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2008年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学理科 WORD 版


试卷类型:A

2008 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)





(理科)
2008.4

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答 的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再将答案填写在对应题号的横 线上。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

参考公式:
0 1 2 n 2n ? Cn ? Cn ? Cn ???? ? Cn (n ? N*)

球的表面积公式为 S ? 4? R ,其中 R 为球的半径.
2

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
1.已知集合 M 满足 M ? {1, 2} ? {1, 2,3} ,则集合 M 的个数是

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

2.函数 y ? sin( x ?

?
2

)是
B.周期为 2 ? 的奇函数 D.周期为 ? 的奇函数

A.周期为 2 ? 的偶函数 C.周期为 ? 的偶函数

3.已知点 A(1,-2), B(m,, 2) ,若线段 AB 的垂直平分线方程是 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则实数 m 的值是

A. -2

B.-7

C. 3

D. 1

4.己知二次函数 f ( x ) 的图象如图 1 所示,则其导函数 f '( x) 的图象大致形状是 数学试题 A (理科) 第 1 页(共 12 页)

y

y

y

-1 O x O x O

1 x

A.
y y

B.

图 1

O

x

O

x

C.

D.

5.设 a ? 20.3 , b ? 0.32 , c ? log x ( x2 ? 0.3)( x ? 1) ,则 a,b,c 的大小关系是

A.a<b<c

B.b<a<c

C.c<b<a
2

D.b<c<a

2 6.已知命题 p: a ? 0(a ? R) ,命题 q:函数 f ( x ) = x ? x 在区间[0,+ ? )上单调递增,则下列命题中为真命题

的是

A.p ? q

B. p ? q

C. (?p) ? (?q)

D. (?p) ? q

7.某班星期二的课表有 6 节课,其中上午 4 节,下午 2 节,要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理各 1 节,要求上午第一节课不排体育,数学必须排在上午,则不同排法种数共有

A.600 种

B.480 种

C.408 种

D.384 种

8.甲、乙两位同学玩游戏,对于给定的实数 a1 ,按下列方法操作一次产生一个新的实数: 由甲、乙同时各掷一 枚均匀的硬币,如果出现两个正面朝上或两个反面朝上,则把 a1 乘以 2 后再减去 12;如果出现一个正面朝上, 一个反面朝上,则把 a1 除以 2 后再加上 12,这样就可得到一个新的实数 a2 .对实数 a2 仍按上述方法进行一 次操作,又得到一个新的实数 a3 .当 a3 ? a1 时,甲获胜,否则乙获胜.若甲获胜的概率为 范围是

3 ,则 a1 的取值 4

A. ? ,12] (-

B.[ 24, + ? )

C. (12,24)

D. ? ,12] ? [24,+ ? ) (-

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题分必做题和选做题两部分.
数学试题 A (理科) 第 2 页(共 12 页)

(一)必做题:第 9、10、11、12 题是必做题,每道试题考生都必须做答.
9. 函数 y ? lg(1 ? x2 ) 的定义域是_________.

10.在复平面内,复数 1+i 与-1+3i 分别对应向量 OA 与 OB ,其中 O 为坐标原点,则 | AB | =_________. 11.在一次数学测试(满分为 150 分)中,某地区 10000 名考生的分数 X 服从正态分布 N (100,152 ) ,据统计, 分数在 110 分以上的考生共 2514 人,则分数在 90 分以上的考生共________人. 12.已知 a 为正常数,定义运算“○” × ,如下:对任意 m,n ? N*,若 m×n=a,则(m+1) ○n=2a,m○(n+1) ○ × × =a+1.当 1○1=1 时,则 1○10=______,5○10=________. × × ×

??? ?

??? ?

??? ?

(二)选做题:第 13、14、15 题是选做题,考生只能选做二题,三题全答的,只计算前两题的得分.
13. (坐标系与参数方程)已知圆 C 的参数方程为 ? 的最远距离是_________. 14. (不等式选讲)不等式 x ? x ?1 ? 2 的解集是__________. 15. (几何证明选讲)如图 2 所示,圆内接 ? ABC 的 ? C 的平分线 CD 延长后交圆于点 E,连接 BE,己知 BD=3,CE=7,BC=5,则线段 D

? x ? cos ? ? 1 ( ? 为参数) ,则点 P (4, 4) 与圆 C 上的点 y ? sin ? ?
E A

BE=__________.
B 图 2 C

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知点 A(1, 0) , B(0,1) , C (2sin ? , cos ? ) . (1)若 | AC |?| BC | ,求 tan ? 的值; (2)若 (OA ? 2OB) ? OC ? 1 ,其中 O 为坐标原点,求 sin2 ? 的值. P

??? ?
??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

17. (本小题满分 14 分) 如图 3 所示,在三棱锥 P-ABC 中,PA ? 平面 ABC,AB=BC=CA=2, M 为 AB 的中点,四点 P、A、M、C 都在球 O 的球面上. (1)证明:平面 PAB ? 平面 PCM; (2)证明:线段 PC 的中点为球 O 的球心; (3)若球 O 的表面积为 20? ,求二面角 A-PB-C 的平面角的余弦值. A M B 图 3 数学试题 A (理科) 第 3 页(共 12 页) C

18. (本小题满分 12 分)

某工厂生产甲、乙两种产品,每生产一吨产品所消耗的电能和煤、所需工人人数以及所得产值如下表所示: 品种 甲 乙 电能(千度) 2 8 煤(吨) 3 5 工人人数(人) 5 2 产值(万元) 7 10

已知该工厂的工人人数最多是 200 人,根据限额,该工厂每天消耗电能不得超过 160 千度,消耗煤不得超过 150 吨,问怎样安排甲、乙两种产品的生产数量,才能使每天所得的产值最大.

19. 〔本小题满分 14 分) (1)椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)与 x 轴交于 A、B 两点,点 P 是椭圆 C 上异于 A、B 的任意一点,直 a 2 b2

线 PA、 PB 分别与 y 轴交于点 M、N,求证: AN ? BM 为定值 b ? a .
2 2

???? ???? ?

(2)由(1)类比可得如下真命题:双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)与 x 轴交于 A、B 两点,点 P 是 a 2 b2

双曲线 C 上异于 A、 的任意一点, B 直线 PA、 分别与 y 轴交于点 M、 , PB N 求证:AN ? BM 为定值. 请 写出这个定值(不要求给出解题过程) .

???? ???? ?

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = ln x ? a x ? ax (a ? R) .
2 2

(1)当 a ? 1 时,证明函数 f ( x ) 只有一个零点; (2)若函数 f ( x ) 在区间(1,+ ? )上是减函数,求实数 a 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知数列{an}满足 a1=1, an ?1 ? (1)求 a2 , a3 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)求证:

an 2 (n ? N*) . 2an ? 1

?1? a
i ?1

n

ai

i

7 ? . 8

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