当前位置:首页 >> 数学 >>

2高一数学衔接班第3课——因式分解学生版


姓名____________

高一衔接班 既然来了就应满载而归!

高一衔接班 ——因式分解
一、学习目标: 1、掌握因式分解的常用方法:乘法公式法(立方和及立方差公式) 、分组分解法、十字相 乘法 2、了解换元、添项拆项分解因式的方法。 3、能够灵活运用上述方法进行因式分解变形。 二、学习重点: 分解因式的常见方法 三、课程精讲: 1、知识回顾: (1)a2-b2=(a+b) (a-b) ; (2)a2± 2ab+b2=(a± b)2 2、新知探秘: 如何将 8+ x 分解因式呢? 知识点一:运用乘法公式法(立方和立方差公式) a3+b3=(a+b) (a2-ab+b2) ; a3-b3=(a-b) (a2+ab+b2). 两个数的立方和 (差) , 等于这两个数的和 (差) 乘以它们的平方之和与它们积的差 (和) 。 例 1. 用立方和或立方差公式分解下列各多项式: (1) 8 ? x
3
3

(2) 0.125 ? 27b

3

点津:( 1 )在运用立方和(差)公式分解因式时,经常要逆用幂的运算法则,如

8a b ? (2ab)3 ,这里逆用了法则 (ab)n ? a n bn ;(2)在运用立方和(差)公式分解因式
3 3

时,一定要看准因式中各项的符号。 例 2. 因式分解: 3a b ? 81b
3 4

1

姓名____________ 知识点二:分组分解法

高一衔接班 既然来了就应满载而归!

从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式。而对于 四项以上的多项式,如 ma

? mb ? na ? nb

既没有公式可用,也没有公因式可以提

取。因此,可以先将多项式分组处理。这种利用分组来进行因式分解的方法叫做分组分解法 /分组分解法的关键在于如何分组。 1、分组后能提取公因式 例 3. 把 2ax ? 10ay ? 5by ? bx 分解因式。

例 4. 把 ab(c ? d ) ? (a ? b )cd 分解因式。
2 2 2 2

点津:由例 3、例 4 可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了 加法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了分配律。由此可以看出运算律在因式分解中 所起的作用。 2、分组后能直接运用公式 例 5. 把 x ? y ? ax ? ay 分解因式。
2 2

仿练:把 2 x ? 4 xy ? 2 y ? 8 z 分解因式。
2 2 2

点津:从例 5 可以看出:如果一个多项式的项分组后,各组都能直接运用公式或提取公 因式进行分解,并且各组在分解后,它们之间又能运用公式或提取公因式,那么这个多项式 就可以用分组分解法来分解因式。

2

姓名____________ 知识点三:十字相乘法 1、 x ? ( p ? q) x ? pq 型的因式分解
2

高一衔接班 既然来了就应满载而归!

x 2 ? ( p ? q ) x ? pq ? x 2 ? px ? qx ? pq ? x ( x ? p) ? q ( x ? p) ? ( x ? p)( x ? q )
例 6. 分解因式:把下列各式分解因式: (1) x ? 7 x ? 6
2

(2) x ? 13x ? 36
2

例 7. 把下列各式分解因式: (1) x ? 5x ? 24
2

(2) x ? 2 x ? 15
2

例 8. 把下列各式因式分解: (1) x ? xy ? 6 y
2 2 2 2 2

(2) ( x ? x) ? 8( x ? x) ? 12

点津:“换元”的方法是高中数学中一个常见的解题技巧,要注意体会 2、一般二次三项式 ax ? bx ? c 的分解因式
2

大家知道, (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) ? a1a2 x ? (a1c2 ? a2 c1 ) x ? c1c2 。
2

反过来,就可得到: a1a2 x ? (a1c2 ? a2 c1 ) x ? c1c2 ? (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 )
2

我们发现, 二次项系数 a 分解成 a1 a2 , 常数项 c 分解成 c1c2 , 把 a1 , a2 , c1 , c2 写成

a1 a2

c1 , ?c 2

2 这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到 a1c2 ? a2 c1 ,那么 ax ? bx ? c 就可以分解成

3

姓名____________

高一衔接班 既然来了就应满载而归!

(a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) .
这种借助画十字交叉线分解系数, 从而将二次三项式分解因式的方法, 叫做十字相乘法。 例 9. 分解因式: (1) 12 x ? 5x ? 2
2

(2) 5x ? 6xy ? 8y
2

2

图4 点津:用十字相乘法分解二次三项式很重要。当二次项系数不是 1 时较困难,具体分解 时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法“凑”,看 是否符合一次项系数,否则用加法“凑”,先“凑”绝对值,然后调整,添加正、负号。 知识点四:配方法 例 10. 分解因式:

(1) x 2 ? 6 x ? 16

(2)x 2 ? 4 xy ? 4 y 2

【直击高中】 (1)换元法 例 11. 分解因式 ( x ? 5 x ? 2)( x ? 5 x ? 4) ? 24
2 2

点津:将 x ? 5x 看作 y,分解 y ? 6 y ? 16 ,再把 y= x ? 5x 代入,即得原式的分解
2
2

2

式,这种因式分解的方法叫做换元法。 (2)拆、添项法 例 12. 分解因式 x ? 3x ? 4
3 2

4

姓名____________

高一衔接班 既然来了就应满载而归!

【同步练习】 (答题时间:45 分钟) 一、选择题: 1. 一次课堂练习, 小敏同学做了如下 4 道因式分解题, 你认为做得不够完整的一题是 ( ) A. x3-x=x(x2-1) C. x2y-xy2=xy(x-y) 2. 下列各式能分解因式的个数是( ) ①x2-3xy+9y2 ④-x2-16y2 A. 5 个 ②x2-y2-2xy ⑤-a2+9b2 B. 4 个 C. 3 个 ③-a2-b2-2ab ⑥4x2-2xy+ D. 2 个 B. x2-2xy+y2=(x-y)2 D. x2-y2=(x-y) (x+y)

1 2 y 4

3. 如果从一卷粗细均匀的电线上截取 1 米长的电线,称得它的质量为 a 克,再称得剩余 质量为 b 克,那么原来这卷电线的总长度是( )

b ?1 b a?b 米 B. ( +1)米 C. ( +1)米 a a a 1 1 4. 若 x- =7,则 x2+ 2 的值是( ) x x
A. A. 49 B. 48 C. 47 D. 51 2 2 5. 多项式 2 x ? xy ? 15 y 的一个因式为 A. 2 x ? 5 y 二、填空题 1. 将 a3-a 分解因式,结果为________. 2. 分解因式 2x2+4x+2=________________. 3. 分解因式 x2-2x-1=_____________ 4. 分解因式 4 ( x ? y ? 1) ? y( y ? 2 x) =__________ 三、解答题 1. 因式分解: 2 x 2 ? xy ? y 2 ? 4 x ? 5 y ? 6 2. 分解因式 (1) x ? 9 ? 3x ? 3x ;
3 2 5 3 2

D. (

a +1)米 b

( D. x ? 5 y



B. x ? 3 y

C. x ? 3 y

(2) 2 x ? 4 xy ? 2 y ? 8 z .
2 2 2

3. 证明:当 n 为大于 2 的整数时, n ? 5n ? 4n 能被 120 整除。
3

4. 已知 a ? b ? c ? 0 ,求证: a ? a c ? b c ? abc ? b ? 0
2 3

5

姓名____________ 【试题答案】 一、选择题 1. A 2. C 3. B 4. D

高一衔接班 既然来了就应满载而归!

5.B

二、填空题 1. a(a+1) (a-1) 3. ( x ? 1 ? 2)( x ? 1 ? 2) 三、解答题 1. 2 x ? xy ? y ? 4 x ? 5 y ? 6 = 2 x ? ( y ? 4) x ? y ? 5 y ? 6
2 2 2 2

2. 2( x ? 1)

2

4. (2 ? y)(2 x ? y ? 2) .

= 2 x ? ( y ? 4 )x ? (y ? 2 )y ( ? =3 () 2x ? y ? 2 ) x ( ? y ? .3 )
2

或 2 x ? xy ? y ? 4 x ? 5 y ? 6 = (2 x ? xy ? y ) ? (4 x ? 5 y ) ? 6
2 2 2 2

= (2 5 y? ) 6 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) . 3 2 2 2. 解 :( 1 ) x ? 9 ? 3x ? 3x = ( x ? 3x ) ? (3x ? 9) = x ( x ? 3) ? 3( x ? 3) =
3 2

=( 2 x ? y ) (x? y ) ? (4 x?

( x ? 3)( x 2 ? 3) 或 x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x = ( x3 ? 3x 2 ? 3x ? 1) ? 8 = ( x ? 1)3 ? 8 = ( x ? 1)3 ? 23
= [( x ? 1) ? 2][( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 2 ? 2 ] = ( x ? 3)( x ? 3)
2 2 2

( 2) 2x ? 4xy ? 2 y ? 8z = 2( x ? 2 xy ? y ? 4 z ) = 2[( x ? 2 xy ? y ) ? 4 z ] =
2 2 2
2 2 2 2 2 2

2 ( x ? y ? 2 z )( x ? y ? 2 z ) 。 3. 证明:因为 n ? 5n ? 4n ? (n ? 2)(n ? 1)n(n ? 1)(n ? 2)
5 3

所以当 n 为大于 2 的整数时, n ? 5n ? 4n 为 120 的倍数,所以结论成立。
5 3

4. 证明:因为 a ? a c ? b c ? abc ? b ? (a ? ab ? b )(a ? b ? c) =0,所以原式得证。
3 2 2 3 2 2

6


相关文章:
《用因式分解法求解一元二次方程》说课稿
版初中数学 九年级上册第二章第 4 节《用因式分解...本节课是在学生学习了用配方法和公式法解一元次...有利于学生衔接前后知识,形 成清晰的知识脉络,为...
14.3因式分解说课稿
14.3因式分解说课稿_数学_初中教育_教育专区。14....通过本节课的学习,不仅使学生掌握因式分解的概念和...即上面 的(2)式.我们给它起个名字,叫做因式分解,...
1《用因式分解法求解一元二次方程》说课稿
数学人教版九年 级上册第二十一章第 2第 3 ...结合我校学生实际,有 必要在课前让学生因式分解...有利于学生衔接前后知识,形成清晰的知识脉络, 为学生...
21.2.3 因式分解法-公开课-优质课(人教版教学设计精品)
21.2.3 因式分解法-公开课-优质课(人教版教学设计精品)_初三数学_数学_初中教育_教育专区。21.2.3 一、内容和内容解析 1.内容 用因式分解法解一元次方程...
因式分解法解一元二次方程公开课教案
因式分解法解一元次方程公开课教案_初二数学_数学_初中教育_教育专区。因式分解法解一元次方程备课人:张友 教学目标: 1.通过学生自学探究掌握运用因式分解法...
新人教版九年级上册数学22.2.3因式分解法优质课教学设...
新人教版九年级上册数学22.2.3因式分解法优质课教学设计完美版_语文_初中教育_教育专区。新人教版,九年级上册数学,优质课教学设计,优质课教案,完美版 ...
3.十字相乘法、求根公式法因式分解—初高中衔接课程_图文
3.十字相乘法、求根公式法因式分解—初高中衔接课程_数学_高中教育_教育专区。...因式分解的作用:化( 学生活动 教学目的 分钟 ) 简、解方程、解不等 式。 2...
(北师大版八年级数学下册第四章因式分解第三节公式法(...
(北师大版八年级数学下册第四章因式分解第三节公式法(一)说课稿_数学_初中...、说教法 1、根据《课标》的要求,结合本班学生的知识水平,本堂课采用寻找...
22.2.3因式分解法优质课教案完美版_图文
22.2.3因式分解法优质课教案完美版 - 新人教版,初中数学,优质课教案,优质课教学设计,优质课章节检测及答案,完美版
14.3.2因式分解—公式法课后反思doc
14.3.2因式分解—公式法课后反思doc_数学_初中教育_教育专区。《14.3.2 ...四、教学过程始终以学生为主体,以教师为主导。 在整堂课教学过程中,无论是...
更多相关标签: