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上海市七校2011学年第二学期高三数学(理科)第二次联考试卷.doc


学年第二学期高三数学(理科) 上海市七校 2011 学年第二学期高三数学(理科)第二次联考试卷
满分 150 分 考试时间 120 分钟

一、填空题(本大题每题 4 分,满分 56 分) 填空题(

1.

uuu uuu r r 平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点, A (1, ), ( ?1,)

,则 OA ? AB = 2 B 3

.

答案:0

uuu uuu r r uuu r uuu r 解析:Q OA =(1,2) AB = (-2,2)∴ OA ? AB = 0 ,
2.

复数

2+i 的虚部为 1? i

.

答案:

3 2 (1+ ? 2 + i (2+i) i) 1 + 3i 1 3 = = = + i 1? i 1? i 2 2 2 3 2+i 的虚部为 1? i 2
.

解析:Q

∴ 复数

3.

函数 y = sin 2 x ? sin 2 x 的最小正周期为 答案: π 解析: Q y = sin 2 x ? sin 2 x =

1 1 ? cos 2 x ? sin 2 x 2 2

∴ 函数 y = sin 2 x ? sin 2 x 的最小正周期为: π
4. 直线 x ? 2 y + 1 = 0 关于直线 x = 3 对称的直线方程为 答案: x + 2 y ? 7 = 0 .

解析:设 M(x,y)为所求直线上的任意一点,则其对称点为(6-x,y) 从而有: 6 ? x ? 2 y + 1 = 0 所以直线 x ? 2 y + 1 = 0 关于直线 x = 3 对称的直线方程为: x + 2 y ? 7 = 0

5.

定义集合运算: A * B = { z | z = xy , ∈ A, ∈ B} .设 A = {1,}, = {3,} ,则集合 A * B 的所有元素之和 x y 2 B 6



.

答案:21

解析: 由题得: A * B ={3,6,12},故集合 A * B 的所有元素之和为 21 6.

2 3 4 5 从集合 {1,,,, } 中任取两数,其乘积不小于 10 的概率为

.

答案:

2 5

解析:P=

1+ 2 +1 4 2 = = C5 2 10 5
2 1 + = 2 ,则 m 的值为 a b

7.

若实数 a 、b 、m 满足 2a = 5b = m ,且

.

答案: 2 5 解析:在 2a = 5b = m 取对数得:

1 1 = log m 2, = log m 5 , m > 0 a b



2 1 + =2 a b

∴ log m 20 = 2

∴ m 2 = 20 ∴m = 2 5
8. 若 对 于 任 意 实 数 x , 都 有 x 4 = a0 + a1 ( x + 2 ) + a2 ( x + 2 ) + a3 ( x + 2 ) + a4 ( x + 2 ) , 则 a3 的 值
2 3 4



.

答案:-32

解析:由

x 4 = a0 + a1 ( x + 2 ) + a2 ( x + 2 ) + a3 ( x + 2 ) + a4 ( x + 2 ) 结 合 二 项 式 定 理 比 较 系 数 知 :
2 3 4

a4C4 0 = 1, a3C3 0 + a4C41× 23 = 0

∴ a3 = ?32

9.

设等差数列 {an } 的公差 d 为 ?2 ,前 n 项和为 Sn ,则 lim

2 an ? n 2 = n →∞ Sn

.

答案: -3

a1 2(n ? 1) 2 ? ] ?1 a ?n [a ? 2(n ? 1)] ? n n 解析: lim = lim 1 2 = lim n = ?3 n →∞ n →∞ n →∞ (a1 + 1) ?n + (a1 + 1)n Sn ?1 + n
2 n 2

2

2

[

10. 函数 y = π ? 3arcsin

1 2 ( x + 4 x + 5) 的值域为 2

.

答案: [ ?

π π

, ] 2 2

解析: Q

1 2 ( x + 4 x + 5) = 1 [( x + 2)2 + 1] ≥ 1 , 1 ( x2 + 4 x + 5) ≤ 1 2 2 2 2 ≤ arcsin 1 2 ( x + 4 x + 5) ≤ π 2 2



π
6

∴?

π
2

≤ y≤

π
2

y 6 5

11. 与直线 x + y ? 2 = 0 和圆 x 2 + y 2 ? 12 x ? 12 y + 70 = 0 都相切的半径
1 O

最小的圆的标准方程为
2 答案: ( x ? 3) 2 + ( y ? 3)=8

.

1

5

6

x

解析:如图所示:易得:所求的圆的方程为
2 ( x ? 3) 2 + ( y ? 3)=8

S

12. 已 知 S 、A、B 、C 是 球 O 表 面 上 的 点 , SA ⊥ 平 面

A

ABC , AB ⊥ BC , SA = 1 , AB = BC = 2 ,则球 O 的

C
表面积为 答案: 3π .

B





:







:

?SAC , ?SAB, ?SBC均为直角三角形

,

O是SC的中点, 从



OB = OA =

1 3 SC = 0 S = OC = , 所以球 O 的表面积为 3π 2 2

13. 如果一个正四位数的千位数 a 、百位数 b 、十位数 c 和个位数 d 满足关系 (a - b)(c - d ) < 0 ,则称其为“彩

虹四位数” ,例如 2012 就是一个“彩虹四位数”.那么,正四位数中“彩虹四位数”的个数为

.

(直接用数字作答)

答案:3645 ; 解析: 构成“彩虹四位数”可以分为两类:一类是 a > b且c<d ,此时共可得到 45 × 45 个“彩虹四位数” 一类是 a < b且c>d ,此时共可得到 36 × 45 个“彩虹四位数” (首位不能为 0)

据加法原理得:正四位数中“彩虹四位数”的个数为 3645

y 14. 某校数学课外小组在坐标纸上,为一块空地设计植树方案如下:第 k 棵树种植在点 Pk ( xk , k ) 处,其中
? ? ? k ?1? ? k ? 2 ?? ? xk = xk ?1 + 1 ? 4 ?T ? ? ?T ? ?? ? ? 4 ?? ? ? 4 ? x1 = 1, 1 = 1 ,当 k ≥ 2 时, ? y , T ( a ) 表示非负实数 a 的整数部分,例 ? y = y + T ? k ?1 ? ? T ? k ? 2 ? k ?1 ? ? ? ? ? k ? 4 ? ? 4 ? ?
如 T ( 3.7 ) = 3 , T ( 0.4 ) = 0 .按此方案,在第 2012 棵树的种植点坐标应为 答案:(4, 2514) .

? ?1? ? 0 ?? 解析:由题知: x2 -x1 =1 ? 4 ?T ? ? ? T ? ? ? ? 4 ?? ? ?4? ? ?2? ? 1 ?? x3 -x2 =1 ? 4 ?T ? ? ? T ? ? ? ? 4 ?? ? ?4? ? ?3? ? 2 ?? x4 -x3 =1 ? 4 ?T ? ? ? T ? ? ? 4? ? 4 ?? ? ?

LLL
? ? k ?1? ? k ? 2 ?? xk -xk ?1 =1 ? 4 ?T ? ? ?T ? ?? ? 4 ?? ? ? 4 ? ? ? k ?1 ? ? 0 ?? 将上式叠加得: xk -x1 =k-1 ? 4 ?T ? ? ? T ? ?? ? 4 ?? ? ? 4 ?

? k ?1 ? ∴当k ≥ 2时,xk = k ? 4T ? ? ? 4 ?

∴当k = 2012时,x2012 = 4
同理可得:∴当k = 2012时,y 2012 = 2514 ,

∴ 第 2012 棵树的种植点坐标应为: 4, 2514) (

注:(1)此题还可以用列举法写出一些项,观察归纳得出周期,利用周期性求解

(2)利用 5 的剩余类,分类获解

二、选择题(本大题每题 5 分,满分 20 分) 选择题( : 15. “ | x |> 3 成立”是“ x ( x ? 3) > 0 成立”的(



A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 非充分非必要条件

答案: A 解析: | x |> 3 ? x > 3或x < ?3 ,而 x ( x ? 3) > 0 ? x > 3或x < 0 故“ | x |> 3 成立”是“ x ( x ? 3) > 0 成立”的充分非必要条件,所以选 A

r r r r r r r r 16. 已知向量 a 、 b 满足 | a |= 1 , | b |= 2 , a 与 b 的夹角为 120° ,则 | a ? 2b | 等于(
A. 3 B. 15 C. 21 D. 5



答案:C

r r r r r2 r r r2 解析: | a ? 2b |= (a ? 2b) 2 = a ? 4a ? + b = 21 ,故选 C b
17. 函数 y = f ( x + 1) 为定义在 R 上的偶函数,且当 x ≥ 1 时, f ( x ) = 2 x ? 1 ,则下列写法正确的是(



?1? ?3? ?2? A. f ? ? < f ? ? < f ? ? ?3? ?2? ?3?

?2? ?1? ?3? B. f ? ? < f ? ? < f ? ? ?3? ?3? ?2?

?2? ?3? ?1? C. f ? ? < f ? ? < f ? ? ?3? ?2? ?3?

?3? ?2? ?1? D. f ? ? < f ? ? < f ? ? ?2? ?3? ?3?

答案: C 解析:Q函数y=f ( x + 1)为偶函数

y

∴ y = f ( x)关于x = 1对称 ∴函数y = f ( x)的图像如图所示:
1 ?2? ?3? ?1? 结合图像易知: f ? ? < f ? ? =f ( ) < f ? ? ,即 2 ?3? ?2? ? 3?

O

1

x

?2? ?3? ?1? f ? ? < f ? ? < f ? ? 故选 C ?3? ?2? ?3?

18. 椭圆

x2 y 2 1 + = 1 上有 n 个不同的点 P 、P2 、 、Pn ( n ∈ N* ) , F 是右焦点, { Pn F } 组成公差 d > L 的等差 1 4 3 100

数列,则 n 的最大值为( A. 99 B. 100



C. 199

D. 200

答案:D

解析: d=

| Pn F | ? | P F | | Pn F | ? | P F | 1 1 1 1 , (n ≥ 2), 因 为 d > ,所以 > , (n ≥ 2), 进 而 有 : 100 n ?1 n ?1 100

n < 100(| Pn F | ? | P F |) + 1, (n ≥ 2) 若 使 n 的 值 最 大 , 只 需 100(| Pn F | ? | P F |) + 1, (n ≥ 2) 大 , 即 使 , 最 1 1 | Pn F | ? | PF | 最大,而 (| Pn F | ? | P F |)max = 3 ? 1 = 2 ,∴ n < 201 ,∴ n 的最大值为 200,故选 D 1 1

三、解答题(本大题满分 74 分) 解答题(

19. (本题满分 12 分,第 1 小题 5 分,第 2 小题 7 分)

2 1 在△ ABC 中, tan A = ,tan B = . 3 5
(1)求角 C 的大小;

(2)如果△ ABC 的最大边长为 13 ,求最小的边长.

2 1 + tan A + tan B 解: (1) tan C = ? tan( A + B ) = ? = ? 3 5 = ?1 2 1 1 ? tan A tan B 1? × 3 5
又0 < C <π

∴C =

3π 4

(2)由已知和(1)知: c = 13, b 为最小边长

Q tan B =

1 5

∴ sin B =

26 26

∴b =

c sin B =1 sin C

∴ 最小的边长为 1

20. (本题满分 12 分,第 1 小题 5 分,第 2 小题 7 分) 如图所示,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB = 1 , BC = 2 , CC1 = 5 , M 为棱 CC1 上一点.

(1) 若 C1 M =

3 ,求异面直线 A1M 和 C1 D1 所成角的正切值; 2

(2) 是否存在这样的点 M 使得 BM ⊥ 平面 A1 B1M ?若存在,求出 C1 M 的长;若不存在,请说明理由. 解: (1)过点 M 做 MN ? C1 D1 交 DD1 于 N,并连接 A1 N ,则 ∠A1MN

A1 B1 C1 M

D1

是异面直线 A1M 和 C1 D1 所成角

由题可得:在 Rt ?A1MN 中,

AB = 1 , A1 N = 22 + ( ) =

3 2

5 2

∴ tan ∠A1MN =

A1 N 5 = MN 2
B

A C

D

∴ 当 C1 M =

5 3 时,异面直线 A1M 和 C1 D1 所成角的正切值为 2 2
A1 D1 C1 M
N

(2)假设存在点 M 使得 BM ⊥ 平面 A1 B1M ,并设 C1M = x 则有 Rt ?BMB1 ? Rt ?B1C1M

B1



C1M B1M = B1M BB1
A B C D

∴ 4 + x2 = 5x ∴ x = 4或x = 1
所以,当 C1 M = 1或4 时,使得 BM ⊥ 平面 A1 B1M

21. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 = a , an +1 = 2 Sn + 4n , ∈ N* . n (1) 设 bn = S n ? 4n ,求数列 {bn } 的通项公式; (2) 若对于一切 n ∈ N* ,都有 an +1 ≥ an 恒成立,求 a 的取值范围. 解:(1) Q an +1 = 2 Sn + 4n , ∈ N* n

∴ S n+1 ? S n = 2 S n + 4n ∴ S n+1 ? 4n +1 = 3S n + 4 n ? 4 n +1

∴ S n+1 ? 4n +1 = 3 ( S n ? 4 n )
又 a1 = a

∴ S1 ? 4 = a ? 4
当 a = 4 时, bn = 0 数列 {bn } 为以 a ? 4 为首项, 3 为公比的等比数列, 以 所以数列 {bn } 的通项公式为: n = ( a ? 4)? b 3 当 a ≠ 4 时,
n ?1

综上可知:数列 {bn } 的通项公式为: bn = ?

?0, (a = 4)

3n ?1 ?(a ? 4)? , (a ≠ 4)
n

(2)由(1)知:当 a = 4 时, bn = 0 ,即有: S n = 4

?4, (n = 1) ∴ an = ? n ?1 ?3?4 , (n ≥ 2)
此时,对于一切 n ∈ N* ,都有 an +1 ≥ an 恒成立,所以 a = 4 符合题意 当 a ≠ 4 时, bn = ( a ? 4)? 3
n ?1

,于是有: S n = ( a ? 4)? 3

n ?1

+ 4n

?a, (n = 1) ∴ an = ? 3n ? 2 + 3?4n ?1,(n ≥ 2) ?2(a ? 4)?
若 使 对 于 一 切

n ∈ N*

, 都 有

an +1 ≥ an

恒 成 立 , 即 使

2(a ? 4)? 0 + 3?4 ≥ a 且 3

2(a ? 4)? n ? 2 + 3?4 n ?1 ≥ 2(a ? 4)? n ?3 + 3?4n ? 2 (n ≥ 3) 3 3

3 而 2( a ? 4)?

n? 2

4 + 3?4 n ?1 ≥ 2(a ? 4)?3n ?3 + 3?4n ? 2 (n ≥ 3) a ≥ ?9?( ) n ?3 + 4(n ≥ 3) ? 3

∴ a ≥ ?4且a ≥ ?5
综上可知: a 的取值范围为: [ ?4, +∞)

22. (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 若函数 f (x ) 定义域为 R , 满足对任意 x1 , x2 ? R , f (x1 + x2 )? f (x1 ) 有

f (x2 ), 则称 f (x ) 为 V 形函数” “ ;

若函数 g (x)定义域为 R ,g (x)恒大于 0, 且对任意 x1 , x2 ? R , lg g (x1 + x2 )? lg g (x1 ) lg g (x2 ) , 有 则称 g (x) 为“对数 V 形函数” . (1)当 f (x )= x 2 时,判断 f (x ) 是否为 V 形函数,并说明理由; (2)当 g (x )= x 2 + 2 时,证明: g (x)是对数 V 形函数; (3)若 f (x ) 是 V 形函数,且满足对任意 x ? R ,有 f (x )? 2 ,问 f (x ) 是否为对数 V 形函数?证明你的结论.

解: (1)Q f ( x1 + x2 ) ? [ f ( x1 ) + f ( x2 )] = 2 x1 x2

∴ 不满足对任意 x1 , x2 ? R ,有 f (x1 + x2 )? f (x1 ) ∴ 当 f (x )= x 2 时, f (x )不是“ V 形函数”
(2) g (x )= x 2 + 2 的定义域为 R ,且 g (x )= x 2 + 2 >0

f (x2 )

2 Q [( x1 + x2 ) 2 + 2](x12 +2) x2 2 +2) ? x1 x2 ? 1)-x12 -x2 2 -1 < 0 ( ? =(

∴ lg[ g ( x1 + x2 ) ? [lg g ( x1 ) + lg g ( x2 )] = lg[( x1 + x2 ) 2 + 2] ? lg[ x12 +2) x2 2 +2)] < 0 ( ( ?
∴ 对任意 x1 , x2 ? R ,有 lg g (x1 + x2 )? lg g (x1 ) lg g (x2 ) ∴ g (x)是对数 V 形函数
(3) f (x ) 为对数 V 形函数

证明: f ( x1 + x2 )] ? [lg f ( x1 ) + lg f ( x2 )] lg[
= lg[ f ( x1 + x2 )] ? lg[ f ( x1 ) f ( x2 )] ≤ lg[ f ( x1 ) + f ( x2 )] ? lg[ f ( x1 ) f ( x2 )] = lg

f ( x1 ) + f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )

Q ?x ∈ R, 都有f ( x) ≥ 2
∴ f ( x1 )+f ( x2 ) ≥ 2 f ( x1 ) f ( x2 ) ∴ lg

f ( x1 ) + f ( x2 ) ≤ lg f ( x1 ) f ( x2 )

2 ≤ lg1 = 0 f ( x1 ) f ( x2 )

∴ lg[ f ( x1 + x2 )] ? [lg f ( x1 ) + lg f ( x2 )] ≤ 0 ∴ lg[ f ( x1 + x2 )] ≤ [lg f ( x1 ) + lg f ( x2 )] ∴ f (x ) 为对数 V 形函数

23. (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 7 分,第 3 小题 7 分) 设 C1 是以 F 为焦点的抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) , C2 是以直线 2 x -

3y = 0 与 2x +

3 y = 0 为渐近线,以

(0,

7 为一个焦点的双曲线.

)

(1)求双曲线 C2 的标准方程;

uuu uuu r r (2)若 C1 与 C2 在第一象限内有两个公共点 A 和 B ,求 p 的取值范围,并求 FA ×FB 的最大值;

(3)若 D FAB 的面积 S 满足 S =

r r 2 uuu uuu FA   ,求 p 的值. FB 3

2 ?a y 2 x2 ?b = 3 解: 设双曲线 C2 的标准方程为: 2 ? 2 = 1 则据题得:? (1) a b ?c = 7 ?
又a +b = c
2 2 2

?a = 2 ? ∴? ?b = 3 ?
∴ 双曲线 C2 的标准方程为:

y 2 x2 ? =1 4 3 y 2 x2 ? = 1 中并整理得: 2 x 2 ? 3 px + 6 = 0 4 3

(2)将 y 2 = 2 px ( p > 0) 代入到

?? = (?3 p )2 ? 4 × 2 × 6 > 0 ? 3p ? 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )其中x1 > 0, x2 > 0, y1 > 0, y2 > 0 则 ? x1 + x2 = >0 2 ? ? x1 x2 = 3 ?
∴p> 4 3 3

又 F(

p , 0) 2

uuu uuu r r p p ∴ FA?FB = x1 - (x2 - ) 1 y2 ( ) +y 2 2 = x1 x2 ? p p2 ( x1 + x2 ) + + 2 p x1 x2 2 4

=?

1 2 1 p + 2 3 p + 3 = ? ( p ? 2 3) 2 + 9 ≤ 9 2 2
uuu uuu r r

∴ 当且仅当 p = 2 3 时 FA ×FB 的最大值为 9
(3)直线 AB 的方程为:

y ? y1 x ? x1 = 即 ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )( x ? x1 ) = 0 y2 ? y1 x2 ? x1

p ∴ F ( , 0) 到直线 AB 的距离为: d = 2

p | ? y1 ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )( ? x1 ) | 2 2 ( x2 ? x1 ) + ( y2 ? y1 )2

1 1 ∴ S = | AB | d = | AB | 2 2

p | ? y1 ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )( ? x1 ) | 2 2 ( x2 ? x1 ) + ( y2 ? y1 ) 2

∴S =

1 1 p 1 | AB | d = | ? y1 ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )( ? x1 ) | = (2 3 + p ) 3 p 2 ? 4 3 p 2 2 2 4
r r 2 uuu uuu FA   FB 3

又S =

2 1 1 ∴ (? p 2 + 2 3 p + 3) = (2 3 + p ) 3 p 2 ? 4 3 p 3 2 4 ∴p=2 3


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