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北京市西城区2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题及答案word版


北京市西城区 2014-2015 学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科)
试 卷满分:150 分 考试时间:120 分钟

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合要求的。 1 . i 是虚数单位,若复数 z 满足 iz ? 3+4i,则 z 等于( A. 4+3i B. 4-3i C. -3+ 4i ) D. -3-4i )

2. 在 (1 ? x) n 的展开式中,只有第 4 项的系数最大,则 n 等于( A. 4 B. 5 C. 6 ) C. 5 ) C. -1 ) C. e ? 1 D. 1 ? D. -2 D. 4 D. 7

2 2 3. 若 An ? 4Cn ?1 ,则 n 的值为(

A. 7 4. 已知 f ( x) ? A. 0 5. 计算定积分 A. e ? 1
e

B. 6

1 ,则 f ?(1) =( x
B. 1

? (1 ? x )dx =(
1

1

B. e

1 e

6. 在一段线路中并联着 两个独立自动控制的开关,只要其中一个开关能够闭合,线路就可以正常 工作。设这两个开关能够闭合的概率分别为 0.5 和 0.7,则线路能够正常工作的概率是( ) A. 0.35 B. 0.65 C. 0.85 D.

5 7


7. 从 0,1,2,3,4 中选取三个不同的数字组成一个三位数,其中偶数有( A. 30 个 B. 27 个 C. 36 个 D. 60 个 ) D.

8. 函数 f ( x) ? x ? 2 cos x 在 [0, ? ] 上的极小值点为( A. 0 B.

? 6

C.

5? 6

?

9. 甲、乙两人分别从四种不同品牌的商品中选择两种,则甲、乙所选的商品中恰有一种品牌相同 的选法种数是( A. 30 10. 已知函数 f ( x ) ? ) B. 24 C. 12 D. 6

x ,给出下列结论: ex

① (1,??) 是 f ( x) 的单调递减区间; ②当 k ? (?? , ) 时,直线 y ? k 与 y ? f ( x) 的图象有两个不同交点;

1 e

③函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? x 2 ? 1 的图象没有公共点。 其中正确结论的序号是( A. ①②③ B. ①③ ) C. ①② D. ②③

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分 ,共 30 分,把答案填在题中横线上。 11. 函数 f ( x) ? x 3 的图象在点 (1, f (1)) 处切线的斜率是_ __________。 12. 设 (1 ? 2x)5 ? a0 ? a1 x ? ?? a4 x 4 ? a5 x5 ,则 a0 =____________;

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? _____________。
13. 在 3 名男生和 4 名女生中任选 4 人参加一项活动,其中至少有 1 名男生的选法种数是 __________。(用数字作答) 14. 设函数 f ( x) ? ax3 ? x 有极值,则实数 a 的取值范围是_________。 15. 某超市有奖促销,抽奖规则是:每消费 满 50 元,即可抽奖一次。抽奖方法是:在不透明的盒 内装有标着 1,2,3,4,5 号码的 5 个小球,从中任取 1 球,若号码大于 3 就奖励 10 元,否则无奖, 之后将球放回盒中,即完成一次抽奖,则某人抽奖 2 次恰中 20 元的概率为___________;若某人消 费 200 元,则他中奖金额的期望是_________元。 16. 设函数 y ? f ( x) 图象上在不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 处的切线斜率分别是 k A , k B ,规定

? ( A, B) ?
曲度”。

| k A ? kB | ( | AB | 为 A 与 B 之间的距离)叫作曲线 y ? f ( x) 在点 A 与点 B 之间的“弯 | AB |

若函数 y ? x 2 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 0,1,则 ? ( A, B) =________; 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 为曲线 y ? e x 上两点,且 x1 ? x2 ? 1 ,若 m ? ? ( A, B) ? 1 恒成立,则实数 m 的取值范围是____________。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 3, an ?1 ? (Ⅰ)计算 a2 , a3 , a4 的值; (Ⅱ)根据计算结果猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明。 18. (本小题满分 13 分) 在一次射击游戏中,规定每人最多射击 3 次;在 A 处击中目标得 3 分,在 B,C 处击中目标均 得 2 分, 没击中目标不得分; 某同学在 A 处击中目标的概率为
2 an ? 4an ? 5 ? 2(n ? N * ) 。

1 3 C 处击中目标的概率均为 。 , 在 B, 3 4

该同学依次在 A,B,C 处各射击一次,各次射击之间没有影响,求在一次游戏中: (Ⅰ)该同学得 4 分的概率; (Ⅱ)该同学得分少于 5 分的概率。 19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? 4 。 (Ⅰ)若 a ? 2 ,求 f ( x) 在 [ ?1,1] 上的最小值; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 [0,??) 上的最大值大于零,求 a 的取值范围。 20. (本小题满分 13 分) 盒中装有 7 个零件,其中 5 个是没有使用过的,2 个是使用过的。 (Ⅰ)从盒中每次随机抽取 1 个零件,有放回的抽取 3 次,求 3 次抽取中恰有 2 次抽到使用过 零件的概率; (Ⅱ)从盒中任意抽取 3 个零件,使用后放回盒子中,设 X 为盒子中使用过零件的个数,求 X 的分布列和期望。 21. (本小题 满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? 2ax 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点(0,1)处的切线方程; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 [1,??) 上的最小值为 0,求 a 的值; (Ⅲ)若对于任意 x ? 0, f ( x) ? e ? x 恒成立,求 a 的取值范围。 22 . (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 1? m 2 x , g ( x) ? x ? x , m ? R ,令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 。 2 2

(Ⅰ)求函数 f(x )的单调递增区间; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 F ( x) ? m x ? 1恒成立,求整数 ..m 的最小值; (Ⅲ)若 m ? ?1 ,且正实数 x1 , x2 满足 F ( x1 ) ? ? F ( x2 ) ,求证: x1 ? x2 ? 3 ?1 。

【试题答案】
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 1. B 2. C 3. D 4. C 5. B 6. C 7. A 8. C 9. B 10. B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 11. 3 12. 1,-1 13. 34

14. (??,0)

15.

4 ;16 25

16.

2 , (??,1]

注:一题两空的试题,第一空 3 分,第二空 2 分。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 17. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由 a1 ? 3, an?1 ?
2 an ? 4an ? 5 ? 2 可得

a2 ? 2 ? 2, a3 ? 2 ? 3, a4 ? 2 ? 4 ? 4 。

5分

(Ⅱ)由 a1 ? 3 ? 2 ? 1, a2 ? 2 ? 2, a3 ? 2 ? 3, a4 ? 2 ? 4 猜想: an ? 2 ? n (n ? N * ) 。 以下用数学归纳法证明: (1)当 n ? 1 时,左边 a1 ? 3 ,右边 2 ? 1 ? 3 ,符合结论; 8分 7分

(2)假设 n ? k (k ? 2, k ? N * ) 时结论成立,即 ak ? 2 ? k , 9 分 那么,当 n=k+1 时, ak ?1 ?
2 ak ? 4ak ? 5 ? 2 ? (2 ? k ) 2 ? 4(2 ? k ) ? 5 ? 2

? 4 ? k ? 4 k ? 4(2 ? k ) ? 5 ? 2 ? k ? 1 ? 2 。 11 分
所以,当 n=k+1 时猜想也成立;12 分
* 根据(1)和(2),可知猜想对于任意 n∈N 都成立。13 分

18. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)设该同学在 A 处击中目标为事件 A,在 B 处击中目标为事件 B,在 C 处击中目标为 事件 C,事件 A,B,C 相互独立。 依题意 P( A) ?
]

1 3 2 1 , P( B) ? P(C ) ? , P( A ) ? , P( B ) ? P(C ) ? 。 3 4 3 4

3分

则该同学得 4 分的概率为

P( A BC) ? P( A) P( B) P(C)
? 2 3 3 3 ? ? ? 。 3 4 4 8 3 。 8
6分

5分

答:该同学得 4 分的概率为

(Ⅱ)该同学得 0 分的概率为 P( A B C ) ? P( A ) P( B ) P(C ) ? 得 2 分的概率为 P( A BC ? A B C ) ? P ( A BC ) ? P ( A B C ) ?

2 1 1 1 ? ? ? ;8 分 3 4 4 24
10 分

1 ; 4

得 3 分的概率为 P( AB C ) ? P ( A) P( B ) P(C ) ? 得 4 分的概率为 P( A BC ) ?

1 ; 48

11 分

3 ; 8

则该同学得分少于 5 分的概率为

P( A B C ? A BC ? A B C ? AB C ? A BC)
? P( A B C ) ? P( A BC ) ? P( A B C ) ? P( AB C ) ? P( A BC ) ?
答:该同学得分少于 5 分的概率为 19. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) a ? 2 时, f ( x) ? ? x3 ? 2 x 2 ? 4 ,则 f ?( x) ? ?3x 2 ? 4x 。 2 分 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? 列表:

11 。 16

11 。 16

13 分

4 。 3

4分

x
f ?( x )
f ( x)

-1 -7 -1

(?1,0)
- ↘

0 0 -4

(0,1) + ↗

1 1 -3

f(x)在区间(-1,0)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增。 所以,当 x ? [?1,1] 时, f ( x ) 最小值为 f (0) ? ?4 。 (Ⅱ)由已知 f ?( x) ? ?3 x( x ? 7分 8分

2a )。 3

当 a ? 0 时, f ?( x) ? ?3x 2 ,函数 f ( x ) 为减函数,

f ( x) 在区间 [0,??) 上的最大值 为 f (0) =-4,不符合题意。

9分

当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在区间 [0,??) 上为减函数,最大值为 f (0) ? ?4 ,不符合题意。 10 分 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在区间 (0,

2a 2a ) 上为增函数,在区间 ( ,?? ) 上为减函数。 3 3

所以, f ( x ) 在区间 [0,??) 上的最大值为 f (

2a 4a 3 )? ? 4, 3 27
12 分 13 分

11 分

依题意,令

4a 3 ? 4 ? 0 ,解得 a ? 3 ,符合题意。 27

综上,a 的取值范围是 (3,??) 。 20. (本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)记“从盒中随机抽取一个零件,抽到的是使用过零件”为事件 A。1 分 则 P( A) ?
1 C2 2 ? 。 1 C7 7

3分

所以三次抽取中恰有 2 次抽到使用过零件的概率 P ? C3 ( ) ( ) ?
2 2

2 7

5 7

60 。 343

5分

(Ⅱ)从盒中任意抽取三个零件,使用后放回盒子中,设此时盒子中使用过的零件个数为 X, 由已知 X=3,4,5。 7分

P( X ? 3) ? P( X ? 5) ?

1 2 1 C5 C2 1 C52C2 4 ? P ( X ? 4 ) ? ? ; ; 3 3 C7 7 C7 7 3 C5 2 ? 。 3 C7 7

10 分

随机变量 X 的分布列为: X P 3 4
[

5

1 7

4 7

2 7
11 分

EX ? 3 ?

1 4 2 29 ? 4? ? 5? ? 。 7 7 7 7

13 分

21. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ? e x ? 2 x, f ?( x) ? e x ? 2 , 所求切线的斜率为 f ?(0), f ?(0) ? 3 。 3分 2分

所以,曲线 y ? f ( x) 在点 (0,1) 处的切线方程为 3x ? y ? 1 ? 0 。4 分 (Ⅱ)当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? e x ? 2ax ? 0 ,不符合题意。 当 a ? 0 时, f ?( x) ? e x ? 2a , 令 e x ? 2a ? 0 ,得 x ? ln(?2a) , 6分 5分

所以,当 x ? (??, ln(2a)) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减;当 x ? (ln(?2a),??) 时,

f ?( x) ? 0 , 函数 f ( x) 单调递增。
①当 ln(?2a) ? 1 ,即 ? 解 2a ? e ? 0 ,得 a ? ?

7分

e ? a ? 0 时, f ( x) 最小值为 f (1) ? 2a ? e 。 2 e ,符合题意。 2
8分

②当 ln(?2a) ? 1 ,即 a ? ?

e 时, f ( x ) 最小值为 f (ln(?2a)) ? ?2a ? 2a ln(?2a) 。 2

解 ? 2a ? 2a ln(?2a) ? 0 ,得 a ? ? 综上, a ? ?

e ,不符合题意。 2

9分

e 。 2
10 分

(Ⅲ)构建新函数 g ( x) ? e x ? e? x ? 2ax, g ?( x) ? e x ? e? x ? 2a 。 ①当 2a ? ?2 ,即 a ? ?1 时,

因为 e x ? e ? x ? 2 ,所以 g ?( x) ? 0 。(且 a ? ?1 时,仅当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 。) 所以 g ( x) 在 R 上单调递增。 又 g (0) ? 0 ,所以,当 a ? ?1 时,对于任意 x ? 0 都有 g ( x) ? 0 。 ②当 a ? ?1 时,解 e x ? e ? x ? 2a ? 0 ,即 (e x ) 2 ? 2aex ? 1 ? 0 , 得 ? a ? a 2 ? 1 ? e x ? ?a ? a 2 ? 1 , 其中 0 ? ?a ? a 2 ? 1 ? 1,?a ? a 2 ? 1 ? 1 。 所以 ln(?a ? a 2 ? 1) ? x ? ln(?a ? a 2 ? 1) , 且 ln(?a ? a 2 ? 1) ? 0 , ln(?a ? a 2 ? 1) ? 0 。 所以 g ( x) 在 (0, ln(?a ? a 2 ? 1)) 上单调递减。 又 g (0) ? 0 ,所以存在 x0 ? (0, ln( ?a ? 综上,a 的取值范围为 [?1,??) 。 22. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 {x | x ? 0}, f ?( x) ? 由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 , 所以 f(x)的单调递增区间为 (0,1)。 (Ⅱ) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? 令 G ( x) ? F ( x) ? (mx ? 1) ? ln x ? 4分 12 分

a 2 ? 1)) ,使 g ( x0 ) ? 0 ,不符合题意。
14 分

1 1 ? x2 ?x? ( x ? 0) , x x

2分

1 2 mx ? x, x ? 0 。 2

1 2 mx ? (1 ? m) x ? 1 , 2

则不等式 F ( x) ? m x ? 1 恒成立,即 G ( x) ? 0 恒成立。

G?( x) ?

1 ? m x2 ? (1 ? m) x ? 1 。 ? m x ? (1 ? m) ? x x

5分

①当 m ? 0 时,因为 x ? 0 ,所以 G?( x) ? 0 所以 G ( x) 在 (0,??) 上是单调递增函 数,

又因为 G (1) ? ln 1 ?

1 3 m ? 12 ? (1 ? m) ? 1 ? ? m ? 2 ? 0 , 2 2
6分

所以关于 x 的不等式 G ( x) ? 0 不能恒成立。 ②当 m ? 0 时,

? m x2 ? (1 ? m) x ? 1 G?( x) ? ?? x
1 , m

m( x ?

1 )(x _ 1) 。 m x

令 G?( x) ? 0 ,因为 x ? 0 ,得 x ? 所以当 x ? (0,

1 1 ) 时, G?( x) ? 0 ;当 x ? ( ,?? ) 时, G?( x) ? 0 。 m m 1 1 ) 是增函数,在 x ? ( ,?? ) 是减函数。 7 分 m m

因此函数 G ( x) 在 x ? (0, 故函数 G ( x) 的最大值为

1 1 1 1 1 1 G ( ) ? ln ? m ? ( ) 2 ? (1 ? m) ? ? 1 ? ? ln m 。 m m 2 m m 2m
令 h( m) ?

8分

1 ? ln m ,因为 h(m) 在 m ? (0,??) 上是减函数, 2m 1 1 ? 0 , h(2) ? ? ln 2 ? 0 ,所以当 m ? 2 时, h(m) ? 0 。 2 4
10 分

又因为 h(1) ?

所以整数 m 的最小值为 2。 (Ⅲ) m ? ?1 时, F ( x) ? ln x ?

1 2 x ? x, x ? 0 2
1 2 1 2 x1 ? x1 ? ln x2 ? x2 ? x2 ? 0 , 2 2
11 分

由 F ( x1 ) ? ? F ( x2 ) ,得 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 0 ,即 ln x1 ? 整理得,

1 ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? ln( x1 x2 ) 2

令 t ? x1 ? x2 ? 0 ,则由 ? (t ) ? t ? ln t 得, ? ?(t ) ?

t ?1 , 12 分 t

可知 ? (t ) 在区间 (0,1) 上单调递减,在区间 (1,??) 上单调递增。 所以 ? (t ) ? ? (1) ? 1 , 所以 13 分

1 ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ,解得 x1 ? x2 ? ? 3 ? 1 x1 ? x2 ? 3 ? 1, 2
14 分

因为 x1 , x2 为正整数,所以 x1 ? x2 ? 3 ? 1成立。


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