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高一数学必修函数的解析式及定义域1


高一数学必修 1 函数的解析式及定义域
二.教学目标:掌握求函数解析式的三种常用方法:待定系数法、配凑法、换元法,能将一些 简单实际问题中的函数的解析式表示出来;掌握定义域的常见求法及其在实际 中的应用. 三.教学重点:能根据函数所具有的某些性质或所满足的一些关系,列出函数关系式;含字母 参数的函数,求其定义域要对字母参数分类讨论;实际问题确定的函数,其定 义域除满足函数有意义外,还要符合实际问题的要求. 四.教学过程: (一)主要知识:1.函数解析式的求解;2.函数定义域的求解. (二)主要方法: 1.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x ) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x ) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x ) 满足某个等式,这个等式除 f ( x ) 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程组 法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等. 2.求函数定义域一般有三类问题: (1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义; (3)已知 f ( x ) 的定义域求 f [ g ( x)] 的定义域或已知 f [ g ( x)] 的定义域求 f ( x ) 的定义域: ①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; ②若已知 f ( x ) 的定义域 ? a, b? ,其复合函数 f ? g ( x)? 的定义域应由 a ? g ( x) ? b 解出. (三)例题分析: 例 1.已知函数 f ( x ) ?

( A) A ? B ? B

1? x 的定义域为 A ,函数 y ? f ? ? f ? x ?? ? 的定义域为 B ,则 1? x (B) A? B (C ) A ? B ( D) A ? B ? B ( D )
?

解法要点: A ? ?x | x ? 1? , y ? f [ f ( x)] ? f ( 令 ?1 ?

1? x 2 1 ) ? f (?1 ? )?? , 1? x 1? x x

2 ? 1 且 x ? 1 ,故 B ? ?x | x ? 1? ??x | x ? 0? . 1? x 1 1 3 例 2. (1)已知 f ( x ? ) ? x ? 3 ,求 f ( x ) ; x x 2 (2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x ) ; x (3)已知 f ( x ) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x ) ; 1 (4)已知 f ( x ) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) . x 1 1 1 3 1 3 解: (1)∵ f ( x ? ) ? x ? 3 ? ( x ? ) ? 3( x ? ) , x x x x

∴ f ( x) ? x3 ? 3x ( x ? 2 或 x ? ?2 ) .

2 2 2 2 ?1 ? t ( t ? 1) ( x ? 1) . ,则 x ? ,∴ f (t ) ? lg ,∴ f ( x) ? lg x t ?1 t ?1 x ?1 (3)设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) , 则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 3ax ? 3a ? 3b ? 2ax ? 2a ? 2b ? ax ? b ? 5a ? 2 x ? 17 , ∴ a ? 2 , b ? 7 ,∴ f ( x) ? 2 x ? 7 . 1 1 1 3 (4) 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ①, 把①中的 x 换成 ,得 2 f ( ) ? f ( x) ? ②, x x x x 3 1 ① ?2 ? ②得 3 f ( x) ? 6 x ? ,∴ f ( x ) ? 2 x ? . x x
(2)令 注:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数法; 第(4)题用方程组法. *例 3.设函数 f ( x) ? log 2

x ?1 ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( p ? x) , x ?1

(1)求函数的定义域; (2) 问 f ( x ) 是否存在最大值与最小值?如果存在, 请把它写出来; 如果不存在, 请说明理由.

? x ?1 ? x ?1 ? 0 ? ?x ? 1 解: (1)由 ? x ? 1 ? 0 ,解得 ? ① ?x ? p ? ?p? x ? 0 ? 当 p ? 1 时,①不等式解集为 ? ;当 p ? 1 时,①不等式解集为 ?x |1 ? x ? p? , ∴ f ( x ) 的定义域为 (1, p)( p ? 1) .
(2)原函数即 f ( x) ? log 2 [( x ? 1)( p ? x)] ? log 2 [?( x ? 当

p ?1 ? 1 ,即 1 ? p ? 3 时,函数 f ( x) 既无最大值又无最小值; 2 p ?1 ? p ,即 p ? 3 时,函数 f ( x) 有最大值 2log 2 ( p ? 1) ? 2 ,但无最小值. 当1 ? 2
(四)巩固练习: 1.已知 f ( x ) 的定义域为 [?1,1] ,则 f (2 ) 的定义域为
2 x

p ? 1 2 ( p ? 1)2 ) ? ], 2 4



2、从集合 A 到 B 的映射中,下列说法正确的是

(A) B 中某一元素 b 的原象可能不只一个 (B) A 中某一元素 a 的象可能不只一个 (C) A 中两个不同元素的象必不相同 (D) B 中两个不同元素的原象可能相同 2 已知集合 A= ?x 0 ? x ? 4?,B= ?y 0 ? y ? 2?,下列从 A 到 B 的对应 f 不是映射是

1 1 x (B) f : x ? y ? x 2 3 2 1 (C) f : x ? y ? x (D) f : x ? y ? x 2 3 8 3、下列四组中的 f ( x), g ( x), 表示同一个函数的是

(A) f : x ? y ?

(A) f ( x) ? 1, g ( x) ? x 0

(B) f ( x) ? x ? 1, g ( x) ?

x2 ?1 x

(C) f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ( x ) 4 (D) f ( x) ? x 3 , g ( x) ? 3 x 9 ? 1 x ( x ? 4) ?( ) , 4、给出函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f (log2 3) ? ? ? f ( x ? 1), ( x ? 4) 23 1 1 1 (A) ? (B) (C) (D) 8 11 19 24 5.(04 年全国卷三.理 5)函数 y ? log 1 ( x 2 ? 1) 的定义域为
2

(A) [? 2,?1) ? (1, 2 ] (C) [?2,?1) ? (1,2] 6. (1)函数

(B) (? 2,?1) ? (1, 2 ) (D) (?2,?1) ? (1,2)

y?

1 log3 (3 ? x)

的定义域为

(2)函数 y ? log( 2 x?1) (3x ? 2) 的定义域为 7、若 f ( x) ? 2x ? 3 , g ( x ? 2) ? f ( x) , 则g ( x) 的表达式为 (A)2x+1 (B)2x—1 (C)2x—3 (D)2x+7 ( ) ( )

8、已知 f ( x ? 1) ? x ? 1,则函数 f ( x) 的解析式为 (A) f ( x) ? x 2 (C) f ( x) ? x 2 ? 2x ? 2( x ? 1) (B) f ( x) ? x 2 ? 1 ( x ? 1) (D) f ( x) ? x 2 ? 2x( x ? 1)

9.二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,且 f (0) ? 1 。求 f ( x) 的解析式;


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