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高二新人教A版数学选修1-2单元测试 第3章 数系的扩充与复数的引入 Word版(附答案)


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第三章综合素质检测
时间 120 分钟,满分 150 分。

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2010· 安徽文,2)已知 i2=-1,则 i(1- 3i)=( A.

3-i C.- 3-i [答案] B [解析] 该题考查复数的四则运算 i(1- 3i)=- 3i2+i= 3+i,故选 B. -1+i 2.复数 z= +1 在复平面内所对应的点在( 1+i A.第一象限 C.第三象限 [答案] A -1+i [解析] z= +1=1+i,故复数 z 所对应的点为(1,1),在第一象限. 1+i B.第二象限 D.第四象限 ) B. 3+i D.- 3+i )

?1-i?10 的值是( 3.复数? ? ?1+i?
A.-1 C.-32 [答案] A

) B.1 D.32

1-i [解析] 本题主要考查复数的基本运算, =-i,(-i)10=-1,故选 A. 1+i 4.若 z1=(x-2)+yi 与 z2=3x+i(x、y∈R)互为共轭复数,则 z1 对应的点在( A.第一象限 C.第三象限 [答案] C
? ? ?x-2=3x, ?x=-1, [解析] 由已知得? ∴? ?y=-1, ?y=-1, ? ?

)

B.第二象限 D.第四象限

∴z1=-3-i,故选 C. 5.对于复平面,下列命题中真命题的是( )

A.虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的

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B.实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限的点的集合是一一对应的 C.实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的 D.实轴上侧的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的 [答案] D [解析] 复数的几何意义是平面内的点与复数建立一一对应关系,其中实数对(a,b)对 应复数的实部与虚部. 6.设复数 z 满足 z+| z |=2+i,那么 z 等于( 3 A.- +i 4 3 C.- -i 4 [答案] D [解析] 方法一:设 z=x+yi(x,y∈R), 则 x+yi+|x-yi|=2+i, 即 x+ x2+y2+yi=2+i, 3 B. -i 4 3 D. +i 4 )

?x+ x2+y2=2 ∴? ?y=1
把 y=1 代入 x+ x2+y2=2 中, 得 x2+1+x=2, 3 3 ∴x= ,∴z= +i. 4 4 方法二:代入法验证答案易得. 7.复数 z 满足方程|z+ 2 |=4,那么复数 z 的对应点 P 组成的图形为( 1+i )

A.以(1,-1)为圆心,4 为半径的圆 B.以(1,-1)为圆心,2 为半径的圆 C.以(-1,1)为圆心,4 为半径的圆 D.以(-1,1)为圆心,2 为半径的圆 [答案] C [解析] |z+ 2 |=|z+(1-i)| 1+i

=|z-(-1+i)|=4, 设-1+i 的对应点为 C(-1,1), 则|PC|=4,因此动点 P 的轨迹是以 C(-1,1)为圆心,4 为半径的圆. 8.若 x 是纯虚数,y 是实数,且 2x-1+i=y-(3-y)i,则 x+y 等于(
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)

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5 A.1+ i 2 5 C.1- i 2 [答案] D

5 B.-1+ i 2 5 D.-1- i 2

[解析] 设 x=it(t∈R 且 t≠0), 于是 2ti-1+i=y-(3-y)i, ∴-1+(2t+1)i=y-(3-y)i,

? ?y=-1 ?t=-2 ? ∴? ∴? ? ?2t+1=-(3-y) ?
5 ∴x+y=-1- i. 2

5

?y=-1

y 9. 已知复数(x-2)+yi(x, y∈R)在复平面内对应的向量的模为 3, 则 的最大值是( x A. 3 2 B. 3 3

)

1 C. 2 [答案] D

D. 3

[解析] 因为|(x-2)+yi|= 3,所以(x-2)2+y2=3,所以点(x,y)在以 C(2,0)为圆心, y 以 3为半径的圆上,如图,由平面几何知识知- 3≤ ≤ 3. x

1 10.设复数 z 为虚数,条件甲:z+ 是实数,条件乙:|z|=1,则( z A.甲是乙的必要非充分条件 B.甲是乙的充分非必要条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的必要条件,也不是乙的充分条件 [答案] C

)

[解析] 本题考查复数的运算和充要条件的判断.设 z=a+bi(b≠0 且 a,b∈R),则 z a b 1 1 1 b + =a+bi+ =?a+a2+b2?+?b-a2+b2?i.因为 z+ 为实数, 所以 b= 2 2.因为 b≠0, z z ? ? ? a+bi ? a +b 所以 a2+b2=1,所以|z|=1.而当|z|=1,a2+b2=1,条件甲显然成立. 11.如果复数 z 满足条件|2z+1|=|z-i|,那么在复平面内 z 对应的点的轨迹是(
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)

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A.圆 C.双曲线 [答案] A

B.椭圆 D.抛物线

[解析] 设 z=a+bi(a,b∈R),则|(2a+1)+2bi|=|a+(b-1)i|,所以(2a+1)2+4b2=a2 +(b-1)2,化简,得 3a2+3b2+4a+2b=0,此为圆的方程. 12.设 z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论正确的是( A.z 对应的点在第一象限 B.z 一定不为纯虚数 C. z 对应的点在实轴的下方 D.z 一定为实数 [答案] C [解析] ∵t2+2t+2=(t+1)2+1>0, ∴z 对应的点在实轴的上方. 又∵z 与 z 对应的点关于实轴对称. ∴C 项正确. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,将正确答案填在题中横线上) 13.(2010· 上海文,4)若复数 z=1-2i(i 为虚数单位),则 z·z +z=________. [答案] 6-2i [解析] 本题考查了复数的基本运算. ∵z·z =|z|2=5,∴原式=5+(1-2i)=6-2i. 14.已知复数 z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,则复数 z1· z2 的实部是__________ [答案] cos(α+β) [解析] z1· z2=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ) cosαcosβ-sinαsinβ+(cosαsinβ+sinαcosβ)i =cos(α+β)+sin(α+β)i 故 z1· z2 的实部为 cos(α+β). 15.实数 m 满足等式|log3m+4i|=5,则 m=________. [答案] 27 或 1 27 )

[解析] 本题考查有关复数模的运算.由|log3m+4i|=5,得(log3m)2+16=25,(log3m)2 1 =9,所以 log3m=± 3,m=27 或 m= . 27 16.设 θ∈[0,2π],当 θ=________时,z=1+sinθ+i(cosθ-sinθ)是实数.

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π 5 [答案] 或 π 4 4 [解析] 本题主要考查复数的概念. z 为实数, 则 cosθ=sinθ, 即 tanθ=1.因为 θ∈[0,2π], π 5 所以 θ= 或 π. 4 4 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)已知复数 z 满足 z z -i( 3z )=1- 3i ,求 z. [解析] 将方程两边化成 a+bi 的形式,根据复数相等的充要条件来解. 设 z=x+yi(x,y∈R),则 x2+y2-i[ 3(x+yi) ]=1-( 3i ), 即 x2+y2-3y-3xi=1+3i,
2 2 ? ?x +y -3y=1 ? 由复数相等得 ?-3x=3 ?

? ? ?x=-1 ?x=-1 解得? 或? ?y=0 ? ? ?y=3

∴z=-1 或 z=-1+3i. 18. (本题满分 12 分)已知复数 x2+x-2+(x2-3x+2)i(x∈R)是复数 4-20i 的共轭复数, 求实数 x 的值. [解析] 因为复数 4-20i 的共轭复数为 4+20i,由题意得 x2+x-2+(x2-3x+2)i=4+20i, 根据复数相等的充要条件,得
2 ? ?x +x-2=4, ① ? 2 ?x -3x+2=20. ② ?

方程①的解为 x=-3 或 x=2. 方程②的解为 x=-3 或 x=6. 所以实数 x 的值为-3. [点评] 本题主要考查共轭复数的概念和复数相等的充要条件. 19.(本题满分 12 分)已知 z=1+i, (1)求 w=z2+3 z -4 z2+az+b (2)如果 2 =1-i,求实数 a、b. z -z+1 [解析] (1)w=-1-i z2+az+b (1+i)2+a+ai+b (2) 2 = z -z+1 (1+i)2-1-i+1
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(a+b)+(a+2)i = i =(a+2)-(a+b)i ∴(a+2)-(a+b)i=1-i ∴a=-1 b=2 20.(本题满分 12 分)设 a、b 为共轭复数,且(a+b)2-3abi=4-6i,求 a 和 b. [解析] ∵a、b 为共轭复数,∴设 a=x+yi(x,y∈R) 则 b=x-yi, 由(a+b)2-3abi=4-6i,得 (2x)2-3(x2+y2)i=4-6i,
2 ? ?4x =4 ? 即 2 2 ?-3(x +y )=-6, ? 2 ? ?x =1 ∴? 2 ?y =1 ?

? 1 ?x=± ∴? ?y=± 1 ?

∴a=1+i,b=1-i;a=-1+i,b=-1-i; a=1-i,b=1+i;a=-1-i,b=-1+i. 5-5i 21.(本题满分 12 分)证明:在复数范围内,方程|z|2+(1-i) z -(1+i)z= 无解. 2+i [证明] 原方程可化简为|z|2+(1-i) z -(1+i)z=1-3i. 设 z=x+yi(x,y∈R),代入上述方程,整理得 x2+y2-2xi-2yi=1-3i,根据复数相等的充要条件,
2 2 ? ?x +y =1, ① 得? ?2x+2y=3. ② ?

将②代入①,消去 y 整理,得 8x2-12x+5=0. 因为 Δ=-16<0,所以上述方程无实数解. 所以原方程在复数范围内无解. [点评] 本题主要考查复数代数形式的运算,解决本题的关键是将复数问题转化为实数 问题来求解. 22.(本题满分 14 分)复数 z 满足|z+i|+|z-i|=2,求|z+1+i|的最大值与最小值. [解析] 在复平面内,|z+i|+|z-i|=2 表示复数 z 对应的点 Z 到点 A(0,-1),B(0,1)的 距离之和为 2,而|AB|=2,所以点 Z 的轨迹为以 A,B 为端点的线段(包括两端点).而|z+1 +i|=|z-(-1-i)|表示点 Z 到点 C(-1,-1)的距离,因而,问题的几何意义是求线段 AB 上的点到点 C 的距离的最大值与最小值,如右图.

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易知|z+1+i|max=|BC|= 5, |z+1+i|min=|AC|=1. [点评] 本题主要考查复数|z-z1|的几何意义,即|z-z1|表示复数 z 与 z1 对应的两点之间 的距离.利用数形结合法是求解本题的关键.

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