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高中数学复习《对数与对数函数综合》人教版必修1


对数与对数函数

对数函数的性质

a>1
3

0<a<1
3 2.5 2 1.5

2.5

2

1.5

图 象

1
-1

1
<

br />1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域: 值域:

(0,+∞)

R
? y?0

性 质

过点(1,0),即当x=1时,y=0 ? y?0 x ? (0,1) x ? (0,1) ? y ? 0
x ? (1,??)
在(0,+∞)上是增

x ? (1,??) ? y ? 0 函数 在(0,+∞)上是减 函数

典例分析
题型一 对数的运算

【例1】求下列各式的值.

(1)(log4 3 ? log8 3)(log3 2 ? log9 2) ? log 1 4 32;
2

(2)已知 lg x ? lg y ? 2lg( x ? 2 y), 求 log

2

x 的值。 y

分析 关于对数运算的题目,往往需要利用对数的运算性质、对数 恒等式、换底公式等进行变形和求解。

解 原式=(1)(log 2 3 ? log 3 3)(log3 2 ? log 2 2) ? log ?1 2 ; 2 2 3 2

5 4

1 1 1 5 ? ( log 2 3 ? log 2 3)(log 3 2 ? log 3 2) ? 2 3 2 4 5 3 5 5 5 5 log 2 3 ? log 3 2 ? ? ? ? = 6 2 4 4 4 2

(2)由题意可得x>0,y>0,x>2y, 又

lg x ? lg y ? 2lg(x ? 2 y )

所以 xy ? ( x ? 2 y)2即x2 -5xy+4y2 =0 x 解得x=4y(x=y舍去)。所以 =4 y x 所以 log 2 =log 2 4=4

y

学后反思 (1)熟练掌握对数的运算性质、换底公式、对

数恒等式是进行化简、求值的关键,应用时务必要创造出
适合公式或性质应用的条件; (2)解问题(2)时要注意隐含在题目中的条件:x>2y>0,

x 否则将导致 y

的值出错。对数问题首先注意真数大于零。

题型二

对数概念及运算性质的综合应用

【例2】若a,b,c是均不为零的实数,且. 26a ? 33b ? 62c

1 2 3 求证: ? ? a b c
分析 本题应利用对数与指数式的互化,将问题转化为对 数的运算.

证明 设 26a ? 33b ? 62c ? k ? k ? 0, 且k ? 1? ,

?log2 k ? 6a,log3 k ? 3b,log6 k ? 2c
1 6 1 3 ? ? ? 6log k 2, ? ? 3log k 3 a log 2 k b log3 k 1 2 ? ? 2log k 6 c log 6 k

1 2 3 ? ? ? 6log k 2 ? 6log k 3 ? 6log k 6 ? 3?2log k 6 ? , a b c 1 2 3 即 ? ? a b c

学后反思 本题主要考查了两点:
b (1)应用对数概念进行指数式与对数式的互化 a ? N ? b ? loga N

1 (2)换底公式的应用: loga N ? (a>0,a≠1,N>0,N≠1). logN a

举一反三
2. 设x,y,z∈R+,且3x

? 4 y ? 6z .

(1)比较3x,4y,6z的大小;
1 1 1 ? - . (2)求证: 2y z x

解析: (1)令 3x

? 4 y ? 6z ? k

,则k>1,

? x ? log3k, y ? log4k, z ? log6k ,

?3x ? 4y ? 3log3k ? 4log4k

3 4 ? logk 3 logk 4 3logk 4 - 4logk 3 logk 43 - logk 34 ? ? logk 3 ? logk 4 logk 3 ? logk 4
∵k>1, logk 43 ? logk 34 ,∴3x-4y<0.同理4y-6z<0. ? ∴3x<4y<6z.

1 1 1 ? log k 3, ? log k 4, (2)证明:由(1)得 ? log k 6, z x y

1 1 ? - ? log k 6-log k 3 ? log k 2. z x 1 1 1 1 1 而 ? log k 4 ? log k 2, ? ? 2y 2 2y z x

题型三

对数函数的图象与性质

【例3】方程lg x ? lg(4 ? x) ? lg (a ? 2 x) 的实数解 的个数为. 分析 先将方程变形,在同一坐标系中分别画出函数

y ? ? x2 ? 2x 与的图像,然后观察交点的个数,交点
个数即为方程的个数。 x?0 4? x ? 0 得 0? x ? 4 解 由 { a ? 2x ? 0 a ? 2x ? 0

?

由0<x<4 .得-x>-4.



-2x>-8, ∴a>-8

由 lg x ? lg(4 ? x) ? lg (a ? 2x)得 ? x2 ? 2x ? a 设 y= ? x2 ? 2x ? ?( x ?1)2 ? 1(0 ? x ? 4)

y=a (a>-8) 由图像可知:

当a>1时,方程有两个不等的实根,
当-8<a≤0或a=1时,方程有一个实根.

举一反三
3. 方程 log2 ? x ? 4? ? 3x 的实根的个数为_______. 解析 在同一坐标系中作出函数 y=log2 ? x ? 4? 与

y ? 3x 的图象,如图所示.观察可知共有两个不同交点.
答案: 2

【例4】 设0<x<1,a>0,a≠1,比较 log a ?1 ? x ? 与 log a ?1 ? x ? 的大小. 分析 本题有作差法与作商法两种思路:(1)若m-n>0,则

m>n;(2)对于m>0,n>0,若 m ? 1 ,则m>n.
n

解 :∵0<x<1,

∴1<1+x<2,0<1-x<1.

当0 ? a ? 1时, log a ?1 ? x ? ? 0, log a ?1 ? x ? ? 0, ? log a ?1 ? x ? ? log a ?1 ? x ? ? log a ?1 ? x ? ? log a ?1 ? x ? ? log a ??1 ? x ??1 ? x ? ? ? log a ?1 ? x 2 ? . ? ? ? 0 ? x ? 1,? 0 ? 1 ? x 2 ? 1, ? log a ?1 ? x 2 ? ? 0, ? log a ?1 ? x ? ? log a ?1 ? x ? .

当a ? 1时, log a ?1 ? x ? ? 0, log a ?1 ? x ? ? 0, ?| log a ?1 ? x ? ? log a ?1 ? x ? |? ?log a ?1 ? x ? ? log a ?1 ? x ? ? ?log a (1 ? x 2 ) ? 0,?| log a ?1 ? x ? ? log a ?1 ? x ? | . 综上可知,| log a ?1 ? x ? ? log a ?1 ? x ? | .

学后反思 (1)本题差比时注意讨论a>1与0<a<1两种情况, 依据对数函数单调性,合理去掉绝对值符号,然后判断函数值 与0的关系. (2)商比法注意要比较的两式均同号,作商与1比较.本题是含 有两绝对值的式子,先运用对数换底公式化简,然后去掉绝对 值符号,根据对数函数的性质比较与1的关系.

举一反三
4. 已知0<x<y<a<1,则下列式子中正确是__________.

①loga ( xy) ? 0;
③1 ? loga ( xy) ? 2;

②0 ? loga ( xy) ? 1;

④loga ( xy) ? 2

解析: 0 ? a ? 1,? y ? loga x在 (0, ?? )上是减函数 .又 0 ? x ? ?

? log a ? xy ? ? loga x ? loga y ? 2
题型四 对数函数性质的综合运用

a,? loga x ? loga a ? 1.又 0 ? y ? a,? loga y ? loga a ? 1.

【例5】(14分)已知 (1)求f(x)的定义域;

f ( x) ? loga (a ?1)(a ? 0且a ? 1)
x

(2)讨论函数f(x)的单调性. 分析 利用函数的性质,结合指数函数、对数函数知识进 行求解.

举一反三
5. (2009·南京模拟)已知函数 f(x) ? log a (a>0,且a≠1).

1? x 1- x

(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明.

(3)求使得f(x)>0成立的的取值范围

解析: (1)由题意知
域为(-1,1)。 (2)f(x)为奇函数

1? x ? 0 ,解得函数f(x)的定义 1? x

证明:因为函数的定义域关于原点对称,
且 f(-x) ? log a
1+x 1-x -1 1-x ? log a ( ) ? -log a ? -f(x) 1-x 1+x 1+x

所以f(x)为奇函数
1-x ?1 (3)当a>1时,有对数函数的单调性可知 1+x

而1<x<1,解得-1<x<0;
1-x ?1 当0<a<1时,由对数函数的单调性可知 1+x

而-1<x<1,解得0<x<1; 综上所述,当a>1时,x的取值范围为(-1,0);

当0<a<1时,x的取值范围为(0,1)

综合提高:
(1)求m的值;

1 ? mx f ( x) ? log a x ?1 已知函数

是奇函数(a>0且a≠1).

(2)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明; 3 (3)当a>1,x∈(1, )时,f(x)的值域是(1, +∞),求a的值。 解析: (1)f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x)在其定义域内恒成立 1 ? mx 1 ? mx log a ? ? log a ,?1 ? m 2 x 2 ? 1 ? x 恒成立, 即 ?x ?1 x ?1 ∴m=-1或m=1(舍去),∴m=-1

(2)由(1)得 f ( x) ? log a x ? 1 (a ? 0且a ? 1)
任取 x1 , x2 ? (1, ??)且x1 ? x2 x ?1 x ?1 ; 令 t ( x) ? x ? 1 ,则 t ( x1 ) ? 1 t ( x2 ) ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 x ?1
x ?1

x1 ? 1 x2 ? 1 2( x2 ? x1 ) ? t ( x1 ) ? t ( x2 ) ? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

? x1 ? 1, x2 ? 1, x1 ? x2 ,? x1 ?1 ? 0, x2 ?1 ? 0, x2 ? x1 ? 0
x1 ? 1 x2 ? 1 ?当a ? 1时, a log ? log a ,即f(x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 ?当0<a ? 1时, a log ? log a x1 ? 1 x2 ? 1
综上,当a>1时,f(x)在(1, +∞)上是减函数;
当0<a<1时,f(x)在(1,+∞)上是增函数。

x1 ? 1 x2 ? 1 ? t ( x1 ) ? t ( x2 ),即 ? x1 ? 1 x2 ? 1

(3)当a>1时,f(x)= log a

x ?1 在 ?1, 3 ?上为减函数,要使f(x)在 ? ? x ?1
x ?1

? 1 只需 x ? 1 ? a 在?1, 3 ? ?1, 3 ? 上值域为(1,+∞),即 loga ? ? ? ? x ?1 x ?1

恒成立 令 g ( x) ?

x ?1 2 在 ? 1? x ?1 x ?1

?1, 3 ? 上是减函数,

所以 g ( x) ? (1 ?

2 2 , ??) 此时 a ? 1 ? ? 2? 3 3 ?1 3 ?1


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