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数形结合思想在高考解题中的应用


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 数形结合思想在高考解题中的应用 作者:曹猛 李碧荣 乔雪 来源:《新课程· 教师》2015 年第 04 期 摘 要:数形结合思想是高中数学重要的思想方法之一,应用这一思想方法解题,可以使 复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.通过具体高考题,阐述了 数形结合思想方法的具体应用. 关键词:数形结合思想;高考解题;应用 数学以现实世界的数量关系和空间形式作为其研究的对象,“数”与“形”这两个基本概念, 是数学的两块基石,华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好, 隔离分家万事休.”数形结合的实质就是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系,把抽象的 数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过数与形之间的对应和转化来 寻找解题思路,使问题化难为易,化繁为简,从而解决问题. 纵观历年来全国各地数学高考试卷,对数形结合思想的考查均有所体现,一方面是通过解 析几何或平面向量考查对一些几何问题如何用代数方法来处理;另一方面,一些代数问题则依 靠几何图形的构造和分析帮助解决.在数形结合思想方法的使用过程中,由形到数的转化,往 往比较明显,由数到形的转化需要转化意识,高考题往往偏重由数到形的转化.在高考解题 中,巧妙地运用数形结合思想,不仅直观容易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理, 大大简化了解题过程,起到了事半功倍的效果. 数与形结合的基本思路是:根据数的结构特征,构造出与之相适应的几何图形,并利用图 形的特征和规律,解决数的问题,或将图形信息部分或全部转换成代数信息,削弱或清除形的 推理部分,使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论. 数形结合思想方法在高中数学解题中有广泛应用,下面以 2014 年全国各地高考题为例, 对数形结合思想在高考解题中的应用作粗略的探讨. 一、应用数形结合思想解决“简单的线性规划”问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题.简单的线性 规划一直是高考中的热点,通常以选择填空的形式出现在高考中,解决这类题目要利用不等式 和直线方程的有关知识展开,重点是运用数形结合思想,将目标函数转化为几何意义,从而得 出最优解. 例 1.(2014 新课标卷Ⅱ)设 x,y 满足约束条件 x+y-7≤0,x-3y+1≤0,3x-y-5≥0,则 z=2x-y 的最大值为( ) 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn A.10 B.8 C.3 D.2 解析:已知不等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示,根据目标函数的几何意义 可知,目标函数在点 A(5,2)处取得最大值,故目标函数的最大值为 2× 5-2=8,故此题选 B. 说明:这类题首先根据所给条件,画出可行域,然后将线性目标函数与图形结合,得出最 优解. 二、应用数形结合思想解决“解多面体”问题 立体几何中有关线面关系的证明,线面夹角、面面夹角的求解等,这些问题经常以大题的 形式出现在高考试卷中.对于一些复杂的几何证明,我们不妨用数形结合思想把几何问题转化 为代数问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化. 例 2.(2014 天津卷)如下图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AD⊥AB, AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点 E 为棱 PC 的中点. (1)证明:BE⊥DC; (2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值; (3)若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF⊥AC,求二面角 F

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