 点评: 本题考查了圆锥的体积公式及圆锥的侧面展开图,解答的关键是利用圆锥的底面 半径,高,母线构成直角三角形求得圆锥的高. 7. (5 分)以直线 x﹣2y=0 和 x+2y﹣4=0 的交点为圆心,且过点(2,0)的圆的方程为() A.(x﹣2) +(y﹣1) =1
2 2

B.

(x+2) +(y+1) =1 C. ( x ﹣ 2 ) + ( y ﹣ 1 )

2

2

2

2

=2 D.

(x+2) +(y+1) =2

2

2

考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 求出直线的交点坐标,然后求出圆的半径,即可求出圆的方程. 解答: 解:由题意,直线 x﹣2y=0 和 x+2y﹣4=0 联立,解得 x=2,y=1, ∴两条直线的交点为: (2,1) . 所求圆的半径为:1, ∴所求圆的标准方程为: (x﹣2) +(y﹣1) =1. 故选:A. 点评: 本题考查圆的标准方程的求法,求出圆的圆心与半径是解题的关键. 8. (5 分)对于直线 m、n 和平面 α,下面命题中的真命题是() A.如果 m? α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n∥α B. 如果 m? α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n 与 α 相交 C. 如果 m? α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n D.如果 m∥α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n 考点: 四种命题的真假关系;空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之 间的位置关系. 分析: 根据空间中直线与直线之间的位置关系和空间中直线与平面之间的位置关系及其 性质对 A、B、C、D 四个选项进行一一判断,从而进行求解. 解答: 解:A、∵m? α,n?α,m、n 是异面直线,若 n⊥m,则 n⊥α,故 A 错误; B、∵m? α,n?α,m、n 是异面直线,可知 n 与 α 也可以平行,故 B 错误; C、∵m? α,n∥α,m、n 共面,? m∥n,故 C 正确; D、∵m∥α,n∥α,m、n 共面,可知 m 与 n 也可以垂直,故 D 错误; 故选 C. 点评: 此题是一道立体几何题,主要考查直线与直线之间的位置关系:相交与平行;空 间中直线与平面之间的位置关系:平行或相交,比较基础. 9. (5 分)已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y =2px(p>0)的
2 2 2

准线分别交于 O、A、B 三点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 ,则 p=() A.1 B. C. 2 D.3

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: 求出双曲线 的渐近线方程与抛物线 y =2px(p>0)的准 线方程,进

而求出 A,B 两点的坐标,再由双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为

,列出方程,由

此方程求出 p 的值. 解答: 解:∵双曲线 ,

∴双曲线的渐近线方程是 y=± x 又抛物线 y =2px(p>0)的准线方程是 x=﹣ , 故 A,B 两点的纵坐标分别是 y=± ∴ 则 ,双曲线的离心率为 2,所以 , ,
2

A,B 两点的纵坐标分别是 y=± 又,△AOB 的面积为 ∴

=



,x 轴是角 AOB 的角平分线

,得 p=2.

故选 C. 点评: 本题考查圆锥曲线的共同特征,解题的关键是求出双曲线的渐近线方程,解出 A,B 两点的坐标,列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键,有一定的运 算量,做题时要严谨,防运算出错. 10. (5 分)过双曲线 的右焦点 F2 向其一条渐近线作垂线 l,垂

足为 P,l 与另一条渐近线交于 Q 点,若 A.2 B. 3 C. 4

,则双曲线的离心率为() D.6

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用相互垂直的直线的斜率之间的关系可得直线 PF2 的斜率,即可得到直线方 程,直线方程分别与渐近线方程联立即可得出点 P,Q 的坐标,再利用向量共线即可得出 a,b,c 的关系,利用离心率计算公式即可. 解答: 解:如图所示, ∵PF2⊥OP,∴PF2 的斜率为 ∴直线 PF2 的直线方程为 联立 解得 .∴P . . .

联立

,解得



∴Q





=



=



∵ ∴ =2.

,∴c =4a .

2

2

故选 A.

点评: 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线相交问题、向量的运算 等基础知识与基本技能方法,属于中档题. 二、填空题.(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何 体的侧面积是 20π.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图可得该几何体是一个底面半径为 2,高为 5 的圆柱,代入圆柱 的侧面积公式,可得答案. 解答: 解:由已知可得该几何体为圆柱

且圆柱的底面直径为 4,高 h=5 即圆柱的底面半径 r=2 故该几何体的侧面积 S=2πrh=20π. 故答案为:20π. 点评: 本题考查的知识点是由三视图求面积,其中根据已知中的三视图分析出几何体的 形状及底面半径,高等几何量是解答的关键. 12. (5 分)已知球的体积为 ,则球的大圆面积是 4π.

考点: 球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 运用体积公 式求解半径,再运用圆的面积公式求解. 解答: 解:∵球的体积为 ∴R=2, ∴球的大圆面积是 πR =4π 故答案为:4π 点评: 本题考查了球的体积公式,面积公式,属于计算题. 13. (5 分)设 M 为圆(x﹣5) +(y﹣3) =9 上的点,则 M 点到直线 3x+4y﹣2=0 的最短距离 为 2. 考点: 直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 利用点到直线的距离公式求出圆心 M 到直线 3x+4y﹣2=0 的距离 d,减去半径即可 得到最短距离. 解答: 解:由圆(x﹣5) +(y﹣3) =9,得到圆心 M(5,3) ,半径 r=3, ∵圆心 M 到直线 3x+4y﹣2=0 的距离 d= ∴M 点到直线 3x+4y﹣2=0 的最短距离为 5﹣3=2. 故答案为:2 =5,
2 2 2 2 2



点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,以及点到直线的距离公式,根据题意得出 d﹣r 为 最短距离是解本题的关键.

14. (5 分)一长方体的各顶点均在同一个球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为 1 , ,3,则这个球的表面积为 16π. 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与 距离. 分析: 求出长方体的对角线的长,就是外接球的直径,然后求出球的表面积. 解答: 解:由题意可 知长方体的对角线的长,就是外接球的直径, 所以球的直径: =4,所以外接球的半径为:2. 所以这个球的表面积:4π×2 =16π. 故答案为:16π. 点评: 本题考查球内接多面体,球的体积和表面积的求法,考查计算能力. 15. (5 分)已知双曲线 (6,2) ,则 3|P M|+ =1 的右焦点为 F,P 是双曲线右支上任意一点,定点 M
2

|PF|的最小值是 13.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: 先根据双曲线方程求得 a, b ,进而求得 c,则双曲线的离心率和右准线方程可 得,进而根据双曲线的第二定义可知 |MP|=e?d ,进而推断出当 MA 垂直于右准线时, d+|PM|取得最小值进而推断 3|PM|+ |PF|的最小值. 解答: 解:由题意可知,a= ,b=2,c=3, ∴e= ,右准线方程为 x= ,且点 P 在双曲线右支上, d(d 为点 P 到右准线的距离) .

则|PF|=e?d=

∴3|PM|+ |PF|=3(d+|PA|) , 当 PM 垂直于右准线时, d+|MA|取得最小值,最小值为 6﹣ = ,

故 3|MF|+ |MA|的最小值为 13. 故答案为:13 点评: 本题主要考查了双曲线的性质.考查了学生数形结合和转化和化归的数学思想. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤,并把解答写在答题卷相应的位置上. 16. (13 分)如图直三棱柱 ABC﹣A1B1C1,CA=CB,E、F、M 分别是棱 CC1、AB、BB1 中 点. (1)求证:平面 AEB1∥平面 CFM; (2)求证:CF⊥BA1.

考点: 直线与平面垂直的性质;平面与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)利用平面与平面平行的判定定理可得结论; (2)证明 CF⊥平面 ABB1A1,即可证明 CF⊥BA1. 解答: 证明: (1)∵B1M∥CE,且 B1M=CE, ∴四边形 CEB1M 是平行四边形, ∴CE∥EB1 又∵FM∥AB1, CF∩FM=M,EB1∩AB1=B1, ∴平面 AEB1∥平面 CFM; (2)直三棱柱 ABC﹣A1B1C1,BB1⊥平面 ABC, ∴BB1⊥CF, ∵AC=BC,AF=FB, ∴CF⊥AB,BB1∩AB=B, ∴CF⊥平面 ABB1A1, ∴CF⊥BA1.

点评: 本题考查平面与平面平行的判定定理,考查线面垂直的判定,考查学生分析解决 问题的能力,属于中档题.

17. (13 分)已知命题 p:方程

=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆;命题 q:m ﹣15m

2

<0,若 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,求 m 的取值范围. 考点: 椭圆的简单性质;复合命题的真假. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题意求出命题 p、q 为真时 m 的范围,由 p∨q 为真,p∧q 为假得 p 真 q 假, 或 p 假 q 真,进而求出答案即可. 解答: 解:命题 p 为真命题时, 将方程 改写为 ,

只有当 1﹣m>2m>0,即 若命题 q 为真命题时, 0<m<15, ∵p∧q 为假命题,p∨q 为真命题, ∴p,q 中有一真一假; 当 p 真 q 假时,

时,方程表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆,

无解;

当 p 假 q 真时,

,解得

综上:m 的取值范围为 点评: 解决问题的关键是熟练掌握命题真假的判定方法,由复合命题的真假判断出简单 命题的真假结合有关的基础知识进行判断解题即可. 18. (13 分)如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x =4y 相切于点 A. (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.
2

考点: 圆与圆锥曲线的综合. 专题: 综合题. 分析: (I)由 ,得:x ﹣4x﹣4b=0,由直线 l 与抛物线 C 相切,知△=(﹣4) ﹣4× (﹣
2 2

4b)=0,由此能求出实数 b 的值.

(II)由 b=﹣1,得 x ﹣4x+4=0,解得 x=2,代入抛物线方程 x =4y,得点 A 的坐标为(2, 1) ,因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y=﹣1 的距离,由此能求出圆 A 的方程. 解答: 解: (I)由 ,消去 y 得:x ﹣4x﹣4b=0①,
2

2

2

因为直线 l 与抛物线 C 相切, 所以△=(﹣4) ﹣4× (﹣4b)=0, 解得 b=﹣1; (II)由(I)可知 b=﹣1, 把 b=﹣1 代入①得:x ﹣4x+4=0, 解得 x=2,代入抛物线方程 x =4y,得 y=1, 故点 A 的坐标为(2,1) , 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y=﹣1 的 距离, 即 r=|1﹣(﹣1)|=2, 所以圆 A 的方程为: (x﹣2) +(y﹣1) =4. 点评: 本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合 理运用. 19. (12 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 =1(a>b>0)的离心率为 ,
2 2 2 2 2

过椭圆焦点 F 作弦 AB.当直线 AB 斜率为 0 时,弦 AB 长 4. (1)求椭圆的方程; (2)若|AB|= .求直线 AB 的方程.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 分析: (1)由题意知 ,2a=4,又 a =b +c ,联立即可解出. (2)设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) ,将直线 AB 方程代入椭圆方程中并整 理得(3﹣4k ) x ﹣8k x+4k ﹣12=0, 利用根与系数的关系、弦长公式即可得出. 解答: 解: (1)由题意知 ,2a=4,
2 2 2 2

又 a =b +c ,解得: ∴椭圆方程为: .

2

2

2



(2)设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) , 将直线 AB 方程代入椭圆方程中并整理得(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0, 则 ,
2 2 2 2





解得 k=± 2, ∴直线 AB 方程为 2x﹣y﹣2=0 或 2x+y﹣2=0.

点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得 根与系数的关系、弦长公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 20. (12 分)已知四棱锥 G﹣ABCD,四边形 ABCD 是长为 2a 的正方形,DA⊥平面 ABG, 且 GA=GB,BH⊥平面 CAG,垂足为 H,且 H 在直线 CG 上. (1)求证:平面 AGD⊥平面 BGC; (2)求三棱锥 D﹣ACG 的体积; (3)求三棱锥 D﹣ ACG 的内切球半径.

考点: 平面与平面垂直的判定;球的体积和表面积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)过点 B 作平面 AGC 的垂线,垂足 H 在 CG 上,由 ABCD 是正方形,面 ABCD⊥面 ABG,由面面垂直的性质可得 BC⊥面 ABG,则 BC⊥AG,又由 BH⊥面 AGC 得 BH⊥AG,由线面垂直的判定定理可得 AG⊥面 AGD 后,可由面面垂直的判定定理得到面 AGD⊥面 BGC

(2)△ABG 中 AG⊥BG 且 AG=BG,取 AB 中点 E,连接 GE,则 GE⊥AB,利用等积法可 得三棱锥 D﹣ACG 的体积; (3)利用等体积求三棱锥 D﹣ACG 的内切球半径. 解答: (1)证明:过点 B 作平面 AGC 的垂线,垂足 H 在 CG 上,则 ∵ABCD 是正方形, ∴BC⊥AB, ∵面 ABCD⊥面 ABG, ∴BC⊥面 ABG, ∵AG? 面 ABG, ∴BC⊥AG, 又 BH⊥面 AGC, ∴BH⊥AG, 又∵BC∩BH=B, ∴AG⊥面 AGD, ∴面 AGD⊥面 BGC; (2)解:由(1)知 AG⊥面 BGC, ∴AG⊥BG, 又 AG=BG, ∴△ABG 是等腰 Rt△,取 AB 中点 E,连接 GE,则 GE⊥AB ∴GE⊥面 ABCD ∴VD﹣ACG=VG﹣ACD= GE?S△ACD= ? ?2a? (2a) = ( 3 ) 解 : 记 三 棱 锥 内
2

; 切 球 , 的 半 径 为 r ,

△DCG 中,DG=GC= △ACG 中,AC=2

a,DC=2a,S△DOG= a,AG= a,S△DAG=

, ,

a,GC=

a,S△ACG= ,

△DAG 中,DA=2a,AG= △ADC 中,S△DAC=2a 由 可得 r= .
2



点评: 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,三棱锥的体积,其中(1)要熟练掌 握空间中线线垂直,线面垂直及面面垂直之间的相互转化,属于中档题. 21. (12 分)已知椭圆的两焦点为 , ,离心率 .

(1)求此椭圆的方程; (2)设直线 l:y=x+m,若 l 与此椭圆相交于 P,Q 两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求 m 的值; (3)以此椭圆的上顶点 B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 ABC,这样的直角三 角形是否存在?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;压轴题;数形结合;方程思想;转化思想;综合法. 分析: ( 1 )求椭圆 的方程即是求 a , b 两 参数的值,由题 设条件椭圆 的两焦点 为 , ,离心率 求出 a,b 即可得到椭圆的方程. (2)本题中知道了直线 l:y=x+m,若 l 与此椭圆相交于 P,Q 两点,且|PQ|等于椭圆的短 轴长,故可由弦长公式建立方程求出参数 m 的值.首先要将直线方程与椭圆方程联立,再 利用弦长公式建立方程; (3)设能构成等腰直角三角形 ABC,其中 B(0,1) ,由题意可知,直角边 BA,BC 不可 能垂直或平行于 x 轴,故可设 BA 边所在直线的方程为 y=kx+1(不妨设 k<0) ,则 BC 边 所在直线的方程为 ,将此两直线方程与椭圆的方程联立,分别解出 A,C 两点 的坐标,用坐标表示出两线段 AB,BC 的长度,由两者相等建立方程求参数 k,由解的个 数判断三角形的个数即可. 解答: 解: (1)设椭圆方程为 (a>b>0) ,…(1 分)





,…(2 分)∴a=2,b =a ﹣c =1…(3 分) .…(4 分) ,消 去 y,得 5x +8mx+4(m ﹣1)=0,…(6 分)
2 2

2

2 2

∴所求椭圆方程为 (2)由

则△=64m ﹣80(m ﹣1)>0 得 m <5(*) 设 P (x1,y1) ,Q (x2,y2) ,则 , ,y1﹣ y2=x1﹣x2,…

2

2

2

(7 分) …(9 分) 解得. ∴

,满足(*) .…(10 分)

(3)设能构成等腰直角三角形 ABC,其中 B(0,1) ,由题意可知,直角边 BA,BC 不 可能垂直 或平行于 x 轴,故可设 BA 边所在直线的方程为 y=kx+1(不妨设 k<0) ,则 BC 边所在直 线的方 程为 ,由 ,得 A ,…(11 分)



,…(12 分)



代替上式中的 k,得



由|AB|=|BC|,得|k|(4+k )=1+4k ,…(13 分) ∵k<0, ∴解得:k=﹣1 或 ,

2

2

故存在三个内接等腰直角三角形.…(14 分) 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,解题的关键是掌握直线与圆锥曲线位置关 系中的相关的知识,如本题中求解的重点是弦长公式的熟练掌握运用,依据条件进行正确 转化,分析出建立方程的依据很关键,如本题第二小题利用弦长公式建立方程求参数,第 三小题中利用等腰三角形的性质转化为两弦长 AB 与 BC 相等,由此关系得到斜率 k 所满 足的方程,将求解有几个三角形的问题转化为关于 k 的方程有几个根的问题,此类问 题中 正确转化,充分利用等量关系是解题的重中之重.本题中转化灵活,运算量大,且比较抽 象,易出错,做题时要严谨认真.


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