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利用导数研究函数单调性的几种题型


利用导数研究函数单调性的几种题型 利用导数研究函数的单调性常见题型有一下三种: 1.已知函数解析式求单调区间,实质上是求 f’(x)>0,f’(x)<0 的解集,但是要注 意定义域; 2.含参数的单调性问题要分类讨论,通过确定导数的符号,判断函数的单调性; 3.已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成 立问题两种思路解决. 下面我们就根据具体

例题来分析一下吧! 题型一:不含参数的函数的单调性 例 1:求函数f x = 的单调区间. 解析:函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ∵f x = 当 当 ‘ ,∴ ‘ = ? > 0,即 0<x<e 时,函数 f(x)为增函数; < 0,即 x>e 时,函数 f(x)为减函数 ‘ 故函数 f(x)的单调增区间为(0,e),减区间为(e,+∞) 可以将判断函数单调性、求极值、求最值的步骤统一为: (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求函数 f(x)的导数 (3)解方程 ‘ ‘ ; = ;(解方程与解不等式哪个更简单一些?) ‘ (4)列出随着 x 的变化, 方程 x ‘ ‘ 与 f(x)的变化情况:(假设 f(x)的定义域为 (a,b), = 0有两根为 x1,x2 且都在 f(x)定义域内) (a,x1) + 增 x1 0 极大值 (x1,x2) 减 x2 0 极小值 (x2,b) + 增 f(x) (5)写出相应的结论. 题型二:含参数的函数的单调性 例 2:已知函数 f(x)=lnx,g(x)=f(x)+ax2+bx,其中函数 g(x)的图像在点(1,g(1)) 处的切线平行于 x 轴. (1)确定 a 与 b 的关系; (2)若 a≥0,试讨论函数 g(x)的单调性. 解析:(1)由题意可得,g(x)= lnx+ ax2+bx 则 g’(x)= +2ax+b ∵函数 g(x)的图像在点(1,g(1))处的切线平行于 x 轴 1 ∴g’(1)=1+2a+b=0 ∴b=-2a-1 (2)由(1)得,g’ x = 2 2 ? 2a+1 x+1 = (2 ?1)(?1) ∵函数 g(x)的定义域为(0,+∞) ∴当 a=0 时,g’ x = ? ?1 由 g’(x)>0 得,0<x<1 由 g’(x)<0 得,x>1 当 a>0 时,令 g’(x)=0,得 x=1 或 x=2 1 1 1 若2 =1,即 a=2时,在(0,+∞)上恒有 g’(x)≥0 此时,g(x)在(0,+∞)上为增函数 若2 <1,即 a>2时, 随着 x 的变化, x ‘ ‘ 1 1 1 与 g(x)的变化情况如下: 1 2 0 极大值 1 (0,2 ) 1 (2 ,1) 减 1 1 0 极小值 (1, +∞) + 增 + 增 g(x) ∴g(x)在上(0,2 ),(1, +∞)为增函数,在(2 ,1)上为减函数 若2 >1,即 a<2时, 随着 x 的变化, ‘ 1 1 与 g(x)的变化情况如下: x ‘ (0,1) + 增 1 1 0 极大值 (1,2 ) 减 1 1 1 2 0 极小值 (2 ,+∞) + 增 1 g(x) 此时,g(x)在(0,1),(2 ,+∞)上为增函数,在(1,2 )上为减函数 综上所述,当 a=0 时,函数 g(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数; 当 a=1 时,函数 g(x)在(0

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