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04 2014年深圳市高中数学教师命题比赛(文科)文科


2014 年深圳市高中数学教师命题比赛(文科)
本卷共 6 页,21 小题,满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 注意事项: 1、答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考老师分发的考生信息条形码是否正 确;之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生 号, 同时, 将监考老师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的条形码区,

请保持条形码整洁、 不污损. 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效. 3、非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后 再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效. 4、作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答,漏图、错涂、 多余的答案无效. 5、考生必须保持答题卡的清洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式与数据:
n ? x i yi ? nx ? y ? ? i=1 ? = ?b = n 2 2 ? x i ? nx ? ? i=1 ? ? ?a = y ? bx

? (x
i=1 n

n

i

? x)(yi ? y)
i

? (x
i=1

? x) 2

.

第 I 卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1、下列中表示同一的是 A 、 P={(7 , 6)} , Q={(6 , 7)} B 、 P={8 , 3} , Q={3 , 8} C 、 P={(x , y)|x+y=1} , Q={y|x+y=1} D 、 P={2 , 3} , Q={(2 , 3)} 2、已知复数 z=2+i,则复数

10 + z 的共轭复数为 z
D、6+3i

A、6-i B、6+i C、6-3i 3 、下列几何体各自的三视图中,只有两个视图相同的是

④圆柱体 ③球体 ②圆锥体 ①正方体 A、①② B、②③ C、③④ D、②④ 4、已知函数 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且 f(2013)=3,则 f(2014)的值是 A、-1 B、-2 C、-3 D、1

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?x ? 2 ? 5 、实数 x,y 满足条件 ? x + y ? 4 ,目标函数 z=3x+y 的最小值为 5,则该目标 ? ?2x + y + c ? 0 ?
开始 函数 z=3x+y 的最大值为 A、10 B、12 C、14 D、15 6 如图,所示的程序框图的功能是 A、求 a,b,c 三个数中的最大数 B、求 a,b,c 三个数中的最小数 C、将 a,b,c 按从小到大的顺序排列 D、将 a,b,c 按从大到小的顺序排列 7 、函数 f(x) ? 输入 a,b,c a>b? N a>c? N 输出 a 结束 Y a=b Y a=c

ax 2 ? 1 在区间(0,+∞)上单调递增, x

那么实数 a 的取值范围是 A、a≥0 B、a>0 C、a≤0 D、a<0 8、在清明节前夕,深圳市物价部门对本市五个商场销售的某件商品一天的销售量及其价格 进行调查,五个商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下表: 价格 x 销售量 y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5

通过分析,发现销售量 y 对商品的价格 x 具有线性相关关系,那么销售量 y 对商品价格 x 的回归直线方程为: A. y = ?3x +38 B. y = 3x ? 22 C. y = 3.2x ? 24 D. y = ?3.2x + 40

9 、下列星星图案构成一个数列,该数列的一个通项公式是 ★ ★ ★ ★ B、 a n ? ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ …… ★ ★ ★ ★

A、an=n2-n+1

n(n ? 1) 2

C、 a n ?

n(n ? 1) 2

D、 a n ?

n(n ? 2) 2

10、定义同时具有性质“①有对称中心,②有对称轴,③有渐近线”的函数为“最 美函数 ” . ... 则为“最 美函数 ”的函数是 . ... A、y=2-|x| B、y=|lg|x|| C、 y=x+

1 x

D、 y=

2011 ? x 2011 ? x

第二部分 非选择题(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题:第 11、12、13 题是必做题,每道试题考生都必须作答. 11、函数 y=xex 的值域是________. 12、已知向量 a ? (2 , 3) , b ? (?4 , 7) ,则向量 b 在向量 a 的方向上的投影为_______.

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13、 已知 a>b>0, e1, e2 分别是圆锥曲线

x 2 y2 x 2 y2 ? ? 1 ? ? 1 的离心率, 和 设 m=lge1+lge2, a2 b2 a2 b2

则 m 的取值范围是_______. (二)选做题:第 14、15 题是选做题,考生只能选做一题,二题全答的,只计算第 14 题的得 分. 14、(坐标系与参数方程选做题) 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴. 已知 点 P 的直角坐标为(1,-5),点 M 的极坐标为 (4, ) .若直线 l 过点 P,且倾斜角为 C 以 M 为圆心、 4 为半径. 则直线 l 的参数方程是 15、(几何证明选讲选做题) 如图,圆 O 是△ABC 的外接圆,过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D, , 圆 C 的极坐标方程是 C

? 2

π ,圆 3
.

CD = 2 7 ,AB=BC=3. 则 BD 的长______;

O

D

B A AC 的长__________. 三、解答题:共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16、(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中 a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,且满足 sinA + 3cosA = 2 . (1)求 A 的大小; (2)现给出三个条件:①a=2;②B =450;③ c = 3b ,试从中选出两个可以确定△ ABC 的条 件,写出你的所有选择并以此为依据求△ ABC 的面积.

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17、(本小题满分 12 分) 某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出 60 名学生, 将其数学成绩(成绩均为整数且满分 为 100 分)分成六段:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)后画出 如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息,回答下列问题: (1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分; (3)从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选两人,求他们不在同一分数段的概率. 频率/组距 0.03 0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分数

18、(本小题满分 14 分) 如图中的几何体中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等边三角形,AD=DE =2AB=2,F 为 CD 的中点. (1)求证:AF∥平面 BCE; (2)求证:平面 BCE⊥平面 CDE. B E

A

C

F

D

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19、(本小题满分 14 分) 已知数列{an}满足:

1 2 n 3 N*). + + ... + = (32n ? 1) (n∈ a1 a 2 an 8

(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 b n = log 3

an 1 1 1 ,求 . + + ... + n b1b 2 b 2 b3 b n b n+1

20、(本小题满分 14 分) 如图,在直角梯形 ABCD 中,∠BAD=900,AD∥BC,AB=2,AD=1.5,BC=0.5,椭圆以 A、 B 为焦点且经过点 D. (1)建立适当的直角坐标系,求椭圆的方程; 1 (2)若点 E 满足 EC ? AB ,问是否存在直线 l 与椭圆交于 M、N 两点,且|ME|=|NE|?若存 2 在,求出直线 l 与 AB 夹角 θ 的正切值的取值范围;若不存在,请说明理由. AB 夹角 θ 的正切值的取值范围;若不存在,请说明理由. D

C

A

B

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21、(本小题满分 14 分) 1 已知函数 f(x) = a(x ? ) ? 2lnx (a∈ R). x (1)求函数 f(x)的单调区间; a (2)设函数 g(x) = ? ,若至少存在一个 x0∈ [1,4],使得 f(x0)>g(x0)成立,求实数 a 的取值范 x 围.

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2014 届高考数学文科模拟试题参考答案与评分标准
一、选择题答案表:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 题 0 号 B B D C A B A D C D 答 案 1 、解:根据集合相等知,两个集合中的元素应一样:A、(7,6)和(6,7)是不同元素,故 A 不对; B、根据集合元素具有互异性,故 P=Q,故 B 正确; C、因为 P 中的元素是有序实 数对,而 Q 中的元素是实数,故 C 不对; D、因 P 中有两个元素即:2,3,而 N 有一个元 素是实数对(2,3),故不对,故选择 B. 2、解:由题意可得

10 10 10(2 ? i) +z ? ?2?i = ? 2 ? i = 2(2 ? i)+2 ? i=6 ? i , z 2?i (2 ? i)(2 ? i)

故 z 的共轭复数为:6+i,故选择 B. 3 、解:①正方形的主、左和俯视图都是正方形;②圆锥的主、左视图是三角形,俯视图是 圆;③球体的主、左和俯视图都是圆形;④圆柱的主、左视图是长方形,俯视图是圆;只有 两个视图相同的几何体是圆锥和圆柱,故选择 D. 4 、分析:利用 f(2013)=3 以及诱导公式化 f(2013)=asin(2013π+α)+bcos(2013π+β) ,求出 asinα+bcosβ=-3,然后化简整理 f(2014),即可求出结果. 解:f(2013)=asin(2013π+α)+bcos(2013π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asinα-bcosβ=3, 即 asinα+bcosβ=-3,∴f(2014)=asin(2014π+α)+bcos(2014π+β)=asinα+bcosβ=-3,故选择 C. 点评:本题是基础题,考查三角函数的化简与求值,诱导公式的应用,整体思想的应用, 必得分题目. 5 、解:画出 x,y 满足的可行域如下图:可得直线 z=3x+y 与直线 x=2 的交点使目标函数 y ?3x + y = 5 x=2 z=3x+y 取得最小值 5,故由 ? ,

?x ? 2

-x+y+c=0 B(3,1) O A x

得 A(2,-1),将 A(2,-1)的坐标代入直线-2x+y+c=0, 3x+y=0 得 c=5,故由 ?

?x + y ? 4 ,得 B(3, 1), ??2x + y + 5 ? 0

x+y=4 当直线 z=3x+y 过点 B (3, 1)时,目标函 数直线 z=3x+y 取得最大值,最大值为 10,故选择 A. 6、解:逐步分析框图中的各框语句的功能,第一个条件结构是比较 a,b 的大小,并将 a, b 中的较小值保存在变量 a 中,第二个条件结构是比较 a,c 的大小,并将 a,c 中的较小值 保存在变量 a 中,故变量 a 的值最终为 a,b,c 中的最小值, 由此程序的功能为求 a,b,c 三个数的最小数,故选择 B. 7 、解: f(x) ?

2ax 2 ? ax 2 ? 1 ax 2 ? 1 ax 2 ? 1 ? f(x) ? ,∵函数 在区间(0,+∞)上单调递增, x2 x2 x

∴当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0 恒成立. 即当 x∈(0,+∞)时,ax2+1>0 恒成立,当 a>0 时,y=ax2+1 的图象为开口向上,最低点为 (0,1)的抛物线,∴当 x∈(0,+∞)时,ax2+1>0 恒成立. 当 a=0 时,1>0 恒成立、当 a<0 时,y=ax2+1 的图象为开口向下,最高点为(0,1)的抛物线,
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∴当 x∈(0,+∞)时,ax2+1>0 不恒成立、∴实数 a 的取值范围是 a≥0,故选择 A. 8、解:由题意知, x =
n

11+10 + 8 + 6 + 5 9 + 9.5 +10 +10.5 +11 ? 8, ? 10 , y = 5 5
i i

代入公式计算, b =

?x y
i=1

? nx ? y ? nx
2

?x
i=1

n

=

2 i

99 ? 95 ? 80 ? 63 ? 11 ? 5 ?10 ? 8 ? ?3.2 , 81 ? 90.25 ? 100 ? 110.25 ? 121 ? 5 ? 100

a ? 8 ? 3.2 ?10 ? 40 ,所以销售量 y 对商品价格 x 的回归直线方程为: y = ?3.2x + 40 ,
故选择 D. 9 、解:从图中可观察构成规律, n=1 时,有 1 个;n=2 时,有 3 个; n=3 时,有 6 个; n=4 时,有 10 个;∴an=1+2+3+4+…+n ?

n(n ? 1) ,故选择 C. 2

10 、解:在 A 中,y=2-|x|有对称轴 x=0,没有对称中心,没有渐近线,故 A 不是“最美函 数”; 在 B 中,y=|lg|x||有对称轴 x=0,没有对称中心,没有渐近线,故 B 不是“最美函数”;

1 没有对称轴,有对称中心(0,0),故 C 不是“最美函数”; x 2011 ? x 4021 4021 ? ? 1 , y= 在 D 中, y= 的对称轴方程是 y=x 和 y=-x,对称中心 2010 ? x 2010 ? x x
在 C 中, y=x+ 是(0,0),渐近线是 x=0 和 y=0.

4021 的图象沿 x 轴向左平移 2010 个单位,再沿 y 轴向下平移 1 个单位,得到 x 4021 2011 ? x 4021 y= ? 1 ,∴ y= ? ? 1 的对称轴方程是 x+y-2009=0 和 x- 2010 ? x 2010 ? x 2010 ? x y=
y+2010=0, 有对称中心(-2010, -1), 有渐近线 x=-2010 和 y=-1, 故 D 是“最美函数”, 故选择 D. 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题:第 11、12、13 题是必做题,每道试题考生都必须作答. 11、解:∵函数 y=xex,∴y′=ex+xex=ex(x+1),∵ex>0,∴y′=0,解得 x=-1, 当 x>-1 时,y′>0,为增函数;当 x<-1 时,y′<0,为减函数, ∴当 x=-1 时函数有最小值 f (?1) ? ?

1 1 ,函数 y=xex 的值域是为 [? ,? ?) . e e

12、解:因为向量 a ? (2, 3) , b ? (?4, 7) ,而向量 b 在向量 a 的方向上的投影为
2 +7 2 ? 65 . | b | cos ? a, b ? , b ? (?4, 7) ,∴ | b | = ( ? 4)

b ?? 又 cos ? a,

a ?b 2 ? (?4) ? 3 ? 7 5 ? ? , 5 |a|| ? b| 22 ? 32 (?4) 2 ? 7 2

b ?? 65 ? ∴向量向量 b 在向量 a 的方向上的投影为: | b | cos ? a,

5 ? 13 . 5

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13、解:由条件得: 0 <

b a 2 ? b2 a 2 + b2 < 1 , e1 = , e2 = , a a a

则 e1 ? e2 ?

a 4 ? b4 a4 ,∴0<e1e2<1,所以 m=lge1+lge2=lg(e1e2)<0, ? 1 ? a2 b4

故则 m 的取值范围是为:(-∞,0). (二)选做题:第 14、15 题是选做题,考生只能选做一题,二题全答的,只计算第 14 题的得 分.

π , 3 1 ? ? ? x = 1+ t x = 1+ tcos ? ? 2 ? ? 3 ∴其参数方程为 ? ,即 ? ; ? y = ?5 + tsin ? ? y = ?5 + 3 t ? ? 3 ? ? 2 ? 2 ∵圆 C 的圆心为 (4, ) , 即(0, 4), 半径为 4, ∴圆 C 的方程为 x2+ (y-4) =16, 即为 x2+y2=8y, 2
14、解:∵直线 l 过点 P(1,-5),且倾斜角 即化为极坐标方程为 ρ2=8ρsinθ,故 ρ=8sinθ. 15、解:∵CD 是圆的切线,∴∠BCD=∠A; 又∠D=∠D,∴△BCD∽△CAD, ∴ C

AC AD CD AC 3 ? BD 2 7 ? ? ,即 , ? ? BC CD BD 3 BD 2 7

O A B

D

3 7 则 BD=4 或-7(负值舍去),所以 AC ? . 2
16、解:(1)依题意得, 2sin(A +

三、解答题:共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

∵0o<A<180o,∴ 60o<A+60o<240o,∴ A+60o<90o, ,∴ A=30o. (2)方案一:选择①、②, 由正弦定理

π π ) = 2 ,即 sin(A + ) = 1 , 3 3

……2 分 ……4 分

a b a = sinB = 2 2 , ,得 b = sinA sinB sinA

∵A+B+C=1800,∴ sinC=sin(A+B)= sinAcosB+cosAsinB = ∴S =

2+ 6 , 4
……7 分

1 1 2+ 6 absinC = ? 2 ? 2 2 ? = 3 +1 . 2 2 4

方案二:选择①、③, 由余弦定理 b2+c2-2bccosA=a2,有 b2+3b2-3 b2=4,则 b=2, c = 2 3 , 所以 S ?

1 1 1 bc sin A ? ? 2 ? 2 3 ? ? 3 . 2 2 2

……10 分

方案三:选择②、③,由 c ? 3b 得, sin C ? 3 sin B ?

6 ? 1 不成立, 2

这样的三角形不存在. ……12 分 【说明】本题主要考查辅助角公式、正弦定理、余弦定理与三角形面积公式,考查学生对基 本知识的掌握程度以及分类讨论的思想.
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17、解:(1)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率: f4=1-(0.025+0.015× 2+0.01+0.005)× 10=0.03. 频率/组距 ……2 分 直方图如图所示. ……4 分 0.03 (2)依题意,60 及以上的分数所在的第三、 0.025 四、五、六组,频率和为: 0.015 (0.015+0.03+0.025+0.005)× 10=0.75, 所以抽样学生成绩的合格率是 75%. ……6 分 0.01 0.005 利用组中值估算抽样学生的平均分为: 分数 45× f1+55× f2+65× f3+75× f4+85× f5+95× f6 40 50 60 70 80 90 100 =45× 0.1+55× 0.15+65× 0.15+75× 0.3+85× 0.25+95× 0.05=71, ……8 分 所以估计这次考试的平均分是 71 分. ……9 分 (3) [70,80),[80,90),[90,100)的人数是 18,15,3,所以从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选两人,他们不在同一分数段的概率为:

P=

18 ?15 +18 ? 3 +15 ? 3 41 ? . 35 + 34 + ... + 3 + 2 +1 70

……12 分

【说明】本题主要考查频率、直方图、平均数、古典概型式,考查学生对基本知识的掌握程 度与运算求解能力. 18、证明:(1)取 CE 的中点 G,连接 FG、BG. B E ∵F 为 CD 的中点,∴GF∥DE 且 2GF=DE. ∵AB⊥平面 A CD,DE⊥平面 ACD,∴AB∥DE, ∴GF∥AB. ……3 分 G A 又 2AB=DE,∴四边形 GFAB 为平行四边形, ∴AF∥BG.[ ……5 分 ∵AF?平面 BCE,BG? 平面 BCE, C D F ∴AF∥平面 BCE. ……7 分 (2)∵△ACD 为等边三角形,F 为 CD 的中点,∴AF⊥CD, ∵DE⊥平面 ACD,AF? 平面 ACD,∴DE⊥AF, ……10 分 又 CD∩DE=D,∴AF⊥平面 CDE. ……11 分 ∵ BG∥AF,∴BG⊥平面 CDE. ……12 分 ∵BG? 平面 BCE,∴平面 BCE⊥平面 CDE. ……14 分 【说明】本题主要考查空间点、线、面的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和逻辑推 理能力. 19、解:(1)

1 3 2 = (3 ? 1) = 3 , a1 8 n 1 2 n 1 2 n ?1 = ( + + ... + ) ? ( + + ... + ) an a1 a 2 an a1 a 2 a n ?1

……1 分

当 n≥2 时,

3 3 = (32n ? 1) ? (32(n ?1) ? 1) = 32n ?1 , 8 8
当 n=1 时,

……5 分 ……6 分

n n = 32n ?1 ,也成立,所以 a n = 2n ?1 . 3 an

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(2) b n = log 3

an ? ?(2n ? 1) , n

……8 分



1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), bn bn+1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )] b1b 2 b 2 b3 b n b n+1 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

……10 分



……13 分

1 1 n .… ? (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1

……14 分

【说明】本题主要考查数列的通项公式,会根据数列递推关系求数列通项公式,以及裂项求 和,考查学生运算求解、推理论证、变形处理能力. 20、解:(1)如图,以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系, 则 A(-1,0),B(1,0),C(1,0.5),D(-1,1.5), ……2 分 y

3 ? ( )2 2 ? ( ? 1) x 2 y2 ? 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) ,则 ? 2 ? 2 2 ? 1 a b a b ? 2 2 ? ?a ? b ? 1
解得 a2=4,b2=3, ∴所求椭圆方程为 (2)由 EC ?

D E A O

C B x

……4 分

x 2 y2 ? ? 1. 4 3

……5 分

1 AB 得点 E 的坐标为(0,0.5)显然直线 l 与轴 x 平行时,满足题意, 2 即 θ=0. ……6 分 直线 l 与 x 轴垂直时,不满足题意. 直线 l 与 x 轴不垂直时,不妨设直线 l:y=kx+m(k≠0. ……7 分

? y ? kx ? m ? 由 ? x 2 y2 ,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0. ? ? ?1 ?4 3
由△=64k2m2-4(3+4k2)(4m-12)>0 得 4k2+3>m2. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 F(x0,y0), 则 x0 ?

……9 分

……10 分

x1 ? x 2 4km 3m ?? , y 0 ? kx 0 ? m ? , 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

……11 分

∵|ME|=|NE|,∴MN⊥EF,

3m 1 1 2 ? 2 1 2 ? ? , 即 3 ? 4k 2 ? ? 1 ,解得 m ? ? 3 ? 4k . ∴ 2 4km x0 k k
y0 ?

……12 分

?

3 ? 4k 2

由 4k 2 ? 3 ? (? 3 ? 4k )2 ,得 -0.5<k<0.5 且 k≠0. 2
2

……13 分

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故直线 l 与 AB 夹角 θ 的正切值的取值范围是[0,0.5). ……14 分 【说明】本题考查用解析法求椭圆的方程,直线与椭圆的关系等基础知识,考查学生运算能 力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力, 考查数形结合、 化归与转化、分类讨论思想. 2 1 2 ax ? 2x + a 21、解:(1)函数的定义域为(0,+∞), f ?(x) = a(1+ 2 ) ? = . ……1 分 x x x2 设 h(x)=ax2-2x+a, ①当 a=0 时,h(x)=-2x<0,h(x)=ax2-2x+a<0 在(0,+∞)上恒成立, 则 f′(x)<0 在(0,+∞)上恒成立,此时 f(x)在(0,+∞)上单调递减、 ……2 分 ②当 a≠0 时, (1)由△=4-4a2=0,得 a=±1. 当 a=1 时,h(x)=ax2-2x+a = x2-2x+1=( x-1)2≥0 恒成立,∴ f(x)在(0,+∞)上单调递增; 2 2 2 当 a=-1 时,h(x)=ax -2x+a =-x +2x-1=-(x-1) ≤0 恒成立, ∴ f(x)在(0,+∞)上单调递减. ……4 分 (2)由△ =4-4a2<0,得 a <-1 或 a>1, 当 a <-1 时,开口向下,h(x)=ax2-2x+a<0 在(0,+∞)上恒成立, 则 f′(x)<0 在(0,+∞)上恒成立,此时 f(x)在(0,+∞)上单调递减、 ……5 分 当 a>1 时,开口向上,h(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,则 f′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立, 此时 f(x) 在(0,+∞)上单调递增. ……6 分 (3)由△ =4-4a2>0,得-1<a<1, 若 0<a<1 时,开口向上, x1 = x1,x2 都在(0,+∞)上.

2 1? 1? a2 1+ 1 ? a 2 ,x2 = ,且 x1 + x 2 = > 0 ,x1x2=1, a a a
……7 分
2 2

1? 1? a 1+ 1 ? a 或x > ; a a 1? 1? a2 1+ 1 ? a 2 由 f′(x)<0,即 h(x)<0,得 . <x< a a 1? 1? a2 1? 1? a2 所以函数 f(x)的单调递增区间为 (0, ) 和( ,? ?) , a a 1? 1? a2 1? 1? a2 单调递减区间为 ( , ). a a
由 f′(x)>0,即 h(x)>0,得 x <

当-1<a<0 时,抛物线开口向下,x1<0,x2<0,h(x)=ax2-2x+a<0 在(0,+∞) 恒成立,即 f′(x)<0 在(0,+∞)恒成立,所以 f(x)在(0,+∞)单调递减. 综上所述: a≤0 0<a<1 (0,+∞) 递减 其中 x1 = (0,x1) 递增 (x1,x2) 递减 (x2,+∞) 递增

……9 分 a≥1 (0,+∞) 递增 ……10 分

1? 1? a2 1+ 1 ? a 2 , x2 = . a a
2lnx 0 . x0

(2)因为存在一个 x0∈[1,4]使得 f(x0)>g(x0),则 ax0>2lnx0,等价于 a >

2lnx ,等价于“当 x∈[1,4]时,a>F(x)min”. x 2(1 ? lnx) 对 F(x)求导,得 F?(x) = . x2
令 F(x) = 因为 x∈[1,4],由 F′(x)>0,∴1<x<e,F′(x)<0,∴e<x<4, 所以 F(x)在[1,e]上单调递增,在[e,4]上单调递减.
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……11 分 ……12 分 ……13 分

由于 F(4)>F(1),所以 F(x)min= F(1)=0,因此 a>0. ……14 分 【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数应用,考查学生的分类讨论,计算 推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识.

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