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函数的单调性上课


函数的单调性

一、函数单调性的定义

a 例1.试判断函数 f ( x) ? x ? (a>0,x>0) 的单调性. x
a y 变式:求函数 f ( x) ? x ? (a ? 0)的单调区间 x
注: 这个函数的单调性十分重要, 应用 非常广泛, 它的图象如图所示:
2 a - a o

a -2 a

x

练习:
3 求y ? x ? 的增区间是 ______ x

1、函数的单调性
设函数 f(x) 的定义域为 I : 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自 变量的值 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是增函数; 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自 变量的值 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数. 注: 函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区 间而言的. 有的函数在一些区间上是增函数, 而在另一些 区间上可能是减函数.

2、用定义证明函数单调性的步骤
1.取值: 对任意 x1, x2∈M, 且 x1<x2; 2.作差: f(x1)-f(x2); 3.判定差的正负; 4.根据判定的结果作出相应的结论.

3、复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)] 的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u) 的单调性密切相关, 其规律如下:

函数 u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)]

增 增 增

单调性 增 减 减 增 减 减

减 减 增

5 (?? , ) 2 1、求y ? x ? 5x ? 6的单调递减区间 2 _____ 5 (?? , ) x 2 ?5 x ?6 2、求y ? 3 的单调递减区间 2 _____

二、求函数的单调区间

3 ( ,2) 2 2 3、求y ? log1 (? x ? 3x ? 2)的增区间______
3

三、单调性的应用

1、若f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 5在(-?, 4]上是减函数,

a?4 则a的范围_________
2

9 ? ? a ? ?2 内单调递增,则 的范围_________ a 4

2、若函数f ( x) ? log2 ( x ? 2ax ? 5)在[-2,??)
思考: 是否存在实数a,使得f ( x) ? loga (ax ? x)
2

在[2,4]是增函数?

是否存在实数a,使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间[2,4]上是 增函数?

解题分析:假设存在实数a,分a>1, 0<a<1两种情况, 解:设g(x)=ax2-x,假设符合条件的 a 值存在. 由复合函数单调性解. 当a > 1时,为使函数y=f(x)=log (ax2-x)在闭区间[2,4]上 是增函数,只需g(x)=ax2-x在[2,4]上是增函数,故应满足 1 ? ?x ? ?2 1 ? 解得 a ? , 又 a ? 1,所以 a ? 1 2a 2 ? g (2) ? 4a ? 2 ? 0 ?
当0<a < 1时,为使函数y=f(x)=loga(ax2-x)在闭区间[2,4]上 是增函数,只需g(x)=ax2-x在[2,4]上是减函数,故应满足
a

1 ? 综上可知, 当 a∈(1,+∞)时, ? x? ?4 , 无解。 ? 2a f(x)=loga(ax2-x)在闭区间 [2,4] ? g (4) ? 16a ? 4 ? 0 ? 上是增函数.

【解题回顾】本题主要是考查复合函数的单调性, 当内外函数的增减性一致时,为增函数;当内外函 数的增减性相异时,为减函数.另外,复合函数的单 调区间一定是定义域的子区间,在解题时,要注意 这一点.


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