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第29物理竞赛复赛模拟赛题第4套答案及评分标准


第 29 届复赛模拟赛题 第四套 答案及评分标准
满分 160 分 第一题(20 分) 一个半径为 r 的圆环能在水平地面上做纯滚动,在圆环边缘固定有一个半径可以忽略的小滑轮, 某时刻滑轮恰好处于水平位置。 在距离滑轮 r 处有一墙高为 2r 的墙, 一根不可伸长的绳子从墙根连出, 绕过滑轮,从墙顶处绕出(由几何条件可以算出来绳子绕出的是等腰直角三角形的两条边) ,某人

在 墙顶处以速度 v 匀速拉绳子,为了让绳子即不拉断,也不松弛,则此刻 ①圆环的角速度 ? 为多少? ②圆环中心相对地面加速度 a 为多少?
ω v a r

【解】 : (1)易知此时滑轮的速度方向与 AB 垂直, vB ? 2r? 以滑轮为系,上段绳子的延绳速度为 v ,因此下段绳子的沿绳速度也为 v 。 所以 ? 2r ? v
?? ? 2v (5 分) 2r
v

B B' A

(2)球心的速度为 v0 ?

2r ,球心加速度为 a0 ,B 相对于 A 的加速度由向心加速度和加速转动加速

度。记下段绳子为 n 方向,上段绳子为 ? 方向。轮子的角加速度为 ? ? a0 / r

N

? 2r B

a0

? r ? a0
在地面上看 B 的加速度:

M

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1

aBn ? a0 2 ? ? 2 r

2 2 , aB? ? ?? 2 r 2 2

(3 分)

地面上看墙角 M 加速为 aM ? 0 ,由于下段绳子没有转动,所以下端绳子上靠近滑轮的点沿绳加 速度为 0,所以相对滑轮下段绳子进入绳子的加速度为

a入 ? aBn ? a0 2 ? ? 2 r

2 2

(3 分)

地面上看墙顶 N 加速度为 aN ? 0 ,由于上段绳子转动角速度 ? ' ? 靠近滑轮的点沿绳加速度为 ?
2

? 2r
2r

? ? ,所以上段绳子上

2r (1 分)

所以相对滑轮上段绳子出绳子的加速度为

a出 ? ? 2 2r ? aB? ? ? 2
由于绳子长度不变,所以 a入 ? a出

3 2 r 2

(3 分)

a0 2 ? ? 2 r
解得 a0 =2? r ?
2

2 3 2 =? 2 r 2 2

(1 分)

v2 r

(4 分)

只要答案正确,方法没有明显错误给全分

第二题(20 分) 一个长度为 l 的扁平的水槽与水平夹角为 30o ,水槽的质量为 m ,在两端用细线将水槽吊起来。在 水槽最下端有一个质量为 m 的喷水机, 从水槽中抽水, 以速度 v0 将水沿着与水槽夹角为 ? ? 30o 的方向 喷出,水则刚好能喷到水槽上端,水落回水槽后受到水槽底部阻力的影响,匀速流到水槽底端,形成 稳定的水流。 ①重力加速度为 g ,求出能将水刚好喷到水槽上端喷水机喷水的速度 v0 。 ②喷水出口的面积为 S ,水密度为 ? ,水槽中水下流速度为 v1 ,为了保持平衡,两根绳上的拉力各为 多少?(两根绳子保持竖直方向)

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2

T2

T1 θ

θ

【解】 : (1)重力加速度沿水槽和垂直于水槽方向的分量分别为 g∥ ? g sin ? ? 和 g ? ? g cos ? ?
3 g 2

1 g 2

1 沿水槽运动方程: l ? v0 cos? t ? g∥ t 2 (2 分) 2 1 垂直于水槽 ? : 0 ? v0 sin ? t ? g?t 2 (2 分) 2

∴ v0 ?

3 gl ? 1.22 gl (2 分) 2

(2)以整体为对象,水的冲量是内部作用,不必计算。 喷出的水在水平方向的分速度不变,故其中心在中间 水槽中的水匀速运动,故其重心也在中间 即:空中的水+水槽中的水+水槽的重心 在两绳中间所在的垂直线上。 (3 分) 求水的总量 单位时间爱你喷出的水质量为: m0 ? ? sv0 水在空中和在水槽中运行的时间分别为:
t1 ?
l l cos ? l l ? 3 ? 2 , t2 ? u v0 cos 2? v0 g 1

故水的总质量为: M ? m0 (t1 ? t2 ) ? ? sv0 (
受力平衡:T1 +T2 ? (M ? m ? m) g

2l l ? ) (3 分) g u1

? ? (2分) ? l l 以水槽中间为参考点,力矩: (T1 ? mg ) cos? ? T2 cos? ? 2 2 ?
M ? 3m ? T ? g (2分) ? ? 1 2 ?? ?T ? M ? m g (2分) 2 ? ? 2

其中 M ? ? sv0 (

2l l 3gl 2l l ? ) ? ?s ( ? ) g u1 2 g u1

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3

第三题(20 分) 在光滑平面上放有一个质量为 m 的匀质圆环,内径为 r 。从圆环的三个三等分点上各连出一根轻 质弹簧,原长几乎为 0,劲度系数为 k ,三根弹簧连到一个质量为 m 的质点上。 ①用一个恒力 F 沿着 x 方向作用于圆环,若 m 与 M 保持相对静止,则 m 相对圆心位移为多少? ②初态圆环和质点保持静止,沿着某根弹簧方向给圆环一个冲量,使得速度为 v0 ? 环和质点的运动方程。
y

2k r ,求之后圆 m

m

m

x

【解】 : ①系统的加速度为: a ?
F 2m

设 m 相对圆心位移为 x0 ,设从原点到三个弹簧连接点的矢 量为 a , b , c ,则质点受到的合外力为
F ? k (a ? x0 ) ? k (b ? x0 ) ? k (c ? x0 ) ? ?3kx0 (4 分)

等价于一个 3k 的弹簧 由牛顿第二定律
? x0 ?
3k x 0 ? m a

F (3 分) 6k
v0 t? 2 k rt (3 分) 2m

②质心运动方程为: xC ?

由①知沿 x 轴方向的有效劲度系数为 3k 。
6k m ,故振动角频率为 ? ? (2 分) m 2 v r ? r (2 分) 振幅为: A ? 0 ? ? 3

折合质量为

故质点, x1 ? 环的质点: x2 ? 其中 A ?
r 3

k A r t ? sin(?t ? π) (3 分) 2m 2 k A r t ? sin(?t ) (3 分) 2m 2

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第四题(20 分) 如图一个绝缘的刚性的固定圆筒, 沿着轴向有匀强磁场 B 。 有一个电中性的粒子静止在圆筒中心, 粒子突然衰变成为两个带电量为 ? q 的粒子,粒子出射方向在平面内,动量大小为 P 。粒子之间发生 碰撞时交换动量,不考虑静电作用,电量各自保持不变。粒子与圆筒之间的碰撞是完全弹性的,圆筒 P 的半径满足 R = Bq ①当衰变的两个粒子质量比为 m1 : m2 ? 1:1 时, 求从初态到两个粒子的运动状态第一次还原到初态经历 的时间,并画出粒子轨迹。 ②令 m1 : m2 ? 1: 2 重做上一问。

【解】 : 虚线:正电荷 实线:负电荷 轨迹如图
B ① ② ② ① ④ ③ ③ ④

2 故时间为: t ? T0 T0 为粒子转一周的时间 3 2? R 2? m T0 ? ? (3 分) v Bq

(2) m1 : m2 ? 1: 2 ? v1 : v2 ? 2 :1 不失去一般性,令正电荷为 m1 ,在开始阶段走的是左上和右边两个花瓣 负电荷走左下一个花瓣。此时发生正碰,和初始状态相比,粒子速度方向转了 60 度。

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此时时间为: t ?

4? m1 2 T1 ? 3 3Bq

之后要重复走 6 次,粒子状态才能还原,周期
T? 8? m1 Bq

第五题(20 分) 非洲杀人湖 非洲有一个由火山口形成的湖泊,由于其特殊的地质结构而成为杀人湖。调查发现原因在于湖底 溶有大量 CO2 ,由于挠动 CO2 大量集中涌至湖面,造成人畜窒息。为了简单起见,假设温度恒定为 T0 时,CO2 达到溶解平衡时气相中 CO2 的分压 P 与液相中 CO2 的摩尔浓度 C 满足 P =? C 。其中 P 被称为 (溶解气体后密度几乎不变) CO2 的饱和气压。湖的深度为 H ,水密度为 ? 。 ①在湖底 CO2 浓度恒定为 C0 , 大气压为 P0 , 假设只要水中压强小于 CO2 的溶解平衡压强, 就有 CO2 逸 出,计算出开始有 CO2 逸出的深度 h 。 (假设你算出的 0 ? h ? H ) ②实际上在 h 的位置并不会有 CO2 逸出。 由于涨落水中可能出现一些半径为 r 的小气泡, 气泡中 CO2 与 溶液保持溶解平衡。 (水蒸气的饱和蒸汽压可以忽略)液体的表面张力为 ? ,若外压过大则气泡被压 回水中,否则气泡进一步长大,形成 CO2 集中快速逸出,对人畜构成危险,计算出 CO2 快出逸出的最 大深度 h ' (假设你算出的 0 ? h ' ? H ) ③某人插了一根管子到水底,不断向内鼓气,解决了杀人湖的问题,解释这个原理。 【解】 : ① P0 ? ? gh ? ? C0 (5 分)
?h?

? C0 ? P0 (2 分) ?g
2? r

②单层薄膜: ?P ?

P0 ? ? gh '?

2? ? ? C0 (6 分) r

? h' ?

? C0 ?

2? ? P0 r (2 分) ?g

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即达到 h ' 之前溶液是过饱和的。到达 h ' 的深度时,一旦出现一个气泡半径超过 r ,则附加压强变 小,气泡进一步变大,多溶解的 CO2 就会集中冒出。 ③用管子鼓的气泡半径较大,产生的附加压可以忽略不计,故一但水中溶解的 CO2 溶度较大,就 会持续析出,而不会如第二问中集中冒出。 (5 分)

第六题(20 分) 如图,用八根单位长度电阻为 r 的电阻线焊接成两个正方形(焊接点电阻为零) 。大正方形边长为
l 。在正方形区域中有垂直于纸面向内随时间均匀变化的磁场

?B ?k。 ?t

①求 AC 、 AB 导线上的电流 ②求 AC 两点电势差 U A ? UC 和 AB 两点电势差 U A ? U B 。
A

C B

【解】 : 大正方形的感应电动势为: ?1 ? l 2 k (以逆时针为正方向) (3 分)

l2 k (3 分) 2 由对称性知外圆电流相等,内圈电流也相等,没有电流从内圈到外圈。 ? lk 故: AC 上电流: i1 ? 1 ? (3 分) (逆时针为正方向) 4rd 4r ? lk (3 分) AB 上电流为: i2 ? 2 ? 2 2rl 4 2r ? l ② U AC ? ? 1 ? i1 r ? 0 (4 分) 8 2 ? l U AC ? ? 2 ? i2 r ? 0 (4 分) 4 2
小正方形感应电动势为: ? 2 ? 第七题(20 分) 井底之蛙 在一个圆柱形的井底中心有一只青蛙。当水注满整个井的时候,青蛙刚好能看见全部天空,水的 折射为 n ? 1.33 。 ①若此时月亮位于天顶,则青蛙看见的月亮和此时地上的人看到的月亮的大小之比为多少? ②当水漏掉一半的时候,青蛙看到的星星数目和此时地上的人看到的星星数目之比约为多少?(认为 星星很多,均匀的分布在天空中) ③接上一问,青蛙的视野中, “天空”的边缘与“天空”的中心,星星的密度之比为多少?

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7

【解】 : 地上的人看到的月亮的角宽度为 ? ,则青蛙看到的月亮的角宽度为 ? ' 满足:

? 'n ? ? ?? ' ?

?

3 ? ? (3 分) n 4

故青蛙看到的月亮与地面人看到月亮的大小之比为 3 : 4 (2 分)

i

γ h

R

②设井半径为 R ,则可得井深 h 满足:
sin i ? n sin r

?1? n

R h ?R
2 2

?h?

7 R 9

水漏掉一半时青蛙能看到的最大角度 ?C 满足:

?sin ?C ? n sin ? C ? (2 分) ?h h tan ?C ? tan ? C ? R ? ?2 2

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3 sin ?C 6 4 ? tan ?C ? ? 9 7 1 ? sin 2 ?C 16

数值解列表(2 分) 数值解得: ?C ? 55.9o (2 分) 星星数之比值为立体角的比值:
2π(1 ? cos?C ):(2π)=0.44:1(2 分)

③ 令入射角为 ? ,折射角为 i , 令青蛙从 0 到 i 角度为看到的星星数为 N f (i) 令人从 0 到 ? 角度为看到的星星数为 Nh (? ) 显然 N f (i) ? Nh (? ) , 令密度为 ? f (i), ?h (? ) 则有 ? f (i)d ?i ? ?h (? )d ?? 其中 ? 为立体角, d ?? ? 2? sin ? d? 因此 ? f (i ) ? ? h n (2 分) (1 分) (3 分)

d? cos i ? ?h n2 di cos ?

(1、人看到的密度是不变的,2、用了正弦定理) 由此 i ? 0 时

? f ? ?h n2

由此 i ? 38.4? 时

? f ? 1.40?h n2

(3 分)

第八题(18 分) 两面平行放置的镜子 A 、B 分别以 0.6c 和 0.8c 的速度相向运动, 在地面参照系中某时刻两镜相距
l ,此时从 A 镜面向着 B 发出一束激光,在 A 镜参照系中,激光频率为 f 0 ,激光在两面镜子间来回反

射。
l ①在地面看来,当 A 、 B 间距变为 时,激光走过的路程为多少? 8

②从 A 镜为参照系,从激光发出到第一次被 A 镜面反射,经过了多长时间? ③以 A 镜为参照系,激光先被 B 反射,之后第一次被 A 镜面反射后的频率为多少?
A 0.6c l 0.8c B

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9

【解】 :
7 地面系中 A 、 B 走过的路程之和(不是相对速度! ! ! ) : (0.6c ? 0.8c)t ? l (2 分) 8

5 故激光走过的路程为: ct ? l (3 分) 8 ②注意:AB 之间不是相对静止的,不能用尺缩! !

在地面参照系看,经过 t1 ?

5l 2l l 5l ? ,此时 AB 距离 l ' ? l ? (0.6c ? 0.8c) ? 9c 9 (1 ? 0.8)c 9c

再次回到 A,进过时间 t2 ?

1 2l 5 l ? (1 ? 0.6)c 9 36 c
2

从 A 出发,回到 A,因而可以利用钟慢效应 t ' ? (t1 ? t2 ) 1 ? 0.6 ? 利用其它做法得到正确答案给全分。 ③ 地上看 A 发射频率为 f1 ? f 0

5l (7 分) 9c

1 ? 0.6 1 ? 0.6 1 ? 0.8 1 ? 0.8 1 ? 0.8 1 ? 0.8 1 ? 0.6 1 ? 0.6

在 B 上看 A 发射频率 f 2 ? f1

在地上看 B 反射频率 f3 ? f 2

在 A 上看 B 反射频率 f 4 ? f3 计算得到 f 4 ? 36 f0 (6 分)

利用其它做法得到正确答案给全分。

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