当前位置:首页 >> 数学 >>

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:1.4 生活中的优化问题举例]


选修 2-2

第一章

1.4

一、选择题 1.要制做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则高为( A. 3 cm 3 10 3 B. cm 3 20 3 D. cm 3 )

16 3 C. cm 3 [答案] D

[解析] 设圆锥的高为 x,则底面半径为 202-x2, 1 其体积为 V= πx(400-x2) (0<x<20), 3 1 20 3 V′= π(400-3x2),令 V′=0,解得 x= . 3 3 20 3 20 3 当 0<x< 时,V′>0;当 <x<20 时,V′<0, 3 3 20 3 所以当 x= 时,V 取最大值. 3 2.将数 8 拆分为两个非负数之和,使其立方之和为最小,则分法为( A.2 和 6 C.3 和 5 [答案] B [解析] 设一个数为 x,则另一个数为 8-x,则 y=x3+(8-x)3,0≤x≤8,y′=3x2-3(8 -x)2,令 y′=0,即 3x2-3(8-x)2=0,解得 x=4. 当 0≤x<4 时,y′<0,函数单调递减;当 4<x≤8 时,y′>0,函数单调递增,所以 x= 4 时,y 最小. 3.用总长为 6m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的相邻两 边长之比为 A.0.5m C.0.8m [答案] A 6-12x-16x ?3 [解析] 设容器底面相邻两边长分别为 3xm、4xm,则高为 =?2-7x? ?(m), 4 ,那么容器容积最大时,高为( ) B.1m D.1.5m B.4 和 4 D.以上都不对 )

?3-7x?=18x2-84x3?0<x< 3 ?,V′=36x-252x2, 容积 V=3x· 4x· 14? ?2 ? ?

1? 1 ?1 3 ? 由 V′=0 得 x= 或 x=0(舍去).x∈? ?0,7?时,V′>0,x∈?7,14?时,V′<0,所以 7 1 在 x= 处,V 有最大值,此时高为 0.5m. 7 4.内接于半径为 R 的球且体积最大的圆锥的高为( A.R 4 C. R 3 [答案] C [解析] 设圆锥高为 h,底面半径为 r,则 R2=(R-h)2+r2,∴r2=2Rh-h2, 1 π 2 π ∴V= πr2h= h(2Rh-h2)= πRh2- h3, 3 3 3 3 4 4 V′= πRh-πh2.令 V′=0 得 h= R. 3 3 4 4R 当 0<h< R 时,V′>0;当 <h<2R 时,V′<0. 3 3 4 因此当 h= R 时,圆锥体积最大.故应选 C. 3 5.设圆柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面半径为( 3 A. V 3 C. 4V [答案] D [解析] 设底面圆半径为 r,高为 h,则 V=πr2h, V V 2V ∴h= 2.∴S 表=2S 底+S 侧=2πr2+2πr· h=2πr2+2πr· 2=2πr2+ . πr πr r 3 V 2V ∴S 表′=4πr- 2 ,令 S 表′=0 得,r= , r 2π 又当 x∈(0, 面积最小. 6.福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时时, 1 原油温度(单位:℃)为 f(x)= x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是 3 ( ) A.8 C.-1 20 B. 3 D.-8 3 V 3 V 3 V )时,S 表′<0;当 x∈( ,V)时,S 表′>0,∴当 r= 时,表 2π 2π 2π B. 3 V π 3 V 2π ) B.2R 3 D. R 4 )

D.2

[答案] C [解析] 瞬时变化率即为 f ′(x)=x2-2x 为二次函数, 且 f ′(x)=(x-1)2-1, 又 x∈[0,5], 故 x=1 时,f ′(x)min=-1. 二、填空题 7.面积为 S 的矩形中,其周长最小的矩形边长是________________. [答案] S

S [解析] 设矩形的一边边长为 x,则另一边边长为 , x 2S 2S 其周长为 l=2x+ ,x>0,l′=2- 2 , x x 令 l′=0,解得 x= S,易知,当 x= S时,其周长最小. 8.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27π,且用料最小,则圆柱的底面半径 为________. [答案] 3 27 [解析] 设圆柱的底面半径为 R,母线长为 L,则 V=πR2L=27π,∴L= 2 ,要使用料 R 27 最省,只需使圆柱形表面积最小,∴S 表=πR2+2πRL=πR2+2π , R 54π ∴S′(R)=2πR- 2 =0,令 S′=0 得 R=3, R ∴当 R=3 时,S 表最小. 9.如图所示,一窗户的上部是半圆,下部是矩形,如果窗户面积一定,窗户周长最小时, x 与 h 的比为________.

[答案] π S π [解析] 设窗户面积为 S,周长为 L,则 S= x2+2hx,h= - x,∴窗户周长 L=πx 2 2x 4 π S +2x+2h= x+2x+ , 2 x π S ∴L′= +2- 2. 2 x 由 L′=0, 得 x= ∴当 x= 2S ? , x∈?0, π+4 ? 2S ? ? L′<0, x∈? ?时, π+4? ? 2S ? L′>0, ,+∞?时, π+4 ?

2 2S h 2S-πx 2S π π+4 π 时,L 取最小值,此时 = = 2- = - =1. x 4x2 4x 4 4 4 π+4

三、解答题 10.(2014· 福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益,现对某一景点进行改造升级, 从而扩大内需,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值 y 万元与投入 x(x≥10)万元之 101 x 间满足:y=f(x)=ax2+ x-bln ,a,b 为常数.当 x=10 万元时,y=19.2 万元;当 x= 50 10 30 万元时,y=50.5 万元.(参考数据:ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6). (1)求 f(x)的解析式; (2)求该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值.(利润=旅游增加值-投入). [解析] (1)由条件可得

?a×10 + 50 ×10-bln1=19.2, ? 101 ?a×30 + 50 ×30-bln3=50.5,
2 2

101

解得 a=-

1 ,b=1, 100

x2 101 x 则 f(x)=- + x-ln (x≥10). 100 50 10 x2 51 x (2)T(x)=f(x)-x=- + x-ln (x≥10), 100 50 10 -x 51 1 ?x-1??x-50? 则 T′(x)= + - =- , 50 50 x 50x 令 T′(x)=0,则 x=1(舍)或 x=50, 当 x∈(10,50)时,T′(x)>0,因此 T(x)在(10,50)上是增函数; 当 x∈(50,+∞)时,T′(x)<0,因此 T(x)在(50,+∞)上是减函数, ∴当 x=50 时,T(x)取最大值. 502 51 50 T(50)=- + ×50-ln =24.4(万元). 100 50 10 即该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值为 24.4 万元.

一、选择题 11.以长为 10 的线段 AB 为直径画半圆,则它的内接矩形面积的最大值为( A.10 C.25 [答案] C [解析] 如图,设∠NOB=θ,则矩形面积 S=5sinθ· 2· 5cosθ=50sinθ· cosθ=25sin2θ,故 Smax=25. B.15 D.50 )

12.若一球的半径为 r,作内接于球的圆柱,则圆柱侧面积的最大值为( A.2πr2 C.4πr2 [答案] A [解析] 设内接圆柱的底面半径为 r1,高为 t,
2 2 则 S=2πr1t=2πr12 r2-r2 1=4πr1 r -r1. 4 ∴S=4π r2r2 1-r1. 4 令(r2r2 1-r1)′=0 得 r1=

)

B.πr2 1 D. πr2 2

2 r. 2

此时 S=4π·

2 2 r· r2-? r?2 2 ?2 ?

2 2 =4π· r· r=2πr2. 2 2 13.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y 1 71 =- x3+4x+ ,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( 3 3 A.3 万件 C.2 万件 [答案] C [解析] 本题考查了导数的应用及求导运算. ∵x>0,y′=-x2+4=(2-x)(2+x), 令 y′=0,解得 x=2,所以 x∈(0,2)时,y′>0, x∈(2,+∞)时,y′<0,y 先增后减. ∴x=2 时函数取最大值,选 C. 二、填空题 14.某厂生产某种产品 x 件的总成本:C(x)=1 200+ 2 3 x ,又产品单价的平方与产品件 75 B.1 万件 D.7 万件 )

数 x 成反比,生产 100 件这样的产品的单价为 50 元,总利润最大时,产量应定为________ 件. [答案] 25 [解析] 设产品单价为 a 元,又产品单价的平方与产品件数 x 成反比,即 a2x=k,

500 2 250 2 由题知 a= .总利润 y=500 x- x3-1200(x>0),y′= - x2, 75 x x 25 由 y′=0,得 x=25,x∈(0,25)时,y′>0,x∈(25,+∞)时,y′<0,所以 x=25 时, y 取最大值. 15.某商品一件的成本为 30 元,在某段时间内若以每件 x 元出售,可卖出(200-x)件, 要使利润最大每件定价为________元. [答案] 85 [解析] 设每件商品定价 x 元,依题意可得 利润为 L=x(200-x)-30x=-x2+170x(0<x<200). 170 L′=-2x+170,令-2x+170=0,解得 x= =85. 2 因为在(0,200)内 L 只有一个极值,所以以每件 85 元出售时利润最大. 三、解答题 16.(2014· 三峡名校联盟联考)时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为 学生们课外学习的一种趋势, 假设某网校的套题每日的销售量 y(单位: 千套)与销售价格 x(单 位:元/套)满足的关系式 y= m +4(x-6)2,其中 2<x<6,m 为常数.已知销售价格为 4 元/ x-2

套时,每日可售出套题 21 千套. (1)求 m 的值; (2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题 2 元(只考虑销售出的套数),试 确定销售价格 x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留 1 位小数) [解析] (1)因为 x=4 时,y=21, m m 代入关系式 y= +4(x-6)2,得 +16=21, 2 x-2 解得 m=10. 10 (2)由(1)可知,套题每日的销售量 y= +4(x-6)2, x-2 所以每日销售套题所获得的利润 10 f(x)=(x-2)[ +4(x-6)2]=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6), x-2 从而 f ′(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6). 10 10 10 令 f ′(x)=0,得 x= ,且在(0, )上,f ′(x)>0,函数 f(x)单调递增;在( ,6)上, 3 3 3 f ′(x)<0,函数 f(x)单调递减, 10 所以 x= 是函数 f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点, 3 10 所以当 x= ≈3.3 时,函数 f(x)取得最大值. 3

故当销售价格为 3.3 元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大. 17.(2014· 山东省德州市期中)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升) 关于行驶速度 x(千米/小时)的函数为 y= 1 3 x3- x+8(0<x<120). 128000 80

(1)当 x=64 千米/小时时,行驶 100 千米耗油量多少升? (2)若油箱有 22.5 升油,则该型号汽车最多行驶多少千米? 100 25 [解析] (1)当 x=64 千米/小时时,要行驶 100 千米需要 = 小时, 64 16 1 3 25 要耗油( ×643- ×64+8)× =11.95(升). 128000 80 16 (2)设 22.5 升油能使该型号汽车行驶 a 千米,由题意得, 1 3 a ( x3- x+8)× =22.5, 128000 80 x ∴a= 22.5 , 1 8 3 x2+ - 128000 x 80 1 8 3 x2+ - , 128000 x 80

设 h(x)=

则当 h(x)最小时,a 取最大值,
3 3 1 8 x -80 h′(x)= x- 2= , 64000 x 64000x2

令 h′(x)=0?x=80, 当 x∈(0,80)时,h′(x)<0,当 x∈(80,120)时,h′(x)>0, 故当 x∈(0,80)时,函数 h(x)为减函数,当 x∈(80,120)时,函数 h(x)为增函数, ∴当 x=80 时,h(x)取得最小值,此时 a 取最大值为 ∴a= 22.5 1 8 3 ×802+ - 128000 80 80 =200.

答:若油箱有 22.5 升油,则该型号汽车最多行驶 200 千米.


相关文章:
更多相关标签:

相关文章