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高二数学第一学期期末考试试卷理科


高二数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.抛物线 y ? 2 x 的准线方程为
2

( )

A. y ? ?

1 2

B. y ? ?
2 2

1

8

C. x ? ?

1 2

D. x ? ?

1 8

2.给出四个条件:① ac ? bc ;② 充分条件的个数为 A.0 B.1
2 2

a b ? ;③ a2 ? b2 ;④ a ? b ,其中能分别成为 a>b 的 c c
( ) C.2 D.3 ( )

3.圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 2 ? 0 对称,则 ab 的最大值为 A.1 B.

1 2

C.

1 4

D.不存在
y L O M x

4 . 如 图 , 已 知 点 M(m,n) 在 直 线 l:Ax+By+C=0(AB ≠ 0) 的 右 下 方 , 则 Am+Bn+C 的值 ( ) A.与 A 同号,与 B 同号 B.与 A 同号,与 B 异号 C.与 A 异号,与 B 异号 D.与 A 异号,与 B 同号 5.如图,在△ABC 中,∠CAB=∠CBA=30°,AC、BC 边上的高分别为 BD、AE,则以 A、B 为焦点,且过 D、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒 数和为 ( )

E

D C

3 3 2 2 6.直线 x-y-1=0 与实轴在 y 轴上的双曲线 x ? y ? m(m ? 0) 的交点
A. 3 B.1 C. 2 3 D. 在以原点为中心,边长为 2 且各边分别平行于坐标轴的正方形内部, 则 m 的取值范围为 ( ) A.0<m<1 B.m<0 C.-1<m<0 D.m<-1 7.直线 x cos ? ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角的范围是 A. [? ( )

A

B

? ?

, ] 6 6

B. [0,

?
6

]

C. [0,

?
6

] ?[

5? ? 5? , ? ) D. [ , ] 6 6 6

8.已知点 A(1,2),过点(5,-2)且斜率为 k 的直线与抛物线 y2=4x 交于 B、C 两点,那么△ ABC( ) A.是锐角三角形 B.是钝角三角形 C.是直角三角形 D.的形状与 k 值有关 9.设

F1、F2 是 双 曲 线

x2 y 2 ? ?1 的 两 个 焦 点 , 点 P 在 双 曲 线 上 , 且 4 b2
( )

?F1PF2 ? 90? ,△ F1 PF2 的面积为 1,则正数 b 的值为
A. 5 B.2 C.

5 D.1 2 2 2 10.若不等式 x ? 2 x ? a ? ? y ? 2 y 对一切实数 x,y 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. a ≥1 B. a ≤1 C. a ≥2 D. a ≤2 2 y 2 ? 1 的左、右顶点,P 是椭圆上第一象限的任一点,若∠ 11.已知 A、B 分别为椭圆 x ? 2
PAB=α,∠PBA=β,则必有 ( ) A.2tanα+cotβ=0 B.2tanα-cotβ=0 C.tanα+2cotβ=0 D.tanα-2cotβ=0
1

12.已知平面上点 P∈ {( x, y) | ( x ? 2cos ? ) ? ( y ? 2sin ? ) ? 16, ? ? R} ,则满足条件的 点 P 在平面上所形成图形的面积是 ( ) A.36π B.32π C.16π D.4π 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题中的横线上.
2 2

13.不等式 x ? 2 x ? 1 ? 2 的解集是
2



14.圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? c ? 0 与 y 轴交于 A、B 两点,圆心为 P,若 ?APB ? 90? ,则 c 的 值为 .
2 2

15.设 z ? 2 x ? y ,式中 x, y 满足约束条件 ? 是 .

? x ? y ? 0,
2 2 ? x ? y ? 1.

则 z 的最小值是

,最大值

16.已知 F1 、F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,P 是双曲线上任意一点,若 a 2 b2


| PF2 |2 的最小值为 8a,则此双曲线的离心率 e 的取值范围是 | PF1 |

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知正数 a,b 满足 a+b=1,且 n∈N*,求证: a
n ?1

? b n ?1 ?

a n ? bn . 2

18. (本小题满分 12 分) 已知 P(2,0),Q(8,0),点 M 到点 P 的距离是它到点 Q 的距离的 并求轨迹上的点到直线 l:2x-y-5 5=0 的最小距离.

1 ,求点 M 的轨迹方程, 2

19.(本小题满分 12 分) 已知过点 (?1, ?6) 的直线 l 与抛物线 y ? 4 x 交于
2

y B

9 A、B 两点,若以 P ( , 0) 为圆心的圆恰好过 A、B 点,求直 2 线 l 的方程.

l

O

P A

x

2

20.(本小题满分 12 分) 设双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 与直线 l: x ? y ? 1相交于两个不同的点 A、B. a2

(I)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; (II)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 PA ? 的值.

??? ?

? 5 ??? PB ,求 a 12

y

P O A B
21.(本小题满分 12 分) 某电器商场拟举办家电促销活动,活动前准备从厂家分批购入每台价格为 2000 元 的某品牌空调共 3600 台,每批都购入 x 台,且每批均付运费 400 元.整个活动期间所付 储存该空调的全部保管费是购买一批空调所付货款的

x

1 .现商场有专项资金 22000 元 20

准备用于支付该空调的全部运费及活动期间的全部保管费.问这笔专项资金是否够 用?如果不够用,至少还需要多少资金?

22..(本小题满分 14分) 有对称中心的曲线叫做有心曲线,显然圆、椭圆、双曲线都是有心曲线. 过有心曲线的 中心的弦叫有心曲线的直径,(为研究方便,不妨设直径所在直线的斜率存在). 定理:过圆 x ? y ? r , (r ? 0) 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个 端点连线,则两条连线的斜率之积为定值-1.
2 2 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中的推广,并加以证明; a2 b2 x2 y2 (Ⅱ)写出该定理在双曲线中 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的推广;你能从上述结论得 a b
(Ⅰ)写出该定理在椭圆 到有心圆锥曲线(包括椭圆、双曲线、圆)的一般性结论吗?请写出你的结论.

3

参考答案
一、选择题 1.B.抛物线标准方程为 x 2 ?

1 1 y ,准线方程为 y ? ? . 2 8 a?b 2 1 ) ? . 2 4

2.C.①④能分别成为 a>b 的充分条件. 3.C.由圆的对称性知圆心(-1,2)在直线上,∴-2a-2b+2=0,即 a+b=1,故 ab ? (

? A ?? B ? 0, ? 4.B.结合图形信息知, ? ,又原点 O 与点 M 在直线 L 的异侧,∴ C ?? ? 0, ? A ?
C ( Am ? Bn ? C ) ? 0 ,故 Am+Bn+C 与 B、C 异号,与 A 同号.
5.A.设 AB=2c,则 AE=BD=c,AD=BE= 3c,椭圆离心率为

2c 2 ? ,双曲线离 ( 3 ? 1)c 3 ?1

心率为

2c 2 ? ,故离心率的倒数和为 3. ( 3 ? 1)c 3 ?1

m ?1 ? ??1 ? 2 ? 1, x ? y ? 1 ? 0, ? m+1 m-1 ? 6.C.由 ? 2 得交点坐标为( , ),解不等式组 ? ,得-1<m<1. 2 2 2 ?x ? y ? m ??1 ? m ? 1 ? 1, ? ? 2
又双曲线焦点在 y 轴上,知 m<0,故-1<m<0. 7.C.设倾斜角为 θ,则 tan ? ? ?

cos ? 3 3 ? 5? ? [? , ] ,故 0 ? ? ? , 或 ?? ?? . 3 3 6 6 3

8.C.由 ?

? y 2 ? 4 x, ? y ? k ( x ? 5) ? 2,

得 ky ? 4 y ? 20k ? 8 ? 0 ,设 B(x1,y1),C(x2,y2),则
2

y ?2 y ?2 4 20k ? 8 ,记 k BA ? 1 , kCA ? 2 ,则 y1 ? y2 ? , y1 y2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 k k

16 ?16 ? y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 k ? ?1 .故 BA⊥CA. kBA ? kCA ? ? 2 2 ? 2 2 16k ? 16k x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 y1 y2 ( y1 ? y2 ) ? 2 y1 y2 ? ?1 k2 16 4 ?m ? n ? 4, ? 9.D.设 PF1=m,PF2=n,则由题设知 ?m2 ? n 2 ? 4(4 ? b 2 ), 解得 b=1. ?mn ? 2, ?
4

10.C.由 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 ? a 恒成立知, 2 ? a ? 0 ,即 a≥2.
2 2

11.D.考虑极端位置,当 P 点落在上顶点时,有 tan ? ?

2, cot ? ?

2 ,显然有 tanα2

2cotβ=0 成立. 12.B.P 点是以(2cosα,2sinα)为圆心,4 为半径的圆周上的点,而当 α 在 R 上变化时,点 (2cosα,2sinα)又是以(0,0)为圆心,2 为半径的圆周上的点,故当圆心在半径为 2 的圆周上 变化时,P 点的轨迹形成一个内圆半径为 2,外圆半径为 6 的圆环.故面积为 36π-4π=32π. 二、填空题 13.{x|―1<x<3,且 x≠1}. y 2 2 14.-3.圆的标准方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 ? c ,在等腰直角三角形 PAB 中,由 P 到 y 轴的距离为 2,知半径 r=2 2,解 5-c=8,得 c=-3. A O B x

2 15. ? , 5 .如图,作出约束条件确定的可行域,在 A 点处有最小值,在 2
B 点处有最大值. 16. (1,3] .

| PF2 |2 (2a ? | PF1 |) 2 4a 2 ? ?| PF1 | ? ? 4a ? 8a ,当|PF1|=2a 时取等号.因此 | PF1 | | PF1 | | PF1 |

c 应有 c-a≤2a,即 e= ≤3,又 e>1,故 1<e≤3. a 三、解答题

2 17.证明:∵a、b 为正数且 a+b=1,∴原不等式等价于 (an ? bn )(a ? b) ? (an ?1 ? bn ?1) . (an ? bn )(a ? b) ? 2(an?1 ? bn?1) ? anb ? abn ? an?1 ? bn?1 ? (a ? b)(bn ? an ) 当 a≥b 时,a-b≥0,an≥bn,即 bn-an≤0,∴(a-b)( bn-an)≤0, 当 a<b 时,a-b<0,an<bn,即 bn-an>0,∴(a-b)( bn-an)<0, 2 因此 (an ? bn )(a ? b)-(an ?1 ? bn?1) ≤0
即 ∴原不等式成立. 18. 解:设 M ( x, y ) ,则依条件得

(an ? bn )(a ? b) ? (an?1 ? bn?1) 2

( x ? 2) 2 ? ( y ? 0) 2 ( x ? 8) 2 ? ( y ? 0) 2
2 2 2 2

?

1 2

两边平方,整理得 x ? y ? 16 ,这就是所求的轨迹方程. 设圆: x ? y ? 16 的圆心 O 到直线 l:2x-y-5 5=0 的距离为 d,则

d?

2? 0 ? 0 ? 5 5 22 ? 1

?5

y ? k ( x ? 1) ? 6

故圆上的点到直线 l:2x-y-5 5=0 的最小距离为 d-4=1. 19. 解:由题设,直线 l 的斜率必存在且不为 0,设斜率为 k,则 l 的方程为:

5

由?

? y ? k ( x ? 1) ? 6 y2 ? 4x ?

消去 y 得 k x ? [2k (k ? 6) ? 4]x ? (k ? 6) ? 0
2 2 2 2 2 2

△ ? [2k (k ? 6) ? 4] ? 4k (k ? 6) ? 0 解得 3 ? 10 ? k ? 3 ? 10, 且 k ? 0 . 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 ) ,则 y1 ? 4 x1 , y2 ? 4 x2 , x1 ? x2 ?
2 2

4 ? 2k (k ? 6) , k2

由题意知 AP ? BP ,得 ( x1 ? ) 2 ? y12 ? ( x2 ? ) 2 ? y2 2 ,

9 2

9 2

9 9 ? ( x1 ? )2 ? ( x2 ? )2 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 0 ,即 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? 5) ? 0 , 2 2 4 ? 2k (k ? 6) ? 5, ? x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 5 ,? k2 2 2 解得 k ? 2 或 k ? ? (? ? 3 ? 10, 舍去 ) , 7 7 ?所求的直线方程为 y ? 2 x ? 4 .
(注:另可利用 AB 的中点,及垂径分弦定理求解) 20. 解:(I)由 C 与 l 相交于两个不同的点,故知方程组

? x2 2 ? 2 ? y ? 1, ?a ? x ? y ? 1. ?
有两个不同的实数解.消去 y 并整理得

(1 ? a 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? 2a 2 ? 0 ①
?1 ? a 2 ? 0 ? ?? 4 2 2 ? 4a ? 8a (1 ? a ) ? 0 ?
解得 0 ? a ?

2 且 a ?1.

双曲线的离心率 e ?

1 ? a2 1 ? ?1 , a a2

? 0 ? a ? 2 且 a≠1 ? e ?
即离心率 e 的取值范围是 (

6 且 e ? 2, 2

6 , 2) ? ( 2, ??) . 2 (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P(0,1) , ??? 5 ??? ? ? 5 5 ? PA ? PB, ? ( x1 , y1 ? 1) ? ( x2 , y2 ? 1). 由此得 x1 ? x2 . 12 12 12 ? 2a 2 ? x1 ? x2 ? ? 1 ? a 2 ? 2 由于 x1 , x2 都是方程①的根,且 1 ? a ? 0 ,? ? ? 2 ? x ? x ? ? 2a ? 1 2 1 ? a2 ? 17 5 17 ? x2 ? x2 2 , ? x2 ? 0 (舍)或 x2 ? , 12 12 5

? 17 2a 2 ? 12 x2 ? ? 1 ? a 2 ? ? 2 ? 5 x 2 ? ? 2a ?12 2 1 ? a2 ?

6

??

2a 2 289 17 由 a ? 0 ,所以 a ? . ? 2 1? a 60 13

21. 解:设该空调的全部运费及活动期间的全部保管费共 y 元,则由题意,得

y?

3600 1 3600 ? 400 ? 400 ? ? (2000 x) ? ? 100x x 20 x 3600 ? 4 ? 100( ? x) x
3600 ? 4 ?x x

? 100 ? 2
=24000.

3600 ? 4 ? x ,即 x=120 时取等号. x ∴当 x=120 时,y 最小,且 ymin ? 24000 .
当且仅当 24000-22000=2000(元) , 答:这笔专项资金不够用,至少还需要 2000 元资金. 22. 解:(Ⅰ)设直径的两个端点分别为 A、B,由椭圆的对称性可得,A、B 关于中心 O (0,0)对称,所以 A、B 点的坐标分别为 A( x1 , y1 ) ,B( ? x1 ,? y1 ) . P( x, y ) 上椭圆

x2 y2 ? ? 1 上任意一点,显然 | x |?| x1 | a2 b2

| y |?| y1 | ,

因为 A、B、P 三点都在椭圆上,所以有

而 k PA ?

y ? y1 x ? x1

k PB

x12 y12 ? ?1 b 2 x12 ? a 2 y12 ? a 2 b 2 , ① a2 b2 x2 y2 ? 2 ?1 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2 , ②. 2 a b y ? y1 y 2 ? y12 ? k PA ? k PB ? 2 , x ? x1 x ? x12

由①-②得: b 2 ( x12 ? x 2 ) ? a 2 ( y12 ? y 2 ) ? 0,

?

y 2 ? y12 b2 ?? 2. x 2 ? x12 a

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上异于直径两端点的 a2 b2 b2 任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值 ? 2 . a 2 2 x y (Ⅱ)该定理在双曲线中的推广为:过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上异于直径两端 a b b2 点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值 2 . a 2 2 该定理在有心圆锥曲线中的推广应为:过有心圆锥曲线 Ax ? By ? 1( AB ? 0) 上
所以该定理在椭圆中的推广为:过椭圆 异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值-

A . B

7


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