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2012年江苏高考文科数学试卷(含答案)


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学
(全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟)
参考公式: 棱锥的体积 V ? Sh ,其中 S 为底面积, h 为高. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........

1 3

>
2, 4} , B ? {2 , 4, 6} ,则 A ? B ? 1. (2012 年江苏省 5 分)已知集合 A ? {1,

▲ .

2. (2012 年江苏省 5 分)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽 样的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 名学生.

b ? R ,a ? bi ? 3. (2012 年江苏省 5 分) 设a,

11 ? 7i (i 为虚数单位) , 则 a ? b 的值为 ▲ . 1 ? 2i

4. (2012 年江苏省 5 分)下图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是 ▲ .

5. (2012 年江苏省 5 分)函数 f ( x) ? 1 ? 2 log6 x 的定义域为 ▲ . 6. (2012 年江苏省 5 分)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的等比数 列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 ▲ . 7. (2012 年江苏省 5 分)如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm , 则四棱锥 A ? BB1D1D 的体积为 ▲ cm3.

8( .2012 年江苏省 5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 则 m 的值为 ▲ .

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 , m m ?4

9. (2012 年江苏省 5 分)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点, 点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值是 ▲ .

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

1] 上, 10. (2012 年江苏省 5 分)设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [?1,

? 1≤ x ? 0 , ? ax ? 1, ? f ( x ) ? ? bx ? 2 b ? R .若 其中 a , , 0 ≤ x ≤ 1, ? ? x ?1
则 a ? 3b 的值为 ▲ .

?1? ?3? f ? ? ? f ? ?, ?2? ?2?

1 ?3? ? 1? 又∵ f ? ? ? f ? ? ? = ? a ? 1 , 2 ?2? ? 2?
∴ ? a ? 1=

?1? ?3? f ? ? ? f ? ?, ?2? ?2?

1 2

b?4 ②。 3

联立①②,解得, a =2. b = ? 4 。∴ a ? 3b = ? 10 。

? ?? 4 ? 11. (2012 年江苏省 5 分)设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为 ▲ . 6? 5 12 ?
【答案】

17 2。 50

【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。 【解析】∵ ? 为锐角,即 0 < ? <

?
2

,∴

?
6

<? ?

?
6

<

?
2

?

?
6

=

2? 。 3

?? 4 ?? 3 ? ? ∵ cos ? ? ? ? ? ,∴ sin ? ? ? ? ? 。 6? 5 6? 5 ? ? ?? ?? ?? 3 4 24 ? ? ? ∴ sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? =2? ? = 。 3? 6? 6? 5 5 25 ? ? ? ?? 7 ? ∴ cos ? 2? ? ? ? 。 3 ? 25 ?
∴ sin(2a ?

?
12

)=sin(2a ?

?

? ?? ? ?? ? ? ? ? )=sin ? 2a ? ? cos ? cos ? 2a ? ? sin 3 4 3? 4 3? 4 ? ?

=

24 2 7 2 17 ? ? ? = 2。 25 2 25 2 50

12. (2012 年江苏省 5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若 直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 1 为半径的圆与圆 C 有公共点, 则 k 的最大值是 ▲ . 【答案】

4 。 3

【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离 【解析】∵圆 C 的方程可化为: ? x ? 4? ? y2 ? 1 ,∴圆 C 的圆心为 (4, 0) ,半径为 1。
2

∵由题意,直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点 A( x0 , kx0 ? 2) ,以该点为圆心,1 为半径 的圆与圆 C 有 公共点; ∴存在 x0 ? R ,使得 AC ? 1 ? 1 成立,即 ACmin ? 2 。 ∵ ACmin 即 为 点 C 到 直线 y ? kx ? 2 的距离

4k ? 2 k 2 ?1

,∴

4k ? 2 k 2 ?1

? 2 ,解得

0?k ?

4 。 3
∴ k 的最大值是

4 。 3

? ?) ,若关于 b ? R) 的值域为 [0 , 13. (2012 年江苏省 5 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b (a ,

x 的不等式

f ( x) ? c 的解集为 (m , m ? 6) ,则实数 c 的值为 ▲ .
【答案】9。 【考点】函数的值域,不等式的解集。

? ?) ,当 x 2 ? ax ? b =0 时有 V? a 2 ? 4b ? 0 ,即 b ? 【解析】由值域为 [0 ,

a2 , 4

∴ f ( x) ? x 2 ? ax ? b ? x 2 ? ax ?
2

a2 ? a? ??x? ? 。 4 ? 2?

2

a? a a a ? ∴ f ( x) ? ? x ? ? ? c 解得 ? c ? x ? ? c , ? c ? ? x ? c ? 。 2? 2 2 2 ?
m ? 6) ,∴ ( c ? ) ? (? c ? ) ? 2 c ? 6 ,解得 ∵不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m ,
c?9。

a 2

a 2

c ln b ≥ a ? c ln c ,则 b, c 满足:5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , 14. (2012 年江苏省 5 分) 已知正数 a ,
的取值范围是 ▲ . 【答案】 ? e, 7? 。 【考点】可行域。

b a

c ln b ≥a ?c lnc 可化为: 【解析】条件 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a ,

? a b ?3 ? ? ? 5 ? c c ?a b ? ? ?4 。 ?c c a ?b ? ? ec ?c


a b =x,y = ,则题目转化为: c c

?3 x ? y ? 5 ?x ? y ? 4 y ? 已知 x ,求 的取值范围。 ,y 满足 ? x x ?y ? e ? x > 0,y > 0 ?
作出( x 。求出 y =e x 的切 ,y )所在平面区域(如图) 线的斜率 e ,设过切点 P ? x0,y0 ? 的切线为 y =ex ? m ? m ? 0? ,



y0 ex0 ? m m = =e ? ,要使它最小,须 m =0 。 x0 x0 x0



y 的最小值在 P ? x0,y0 ? 处,为 e 。此时,点 P ? x0,y0 ? 在 y =e x 上 A, B 之间。 x

? y =4 ? x ?5 y =20 ? 5 x y 当( x ?? ? y =7 x ? =7 , ,y )对应点 C 时, ? x ? y =5 ? 3x ?4 y =20 ? 12 x
∴ ∴

y 的最大值在 C 处,为 7。 x
b y 的取值范围为 ? e, 7 ? ,即 的取值范围是 ? e, 7? 。 a x

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或 演算步骤. 15. (2012 年江苏省 14 分)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ;

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

5 ,求 A 的值. 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【 答 案 】 解 :( 1 ) ∵ AB ? AC ? 3BA? BC , ∴ AB ?AC ?cos A=3BA?BC ?cos B , 即
(2)若 cos C ?
AC ?c o s A = 3 B?C c o B s 。

AC BC cos B 。 ,∴ sin B?cos A=3sin A? = sin B sin A sin B sin A 又 ∵ 0 < A ? B < ? , ∴ cos A > 0,cos B > 0 。 ∴ 即 =3? cos B cos A
由正弦定理,得
tan B ? 3tan A 。

? 5? 5 2 5 , 0 <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? = (2)∵ cos C ? 。∴ tan C ? 2 。 ? ? ? 5 5 ? 5 ?

2

tan A ? tan B ? ?2 。 1 ? tan A?tan B 1 4tan A 由 (1) ,得 ? ?2 ,解得 tan A=1 , tan A= ? 。 2 3 1 ? 3tan A
∴ tan ? ?? ? ? A ? B ?? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 。∴ ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 。∴ A=

?
4



【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。 【解析】 (1)先将 AB ? AC ? 3BA? BC 表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系 式证明。

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

(2)由 cos C ?

5 ,可求 tan C ,由三角形三角关系,得到 tan ? ?? ? ? A ? B?? ? ,从 5

而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值。

E 分别是棱 16. (2012 年江苏省 14 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB 1 1 ? AC 1 1 ,D ,

F 为 B1C1 的中点. BC , CC1 上的点(点 D 不同于点 C ) ,且 AD ? DE ,
求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE .

【答案】证明: (1)∵ ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,∴ CC1 ? 平面 ABC 。 又∵ AD ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? AD 。

CC1,DE ? 平面 BCC1B1,CC1 ? DE ? E ,∴ AD ? 平 又∵ AD ? DE ,
面 BCC1 B1 。 又∵ AD ? 平面 ADE ,∴平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 。 (2)∵ A1 B1 ? A1C1 , F 为 B1C1 的中点,∴ A1 F ? B1C1 。 又∵ CC1 ? 平面 A1 B1C1 ,且 A1 F ? 平面 A1 B1C1 ,∴ CC1 ? A1 F 。

B1C1 ? 平面 BCC1 B1 , CC1 ? B1C1 ? C1 , 又∵ CC1, ∴ A1 F ? 平面 A1 B1C1 。
由(1)知, AD ? 平面 BCC1 B1 ,∴ A1 F ∥ AD 。 又∵ AD ? 平面 ADE, A1 F ? 平面 ADE ,∴直线 A1 F // 平面 ADE 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。 【解析】 (1) 要证平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 , 只要证平面 ADE 上的 AD ? 平面 BCC1 B1 即可。 它可由已知 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱和 AD ? DE 证得。 (2)要证直线 A1 F // 平面 ADE ,只要证 A1 F ∥平面 ADE 上的 AD 即可。

17. (2012 年江苏省 14 分)如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于 地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程

y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地 20

点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不 超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.

【答案】解: (1)在 y ? kx ?

1 1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 中,令 y ? 0 ,得 kx ? (1 ? k 2 ) x2 =0 。 20 20

由实际意义和题设条件知 x > 0,k > 0 。 ∴ x=

20k 20 20 = ? =10 ,当且仅当 k =1 时取等号。 2 1 1? k ?k 2 k

∴炮的最大射程是 10 千米。 (2) ∵a > 0 , ∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 , 使 ka ? 成立, 即关于 k 的方程 a 2 k 2 ? 20ak ? a 2 ? 64=0 有正根。 由 ?= ? ?20a ? ? 4a 2 a 2 ? 64 ? 0 得 a ? 6 。
2

1 (1 ? k 2 )a2 =3.2 20

?

?

此时, k =

20a ?

? ?20a ?

2

? 4a 2 ? a 2 ? 64 ?

2a 2

。 > 0 (不考虑另一根)

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 【解析】 (1)求炮的最大射程即求 y ? kx ? 基本不等式求解。

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 与 x 轴的横坐标,求出后应用 20

(2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解。 18. (2012 年江苏省 16 分)若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为 函数 y ? f ( x) 的极值点。 已知 a, b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点;

2] ,求函数 y ? h( x) 的零点个数. (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2 ,
【答案】解: (1)由 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ,得 f' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 。 ∵1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点, ∴ f' (1) ? 3 ? 2a ? b=0 , f' (?1) ? 3 ? 2a ? b=0 ,解得 a =0,b = ? 3 。 (2)∵ 由(1)得, f ( x) ? x3 ? 3x , ∴ g?( x) ? f ( x) ? 2=x3 ? 3x ? 2= ? x ?1? ? x ? 2? ,解得 x1 =x2 =1,x3 = ? 2 。
2

∵当 x < ?2 时, g ?( x) < 0 ;当 ?2 < x < 1 时, g ?( x) > 0 , ∴ x = ? 2 是 g ( x) 的极值点。 ∵当 ?2 < x < 1 或 x > 1 时, g ?( x) > 0 ,∴ x =1 不是 g ( x) 的极值点。 ∴ g ( x) 的极值点是-2。 (3)令 f ( x)=t ,则 h( x) ? f (t ) ? c 。 先讨论关于 x 的方程 f ( x)=d 根的情况: d ?? ?2, 2? 当 d =2 时,由(2 )可知, f ( x)= ? 2 的两个不同的根为 I 和一 2 ,注意 到 f ( x) 是奇函数,∴ f ( x)=2 的两个不同的根为一和 2。 当

d <2







f (?1) ? d =f (2) ? d =2 ? d > 0



f (1) ? d =f (?2) ? d = ? 2 ? d < 0 ,
∴一 2 , -1,1 ,2 都不是 f ( x)=d 的根。 由(1)知 f' ( x)=3 ? x ?1?? x ?1? 。 ① 当 x ? ? 2, ? ? ? 时 , f '( x) >0 , 于 是 f ( x) 是 单 调 增 函 数 , 从 而

f ( x) > f (2)=2 。
此时 f ( x)=d 在 ? 2, ? ?? 无实根。 ② 当 x ? ?1 , 2? 时. f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数。 又∵ f (1) ? d < 0 , f (2) ? d > 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x)=d 在(1 , 2 )内有唯一实根。 同理, f ( x)=d 在(一 2 ,一 I )内有唯一实根。 ③ 当 x ? ? ?1 , 1? 时, f' ( x) < 0 ,于是 f ( x) 是单调减两数。 又∵ f (?1) ? d > 0 , f (1) ? d < 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x)=d 在(一 1,1 )内有唯一实根。 因此,当 d =2 时, f ( x)=d 有两个不同的根 x1,x2 满足 x1 =1,x2 =2 ;当

d <2 时
f ( x)=d 有三个不同的根 x3,x1,x5 ,满足 xi < 2,i =3, 4, 5 。
现考虑函数 y ? h( x) 的零点: ( i )当 c =2 时, f (t )=c 有两个根 t1,t2 ,满足 t1 =1, t2 =2 。 而 f ( x)=t1 有三个不同的根, f ( x)=t2 有两个不同的根,故 y ? h( x) 有 5 个 零点。 ( 11 ) 当 c < 2 时 , f ( t ) =c有 三 个 不 同 的 根 t3,t4,t5 , 满 足

ti < 2,i

= 3 , 。4 ,

5

而 f ( x)=ti ? i =3, 4, 5? 有三个不同的根,故 y ? h( x) 有 9 个零点。 综上所述, 当 c =2 时, 函数 y ? h( x) 有 5 个零点; 当 c < 2 时, 函数 y ? h( x) 有 9 个零点。 【考点】函数的概念和性质,导数的应用。 【解析】 (1)求出 y ? f ( x) 的导数,根据 1 和 ?1是函数 y ? f ( x) 的两个极值点代入列方 程组求解即可。 (2)由(1)得, f ( x) ? x3 ? 3x ,求出 g ?( x) ,令 g ?( x)=0 ,求解讨论即可。

(3)比较复杂,先分 d =2 和 d < 2 讨论关于 x 的方程 f ( x)=d 根的情况;再考 虑函数 y ? h( x) 的零点。 19. (2012 年江苏省 16 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2

e) 和 ? e , 右焦点分别为 F1 (?c , 0) .已知 (1 , 0) , F2 (c ,
心率. (1)求椭圆的方程;

? ? ?

3? ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离 2 ? ?

(2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于 点 P.

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ?

【答案】解: (1)由题设知, a2 =b2 ? c2,e=

c e) 在椭圆上,得 ,由点 (1 , a


12 a2
∴ c 2 =a 2 ? 1 。

?

e2 b2

?1?

1 a2

?

c2 a 2b 2

=1 ? b 2 ? c 2 =a 2b 2 ? a 2 =a 2b 2 ? b 2 =1

由点 ? e ,

? ? ?

3? ? 在椭圆上,得 2 ? ?
2 2

? 3? ? 3? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? e c a2 ? 1 3 ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 1 4 a2 b2 a4 a4
∴椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 。 2

0) ,又∵ AF1 ∥ BF2 , (2)由(1)得 F1 (?1 , 0) , F2 (1,

∴ 设

AF1 、 BF2 的 方 程 分 别 为 my =x ? 1,my =x ? 1 ,

A? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0 。
? x12 m ? 2m 2 ? 2 ? y12 ? 1 ? ? m2 ? 2 y12 ? 2my1 ? 1=0 ? y1 = ∴? 2 。 m2 ? 2 ?my =x ? 1 ? 1 1

?

?

∴ AF1 =

? x1 ? 1? ? ? y1 ? 0?
2

2

= ? my1 ?

2

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m ? 2m2 ? 2 。① ? y = m ?1 ? ? m2 ? 2 m2 ? 2
2 1 2

同理, BF2 =

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m2 ? 2

。②

(i)由①②得, AF1 ? BF2 ?

2m m 2 ? 1 2m m 2 ? 1 6 。解 得 m 2 =2。 = 2 2 m ?2 m ?2 2

∵注意到 m > 0 ,∴ m= 2 。 ∴直线 AF1 的斜率为

1 2 = 。 m 2

( ii ) 证 明 : ∵

AF1 ∥

BF2

, ∴

PB BF2 ? PF1 AF1

, 即

BF PB ? PF 1 BF ? AF PB 2 ?1 ? 2 ?1? ? 。 PF1 AF 1 PF AF 1 1
∴ PF1 =

1

AF1 BF1 。 AF1 ? BF2 AF1 2 2 ? BF2 。 AF1 ? BF2

由点 B 在椭圆上知, BF 1= 1 ? BF2 ? 2 2 ,∴ PF

?

?

同理。 PF2 =

BF2 2 2 ? AF1 。 AF1 ? BF2

?

?

∴ PF1 +PF2 =

AF1 BF2 2 AF ?BF2 2 2 ? BF2 ? 2 2 ? AF1 ? 2 2 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 ? BF2

?

?

?

?

由①②得, AF1 ? BF =

2 2 m2 ? 1 m ?2
2

?

? , AF ?BF = m

2

?1

m ?2

2



∴ PF1 +PF2 =2 2 ?

2 3 = 2。 2 2

∴ PF1 ? PF2 是定值。 【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式。

e) 和 ? e , 【解析】 (1)根据椭圆的性质和已知 (1 ,
(2)根据已知条件 AF1 ? BF2 ?

? ? ?

3? ? 都在椭圆上列式求解。 2 ? ?

6 ,用待定系数法求解。 2 20. (2012 年江苏省 16 分)已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足:

a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

,n? N *,

(1)设 bn ?1 ? 1 ? (2)设 bn?1 ?

? bn ?? b ? , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? a an ? ?? n ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

【答案】解: (1)∵ bn ?1 ? 1 ?

bn an ? bn ,∴ an ?1 ? = an an 2 ? bn 2
2

bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2




2

?b ? bn ?1 ? 1? ? n ? an ?1 ? an ?





2 2 2 ? 2 ? ? bn ?1 ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ? N *? ? ? an?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? ?



2 ? ?? b ? ? ? ∴数列 ?? n ? ? 是以 1 为公差的等差数列。 a ? ?? n ? ? ?

(2)∵ an > 0,bn > 0 ,∴ ∴ 1 < an?1 ?

? an ? bn ?
2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? 。
2

an ? bn an 2 ? bn 2

(﹡) ? 2。

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q =1

若 q > 1, 则 a1 = (﹡)矛盾。

a2 2 < a2 ? 2 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn > 2 ,与 q a1

若 0 < q < 1, 则 a1 = 矛盾。

a2 1 > a2 > 1 , ∴当 n > log q 时, 与 (﹡) an?1 ? a1qn <1 , q a1

∴综上所述, q =1 。∴ an ? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 2 。 又∵ bn?1 ? 2 ?

bn 2 2 ∴ {bn } 是公比是 的等比数列。 = ? bn ? n ? N *? , an a1 a1 2 > 1 ,于是 b1 < b2 < b3 。 a1
即 a1 ?

若 a1 ? 2 ,则

又由 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn =

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1



∴ b1,b2,b3 中至少有两项相同,与 b1 < b2 < b3 矛盾。∴ a1 = 2 。

∴ bn =

2?

? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2。

∴ a1 =b2 = 2 。 【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。 【解析】 (1)根据题设 a n ?1 ?
2 2

a n ? bn a n ? bn
2 2

和 bn ?1

b ?b ? b ? 1 ? n ,求出 n ?1 ? 1 ? ? n ? ,从而 an ?1 an ? an ?

2

?b ? ?b ? 证明 ? n ?1 ? ? ? n ? ? 1 而得证。 ? an ?1 ? ? an ?
(2)根据基本不等式得到 1 < an?1 ? 的公比 q =1 。 从而得到 an ? a1 ? n ? N *? 的结论,再由 bn?1 ? 2 ? 数列。最后用反证法求出 a1 =b2 = 2 。

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 ,用反证法证明等比数列 {an }

bn 2 2 的等比 = ? bn 知 {bn } 是公比是 an a1 a1

]数学Ⅱ(附加题) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答. 若 ..................... 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4 - 1:几何证明选讲] (2012 年江苏省 10 分)如图, AB 是圆 O 的直径, D, E 为 圆上位于 AB 异侧的两点,连结 BD 并延长至点 C ,使 BD ? DC ,连结 AC , AE , DE . 求证: ?E ? ?C .

【答案】证明:连接 AD 。 ∵ AB 是圆 O 的直径,∴ ?ADB ? 900 (直径所对的圆周角是直角) 。 ∴ AD ? BD (垂直的定义) 。 又∵ BD ? DC ,∴ AD 是线段 BC 的中垂线(线段的中垂线定义) 。 ∴ AB ? AC (线段中垂线上的点到线段两端的距离相等) 。 ∴ ?B ? ? C (等腰三角形等边对等角的性质) 。 又∵ D, E 为圆上位于 AB 异侧的两点, ∴ ?B ? ?E (同弧所对圆周角相等) 。 ∴ ?E ? ?C (等量代换) 。 【考点】圆周角定理,线段垂直平分线的判定和性质,等腰三角形的性质。 【解析】要证 ?E ? ?C ,就得找一个中间量代换,一方面考虑到 ?B和?E 是同弧所对圆周 角,相等;另 一方面由 AB 是圆 O 的直径和 BD ? DC 可知 AD 是线段 BC 的中垂线, 从而根据线段中垂线 上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到 ?B ? ? C 。从而得证。 本题还可连接 OD ,利用三角形中位线来求证 ?B ? ? C 。

? 1 3 ? ?? 4 4 ? B. [选修 4 - 2: 矩阵与变换] (2012 年江苏省 10 分) 已知矩阵 A 的逆矩阵 A?1 ? ? ?, ? 1 ? 1? ? 2 ? 2? ?

求矩阵 A 的特征值. 【答案】解:∵ A?1 A = E ,∴ A = A?1

?

?

?1



? 1 3 ? ?? 4 4 ? ? 2 3? ?1 ?1 ?1 ∵A ?? ? ,∴ A = ? A ? ? ? ?。 ?2 1 ? ? 1 ? 1? ? 2? ? 2 ?
?? ? 2 ? 3 ? 2 ∴矩阵 A 的特征多项式为 f ? ? ? = ? =? ? 3? ? 4 。 ? ?1 ? ? ?2 ?
令 f ? ? ? =0 ,解得矩阵 A 的特征值 ?1 = ? 1 ,?2 =4 。 【考点】矩阵的运算,矩阵的特征值。 【解析】由矩阵 A 的逆矩阵,根据定义可求出矩阵 A ,从而求出矩阵 A 的特征值。 C.[选修 4 - 4:坐标系与参数方程] (2012 年江苏省 10 分)在极坐标中,已知圆 C 经过点

P

?

2,

?? 3 ? ? ,圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. 3? 2 4 ?

?

?? 3 ? 【答案】解:∵圆 C 圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交点, 3? 2 ? ?? 3 ? ∴在 ? sin ? ? ? ? ? ? 中令? =0 ,得 ? ? 1 。 3? 2 ?
∴圆 C 的圆心坐标为(1,0) 。 ∵ 圆

C







P

?
o

2,
s

? 4

?

, ∴



C









PC ?

? 2?

2

?

2

1 ? ? ? 2

1

?
4

2 。 c

= 1

∴圆 C 经过极点。∴圆 C 的极坐标方程为 ? =2cos? 。 【考点】直线和圆的极坐标方程。

?? 3 ? 【解析】 根据圆 C 圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交点求出的圆心坐标; 根据圆 C 经 3? 2 ?
过点 P

?

2,

? 求出圆 C 的半径。从而得到圆 C 的极坐标方程。 4

?

D.[选修 4 - 5:不等式选讲] (2012 年江苏省 10 分)已知实数 x,y 满足:

| x ? y |?

1 1 5 求证: | y |? . , | 2 x ? y |? , 3 6 18

【答案】证明:∵ 3| y | =| 3 y | = | 2 ? x ? y ? ? ? 2x ? y ? |? 2 x ? y ? 2x ? y , 由题设 | x ? y |?

1 1 1 1 5 5 ∴ 3| y |< ? = 。∴ | y |? 。 , | 2 x ? y |? , 3 6 3 6 6 18

【考点】绝对值不等式的基本知识。 【解析】根据绝对值不等式的性质求证。 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写 ........ 出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (2012 年江苏省 10 分)设? 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当

? ? 0; ? 的值为两条棱之间的距离; ? ?1. 两条棱相交时, 当两条棱平行时, 当两条棱异面时,
(1)求概率 P(? ? 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) . 【答案】解: (1)若两条棱相交,则交点必为正方体 8 个顶点中的一个,过任意 1 个顶点恰 有 3 条棱, ∴共有 8C32 对相交棱。 ∴ P(? ? 0)=

8C32 8 ? 3 4 ? ? 。 2 C12 66 11

(2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或 2 ,其中距离为 2 的共有 6 对, ∴

P(? ? 2)=

6 6 1 ? ? 2 C12 66 11



P(? ? 1)=1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 2)=1 ?

4 1 6 ? = 。 11 11 11

∴随机变量 ? 的分布列是:

?
P (? )

0

1

2

6 11 6 1 6? 2 ∴其数学期望 E (? )=1 ? ? 2 ? = 。 11 11 11
【考点】概率分布、数学期望等基础知识。

4 11

1 11

【解析】 (1)求出两条棱相交时相交棱的对数,即可由概率公式求得概率 P(? ? 0) 。 (2)求出两条棱平行且距离为 2 的共有 6 对,即可求出 P(? ? 2) ,从而求出

P(? ? 1) (两条棱平行且距离为 1 和两条棱异面) ,因此得到随机变量 ? 的分布列,求出其数
学期望。

2, n} , n ? N * .记 f (n) 为同时满足下列 23. (2012 年江苏省 10 分)设集合 Pn ? {1, …,
条件的集合 A 的个数: ① A ? Pn ;②若 x ? A ,则 2 x ? A ;③若 x ? C pn A ,则 2 x ? C p A 。
n

(1)求 f (4) ; (2)求 f (n) 的解析式(用 n 表示) . 【答案】解: (1)当 n =4 时,符合条件的集合 A 为: ?2?, ?1, 4?, ?2,3?, ?1,3, 4? , ∴ f (4) =4。 ( 2 )任取偶数 x ? Pn ,将 x 除以 2 ,若商仍为偶数.再除以 2 ,· · · 经过 k 次 以后.商必为奇数.此时记商为 m 。于是 x =m?2k ,其中 m 为奇数 k ? N * 。 由条件知.若 m ? A 则 x ? A ? k 为偶数;若 m ? A ,则 x ? A ? k 为 奇数。 于是 x 是否属于 A ,由 m 是否属于 A 确定。 设 Qn 是 Pn 中所有奇数的集合.因此 f (n) 等于 Qn 的子集个数。 当 n 为偶数〔 或奇数)时, Pn 中奇数的个数是

n n ?1 ( ) 。 2 2

? n 2 ?2 ? n为偶数 ? ∴ f (n)= ? n ?1 。 ?2 2 n为奇数 ? ? ?
【考点】集合的概念和运算,计数原理。 【解析】 (1)找出 n =4 时,符合条件的集合个数即可。 (2)由题设,根据计数原理进行求解。

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