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2014年高一数学必修5考试题(15)


2014 年高一数学必修 5 考试题(15)
考试时间:120 分钟 总分:150

一、选择题:每小题有且仅有一个答案正确,请把你认为正确的答案代号填在答 题卷相应的题号下,每小题 5 分,共 50 分。 1、不等式 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集是 A

?

BR

C (1, 2)

D (??,1) ? (2, ??)

2、 2 ? 3 和 2 ? 3 的等比中项是

A 1

B ?1

C ?1

D 2

3、在等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则 a12 的值是

A 15

B 30

C

31

D 64

4. a, b ? R ,下列命题正确的是

A.若 a ? b ,则 a2 ? b2 C.若 a ?| b | ,则 a2 ? b2
5、在 ?ABC 中,若 A ? 60 , a ?
0

B.若 | a |? b ,则 a2 ? b2 D.若 a ?| b | ,则 a2 ? b2
6, b ? 2 ,则满足条件的 ?ABC

A. 有两解

B. 有一解

C. 无解

D.不能确定

6、有长为 2km 的斜坡,它的倾斜角为 600 ,现在将倾斜角改为 300 , (斜坡的高 度不变)则斜坡长为 A 1 km C
2 3 km 3

B 2km D
2 3 km

7、设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? ?11, a 4 ? a6 ? ?6, 则当 S n 取最小值 时,n 等于 A 6 B 7 C 8 D 9
a3 ? a9 ,Q ? a 5 a 7 , 2

8、已知等比数列 {a n } 的各项均为正数,公比 q ? 1 ,记 P ? 则 P 与 Q 大小关系是 A
P?Q

B P?Q

C P?Q

D 无法确定

1

? x ? y ? 10, ? 9、已知 x 和 y 是正整数,且满足约束条件 ? x ? y ? 2, 则 z=2x+3y 的最小值是 ? 2 x ? 7. ?

A 24

B

14

C

13

D 11.5

10、在等差数列 {a n } 中, a1 ? 0 , a2012 ? a2013 ? 0, a2012 ? a2013 ? 0 ,则使 S n ? 0 成立的
最大自然数 n 是 A 4025 B 4024 C 4023 D 4022

二、填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
11、在正数 10 ~ 100 之间能被 11 整除的整数的个数为_________. 12、在 ?ABC 中, B ? 45?, C ? 60?, c ? 1, 则最短边的边长等于________.

13、函数 y ? x ?

4 ? 2( x ? 3) 的最小值是________. x?3

14 、 已 知 x1 , x2 是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2 ? ax ? 2b ? 0 的 两 个 实 数 根 , 且
x1 ? (0,1), x2 ? (1, 2) .则
b?2 的取值范围是_________. a ?1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 15、 (本题满分 12 分) 已知不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A,不等式 x 2 ? x ? 6 ? 0 的解集为 B。 (1) 求 A ? B ; (2) 若不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 A ? B ,求不等式 ax 2 ? x ? b ? 0 的解集。

16、 (本题满分 12 分) 在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 2a sin B ? 3b . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 6 , b ? c ? 8 ,求△ABC 的面积.

17、 (本题满分 14 分)

2

某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万 元/次,一年的总存储费用为 4 x 万元,设一年的总运费与总存储费用之和为 y . (1)列出 y 与 x 的函数表达式; (2)问 x 为何值时, y 有最小值?并求出其最小值; (3)若该公司考虑到本公司实际情况,每次购买量都不超过 16 吨(即 x ? 16 ) ,问 x 为何值时, y 有最小值? 18、 (本题满分 14 分) 已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 (1)当 x ? R 时, f ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)当 x ? (??,1) 时, f ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围; 19、 (本题满分 14 分) 若 ?an ? 是公差 d ? 0 等差数列, {bn } 是公比 q ? 1 等比数列,已知 a1 ? b1 ? 1 ,且
a2 ? b2 , a6 ? b3 。

(1)求数列 ?an ? 和 {bn } 的通项公式;
? 1 ? (2)求数列 ? ? 的前 n 项和 S n ; ? an ? an ?1 ?

(3)是否存在常数 a, b 使得对一切 n ? N * 都有 an ? l o g a bn ? b 成立?若存在。求 出 a, b 的值,若不存在,请说明理由。

20、 (本题满分 14 分) 数列 ?an ? 首项 a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 与 an 之间满足 an ?
?1? (1)求证:数列 ? ? 是等差数列 ? Sn ? (2)求数列 ?an ? 的通项公式
2Sn 2 ( n ? 2) 2Sn ? 1

(3)设存在正数 k ,使 ?1 ? S1 ??1 ? S2 ?? ?1 ? S n ? ? k 2n ? 1 对于一切
n ? N ? 都成立,求 k 的最大值。
3

参考答案
一、DCACB,DAABB 二、11、9;12、
6 1 ;13、9;14、 ( ,1) 。 3 4

三、15、解: (1)由 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, 得:1 ? x ? 3 ? A ? {x ? 1 ? x ? 3}

…………2 分

由 x 2 ? x ? 6 ? 0, 得:3 ? x ? 2 ? B ? {x ? 3 ? x ? 2} ? A ? B ? {x ? 1 ? x ? 2}

…………4 分 …………6 分

(2)由(1)得 x 2 ? ax ? b ? 0的解集为{x ? 1 ? x ? 2}
? 1? a ? b ? 0 ?a ? ?1 ?? ,解得? ? ?4 ? 2 a ? b ? 0 ?b ? ?2

…………10 分 ……12 分

? x 2 ? ax ? b ? 0即x 2 - x - 2 ? 0的解集为R

16、解: (1)? 2a sin B ? 3b ,由正弦定理得: 2 sin a sin B ? 3 sin B ∵B 为锐角,∴sinB≠0, ? sin A ?
? A为锐角, A ? ?
3 2
…………3 分

?
3
2 2 2

…………5 分 ① ……7 分

(2)? b ? c ? 8,? (b ? c) ? 64,即b ? c ? 2bc ? 64
2 2 2 2 2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc sin A,即36 ? b ? c ? bc ② ……9 分 由①②得: bc ?

28 3

……………………10 分

? sin A ?

3 2
1 1 28 3 7 3 bc sin A ? ? ? ? 2 2 3 2 3
…………12 分

? S ?ABC ?

4

17、解: (1) y ? (2) y ?

1600 ? 4x x

------------4 分 ------------7 分

1600 1600 ? 4x ? 2 ? 4 x ? 160 x x

当且仅当 4 x ? 答:略

1600 即 x ? 20 (吨)时, y min ? 160 (万元) ----9 分 x 1600 ? 4 x( x ? 16), x1 ? x2 ? 16 ,则 x
4( x 2 ? x1 )( x1 x 2 ? 400 ) 1600 1600 ? 4 x2 ) ? ( ? 4 x1 ) ? x2 x1 x1 x 2

(3)令 f ( x) ?

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? (

Q 16 ? x2 ? x1 ,? x2 ? x1 ? 0, x1 x2 ? 0, x1 x2 ? 400 ? 0

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? f ( x1 )

即 f ( x) ?

1600 ? 4 x( x ? 16) 为减函数 x

-----------12 分 --------------14 分

?当 x ? 16 (吨)时, y min ? 164 (万元)
答:略

18、解: (1)即 x2 ? ax ? 3 ? a ? 0 对任意 x ? R 恒成立,----------1 分
?? ? a 2 ? 4(3 ? a) ? 0 ,解得 ?6 ? a ? 2

--------------5 分 --------------6 分

?a 的范围是 {a | ?6 ? a ? 2} 。

(2)即 x2 ? ax ? 3 ? a ? 0 对任意 x ? (??,1) 恒成立,--------------7 分 方法一:设 g ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ? a ,则
?? ? 0 ? a ? ? ? 0 或 ? ? ? 1 -------12 分 ? ?6 ? a ? 2或a ? ?6 ? a ? 2. ? 2 ? g (1) ? 0 ?

?a 的范围是 {a | a ? 2} 。--------------14 分
x2 ? 3 方法二:即 a ? 对任意 x ? (??,1) 恒成立,?1 ? x ? 0 1? x



x2 ? 3 4 ? (1 ? x) ? ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 2 ,当且仅当 x ? ?1 时取等号。 1? x 1? x
5

?a 的范围是 {a | a ? 2} 。
?1 ? d ? q ?d ? 3 19、解:(1)依题得 ? ----------2 分 ? ? ------3 分 2 ?q ? 4 ?1 ? 5d ? q
? an ? 3n ? 2, bn ? 4n?1

--------------5 分

(2) Q

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) -------------7 分 an an ?1 (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 Sn ? [( ? ) ? ( ? ) ? L ? ( ? )] 3 1 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 --------------10 分

1 1 1 n ? ( ? )? 3 1 3n ? 1 3n ? 1

(3)假设存在常数 a, b 满足题意。把 an ? 3n ? 2, bn ? 4n ?1 代入 an ? l o g a bn ? b 得 3n ? 2 ? log a 4n ?1 ? b --------------11 分 即 (3 ? log a 4)n ? (log a 4 ? b ? 2) ? 0 对一切 n ? N * 都成立,
?3 ? log a 4 ? 0 ?? -------------12 分 ?log a 4 ? b ? 2 ? 0
即存在常数 a ?
3

?a ? 3 4 ? ?? ?b ? 1 ?

4, b ? 1 满足题设。

-----------14 分
2Sn 2 ? S n ? S n ?1 ? 2Sn ? 1

20、解(1)因为 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1
得 Sn?1 ? Sn ? 2Sn ? Sn ?1 由题意 Sn ? 0 (n ? 2) ?

--------------3 分
1 1 ? ? 2 ? n ? 2? Sn Sn ?1

--------------4 分

又 S1 ? a1 ? 1

?1? 1 ? ? ? 是以 ? 1 为首项, 2 为公差的等差数列------5 分 S1 ? Sn ?

(2)由(1)有

1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 Sn

? Sn ?

1 ?n ? N ? ? 2n ? 1

--------------7 分
1 1 2 ? ?? 2n ? 1 2(n ? 1) ? 1 (2n ? 1)(2n ? 3)

?n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

6

又 a1 ? S1 ? 1

?1 ? ? an ? ? 2 ?? ( 2 ? 1 ) n 2 n (? ?

n? (n ? 2 ) 3)

( 1) ----------10 分

(3)设 F (n) ?

?1 ? S1 ??1 ? S2 ?? ?1 ? Sn ? 则
2n ? 1
n2 ? n ? 4 8 4 n ? 8n ? 3
2

2 F (n ? 1 ) ( 1? S n ?1 ) n ? 1 n? 2 2 ? ? ? F ( n) 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 3

4 ?1

----------------------------------------12 分
? F (n) 在 n ? N ? 上递增
又 F (n) min ? F (1) ? 故使 F (n) ? k 恒成立只需 k ? F (n) min 又k ? 0

2 3 3

? 0?k ?

2 3 3

所以 k 的最大值是

2 3 . 3

--------------14 分

7


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