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应用椭圆的第二定义速解一道高考题和一道联赛题(宋书华)


? 40?                中学数学月刊           2006 年第 12 期 则 a n, b n, cn 成等差数列( 公差不为 0) 的充要 1 1 条 件 是 , , n n n n b + c c + a 1 成等差数列. n a + bn 证明   由 a, b, c ∈ ( 0, + ∞) , n ∈ N* , 若 an , bn , cn 成

等差数列, 则 bn - a n = cn - b n, ? 1 1 所以 n c + bn + an cn =
( b - a c
n n n

+

a )(

n

b

n

+

c )(

n

a

n

+

b )

n

, ?

定理 4  设 a, b, c∈ ( 0, + ∞) , n ∈ N * , 1 则 a n, b n, cn 成等比数列的充要条件是 n n , bc 1 1 , 成等比数列. n n n n ca ab 定理 3, 4 的证明略. 教科书是教师进行教学的主要依据, 教 科 书中的课堂练习、 例题、 习题、 复习参考题 的 选编一般都具有科学性、 代表性、 典型性. 只有教师在教学过程中不断地挖掘每一个问 题, 创造性地去理解、 研究每一个问题, 才能 体 现新教材的意义, 才能真正达到创新和提 高教育教学质量的目的.

1 n a + =
( a
n

b
b )(
n

n

n n

1 n c +
c - b
n

a

n

+

c

+

a )(

n

c

n

+

b )

n

. ?

应用椭圆的第二定义速解一道 高考题和一道联赛题
宋书华 ( 江苏省前黄高级中学 213161) x2 y2 = 1( a > b > 0) 的左右 2 + a b2 焦点分别为 F 1, F 2, 点 P ( x 0 , y 0) 是椭圆上的 任意一点, 且椭圆的离心率为 e, 则有 ?PF 1? = a + ex 0 , ?PF 2? = a - ex 0( * ) , ( * ) 式可 由 椭圆的第二定义很快证到, 通常称之为椭 圆的焦半径公式. 下面应用椭圆的第二定义处理一道高考 题和一道联赛题. 例 1 ( 2006 年四 川 高考题) 如图 1, 把 2 2 椭圆 x + y = 1 的长 25 16 轴 A B 分成 8 等份, 过 图1 每个分点作 x 轴的 垂 线交椭圆的上半部于 P 1, P 2, P 3, P 4 , P 5 , P 6, 设椭圆
7

由 ? , ? ,? , 1 bn + 1 cn + cn an , 1 n b + =



1 cn + an 1 an + bn

-

所 以 1 a +
n

c

n

,

1 n c +

a

n

,

bn

成等差数列. 1 b +
n

1 , c c + an 1 2 成 等差 数 列, 则 n n n a + b c + an 1 1 = + , n n n b + c a + bn 所以 2( bn + cn ) ( a n + bn ) = 反 之, 若
n

,

n

(

cn +
n n

an ) (
n

an +

bn ) + (

cn +

a )( b + c ). 去括号, 化简即得 2b n = an + cn , 所以 a n, b n, c n 成等差数列. 将定理 1 中的等差数列换成等比数列, 相仿的, 我们还可以得到 定理 3  设a, b, c∈ ( 0, + ∞) , 则 a2 , b2 , 2 1 1 1 c 成等比数列的充要条件是 bc , ca , ab 成等比 数列.

P 7 7 个点, F 是椭圆的一个焦点, 求∑?P i F?
i= 1

的值. 解   设点 P i ( i = 1, 2, …, 7) 的横坐标 为 x i ( i = 1, 2, …, 7) , 由图形 的对称性易知 x 1 + x 7 = x 2 + x 6 = x 3 + x 5 = x 4 = 0, 根据
7 7

焦半径公式有∑?P i F? =
i= 1 7

∑( a +
i= 1

ex i ) =

7a + e ∑x i = 7a = 35.
i= 1

2006 年第 12 期             中学数学月刊               ?41? x y 推广 1  把椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) a b 的长轴 A B 分成 2n 等份, 过每个分点作 x 轴 的垂 线交 椭圆的 上半 部于 P 1, P 2, …, P 2n- 1 共 2n - 1 个点, F 是 椭圆 的 一个 焦 点, 则
2n- 1 2 2

∑?P F? =
i i= 1

( 2n - 1) a. x2 a2

变式 1  设点 P 1, P 2 , …, P 2n- 1 把椭圆

1 1 c + = 2 ( 2 + ecos H + e ? j dj dk b 2c co s H ) = 2 ( j = 1, 2, …, 12 且 k - j = 12) . k b 24 1 1 1 1 故 S = ∑ d i = ( d 1 + d 13) + ( d 2 + i= 1 1 1 1 24c ) + …+ ( + ) = 2 . d 14 d 12 d 24 b 所以 又 a = 3, b = 2, c = 6
2

5 , 所以 S =

y2 + 2 = 1( a > b > 0) 的上半部分成 2n 等份, b
2n- 1

则 ∑?P i F ?= ( 2n - 1) a.
i= 1

证明   不 妨设点 F , F′ 分别为椭 圆的 左、 右焦点, 根据图象的对称性可知 ?P i F ?= ?P k F′ j + k = 2n) . ?(
2n- 1

因为 2∑?P i F ?= ( ?P 1F?+ ?P 2n- 1F ?)
i= 1

+ ( ?P 2 F? + ?P 2n- 2F?) + … + ( ?P 2n- 1 F? + ?P 1F ?) = ( ?P 1F? + ?P 1F ′ + ( ?P 2 F? + ?) ?P 2F ′ + … + ( ?P 2n- 1F ?+ ?P 2n- 1F ′ = ?) ?) 2( 2n - 1) a,
2n- 1

5 , 故 S = 180. x2 y2 推广 2  椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的 a b 右焦点为 F , P 1, P 2, …, P 2n 为 2n 个依逆时针 顺 序排 列在椭 圆上的 点, 并 且 ∠P 1 FP 2 = ∠P 2F P 3 = ∠P 3 FP 4 = … = ∠P 2n FP 1. 若这 2n 个点到右准线的距离的倒数和为 S, 则 S 2nc = 2 . b

一道赛题错解的原由
张 俊 ( 江苏省兴化市昭阳中学 225700)

所以∑?P i F? = ( 2n - 1) a.
i= 1

例 2 ( 2006 年全 x2 国 联赛题) 椭圆 + 9 y2 = 1 的右焦点为 F , 4 P 1, P 1, …, P 24 为 24 个 图2 依逆时 针顺序排列 在 椭 圆上的点, 其中 P 1 是椭圆的右顶点, 并且 ∠P 1F P 2 = ∠P 2F P 3 = ∠P 3F P 4 = … = ∠P 24F P 1 . 若这 24 个点到右准线的距离的倒 数和为 S , 求 S 2 的值. 解   设 FP i 与 x 轴正向的夹角为 H, d i i 为点 P i 到右准线的距离, 则 d i + ?P i F ?co s H i a2 b2 = - c= . c c 根据椭圆的第二定义得 d i + d i ecos H = i 2 b 1 c , 故 = 2 ( 1 + ecos H) . i c di b 因为 ∠P 1F P 2 = ∠P 2FP 3 = ∠P 3 FP 4 = … = ∠P 24FP 1, 所以 H + H = P j = 1, 2, j k ( …, 12 且 k - j = 12) ,

2005 年全国高中数学联 赛加试第二大 题为: 设正数 a, b, c, x , y , z 满足 cy + bz = a, az + cx = b, bx + ay = c. 求函数 f ( x , y , z ) 2 2 2 y z x + + 的最小值. = 1+ y 1+ z 1+ x 杨长根老师在文[ 1] 中给出了这个问题 的 简解, 经笔者仔细推敲, 发现该法有误. 本 文指明错解的原因. 杨老师是在a ≤ b ≤c, x ≤ y ≤ z 的假设 下完成证明的. 由于 a, b, c 与x , y , z 之间并不 独立, 在 a ≤ b ≤ c 的假设下我们不能断定 x ≤ y ≤ z . 事实上, 由 a ≤ b ≤ c 我们可推出 x ≥ y ≥ z . 下面说明理由: 由 cy + bz = a, az + cx = b, bx + ay = c, 得 acy + abz = a2 , ? 2 abz + bcx = b , ? bcx + acy = c2, ? 三式相加得: 1 2 2 2 acy + abz + bcx = 2 ( a + b + c ) . ?


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