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2014届高三数学辅导精讲精练19


2014 届高三数学辅导精讲精练 19
1.下列值等于 1 的积分是 A.?1xdx ?0 C.?11dx ?0 答案 C
6 0

( B.?1(x+1)dx ?0 1 D.?12dx ?0

)

2.已知 f(x)为偶函数且? f(x)dx=8,则 ? A.0 C.8 答案 解析 D 原式= -6f(x)dx+? f(x)dx, ?
0 6

f(x)dx 等于

(

)

B.4 D.16

∵原函数为偶函数, ∴在 y 轴两侧的图像对称. ∴对应的面积相等.8×2=16,故选 D. 3.设集合 P={x|?x (3t2-10t+6)dt=0,x>0},则集合 P 的非空子集个数是 ?0 ( A.2 C.7 答案 解析 B ? 依题意得?x (3t2-10t+6)dt=(t3-5t2+6t)? = ?0 ?0
x

)

B.3 D.8

x3-5x2+6x=0,由此解得 x=0 或 x=2 或 x=3. 又 x>0,因此集合 P={2,3},集合 P 的非空子集的个数是 22-1=3,选 B. 4.函数 f(x)=x2+2x+m(x,m∈R)的最小值为-1,则
2 ? f(x)dx 等于 ?1

( 16 B. 3

)

A.2

C.6 答案 解析 B

D.7

f(x)=(x+1)2+m-1,∵f(x)的最小值为-1,

∴m-1=-1,即 m=0,∴f(x)=x2+2x. 1 3 2? 1 16 3 2 1 ? f(x)dx=? (x +2x)dx=(3x +x )? =3×2 +2 -3-1= 3 . ?1 ?1 ?1
2 2 2 2

5.(2013· 朝阳区)下列命题: p:函数 f(x)=sin4x-cos4x 的最小正周期是 π; q:已知向量 a=(λ,1),b=(-1,λ2),c=(-1,1),则(a+b)∥c 的充要条件 是 λ=-1; 1 r:若?axdx=1(a>1),则 a=e. ?1 其中所有的真命题是 A.r C.q,r 答案 解析 D p:sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x) B.p,q D.p,r ( )

=-(cos2x-sin2x)=-cos2x, 2π ∴T= 2 =π.故 p 对; q:a+b=(λ-1,λ2+1),(a+b)∥c?(λ-1)· 1-(λ2+1)· (-1)=0,即 λ2+λ =0,∴λ=0 或-1; 1 a r:? xdx=lnx ?
1

=lna-ln1=lna=1,

∴a=e,故真命题是 p,r. 6.如图,矩形 OABC 内的阴影部分是由曲线 f(x)=sinx(x∈(0,π))及直线 x =a(a∈(0,π))与 x 轴围成,向矩形 OABC 内随机投掷一点,若落在阴影部分的 1 概率为4,则 a 的值是 ( )

7π A.12 3π C. 4 答案 解析 B

2π B. 3 5π D. 6

阴影部分的面积为 S=?asinxdx=(-cosx)| a= 0 ?0

-cosa-(-cos0)=1-cosa. 1 1-cosa ∵点落在阴影部分的概率为 P=4= 6 , 1 ∴cosa=-2,又 a∈(0,π), 2π ∴a= 3 .选 B. 7.(2013· 山东淄博一模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=?3(1+ ?0 2x)dx,S20=17,则 S30 为 A.15 C.25 答案 解析 A S10=? (1+2x)dx=(x+x2) ?
0 3

( B.20 D.30

)

=12.

因为 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,所以 S10,S20-S10,S30-S20 成等差数 列,即 12,5,S30-17 成等差数列,易得 S30=15. 8.(2013· 惠州高三模拟)由曲线 y=x2 ,y=x3 围成的封闭图形的面积为 ________. 答案 解析 1 12 结合图形可知所求封闭图形的面积为

1 ? ?1 1 ? (x2-x3)dx=?3x3-4x4? ? ? ?
0

1 =12.

3π? ? 9.曲线 y=cosx?0≤x≤ 2 ?与坐标轴所围成的图形面积是 ? ? ________.

答案 解析

3 结合图形知其面积为 S= cosxdx+ = -

=1-(-1-1)=3. 10.(2013· 吉林实验中学)设函数 f(x)=ax2 +c(a≠0),若 ? f(x)dx=f(x0), ?
0 1

0≤x0≤1,则 x0 的值为________. 答案 解析 3 3 ?1 ? 1 1 ? f(x)dx=? (ax2+c)dx=?3ax3+cx? ? ? ? ?
0 0

1 =3a+c=f(x0)=

+c,



1 3 =3,x0=± 3 .

3 又∵0≤x0≤1,∴x0= 3 .
2 ?x ,x∈[0,1? ? 11.设 f(x)=?1 (e 为自然对数的底数),则 ?x ,x∈[1,e] ? e ? f(x)dx 的值为________. ?0

答案 解析

4 3
e 1 2 e1 ? f(x)dx=? x dx+? xdx ?0 ?0 ?1

1 =3x3

1 4 =3+lne=3.

12.(2013· 山东临沂一模)函数 f(x)=x3-x2+x+1 在点(1,2)处的切线与函数 g(x)=x2 围成的图形的面积等于________. 答案 解析 4 3 函数的导数为 f′(x)=3x2-2x+1,所以 f′(1)=3-2+1=2,即切

2 ?y=x , ? (2,2), 线方程为 y-2=2(x-1), 整理得 y=2x.由?y=2x, 解得交点坐标为(0,0),

? 2 1 3? 2 所以切线与函数 g(x)=x2 围成的图形的面积为? (2x-x2)dx=?x -3x ? ? ? ?
1

=4-

8 4 3=3. 13.f(x)= 3+2x-x2,则?3f(x)dx 为________. ?1 答案 解析 π 由 y= 3+2x-x2= 4-?x-1?2,(x-1)2+y2=4,(y≥0)

1 1 ∴?3 3+2x-x2dx 是圆面积的4,∴等于4· 22=π. π· ?1 14.已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图像如图所示,它与 x 轴在 1 原点处相切,且 x 轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为12,则 a 的值 为______.

答案 解析

-1 f′(x)=-3x2+2ax+b,∵f′(0)=0,∴b=0.

∴f(x)=-x3+ax2,令 f(x)=0,得 x=0 或 x=a(a<0). 1 1 S 阴影=-?0(-x3+ax2)dx=12a4=12,∴a=-1. ?a 15.平面直角坐标系中,动点 P 到直线 x=-2 的距离比它到点 F(1,0)的距

离大 1,设动点 P 的轨迹是曲线 C,则曲线 C 与直线 x=4 所围成的区域的面积 S=________. 答案 解析 64 3 依题意可知动点 P 到直线 x=-1 的距离与它到点 F(1,0)的距离相等,

即曲线 C 是以 F(1,0)为焦点,直线 x=-1 为准线的抛物线,其方程为 y2=4x, 64 即 y=± x,故 S=2?4(2 x)dx= 3 . 2 ?0 16.求由抛物线 y2=x-1 与其在点(2,1),(2,-1)处的切线所围成的面积. 答案 解析 2 3 1 1 y=± x-1.y′x=± (x-1)-2. 2 1 1 1 =2(2-1)-2=2,

∵过点(2,1)的直线斜率为

1 1 ∴直线方程为 y-1=2(x-2),即 y=2x.同理,过点(2,-1)的直线方程为 y 1 =-2x,抛物线顶点在(1,0).如图所示,

由抛物线 y2=x-1 与 2 条切线 1 1 y=2x,y=-2x 围成的面积为 1 2 3 2 4 2 | S=S△AOB-2?2 x-1dx=2· 2-2·· 2· 3 (x-1)2 1=2-3(1-0)=3. ?1


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