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全等三角形的识别


全等三角形的识别
: 【知识重点】 知识重点】

三角形全等的识别方法(一) :如果一个三角形的三边与另一个三角形三边 对应相等那么这两个三角形全等。简称: “S.S.S.” 三角形全等的识别方法(二) :如果一个三角形的两边和它们的夹角与另一 个三角形的两边和它们的交角对应相等, 那么这两个三角形全等。 简称: “S.A.S.” 三角形全等的识别方法(三) :如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应 相等,那么这两个三角形全等。简记为: “A.S.A.” 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。简记为: “A.A.S.” 【方法点睛】 法点睛】 1.在运用“S.A.S.”来识别两个三角形全等的问题中,要注意的是两边和它 们的夹角对应相等。 .. 2.一般在问题中,如果出现有两边对应相等,则可考虑第三边或它们的夹 角是否会相等;如果出现有一角及它的一边对应相等,则可考虑它的另一边或另 一角是否会相等;如果出现有一角及它的对边对应相等,则可考虑另一角是否会 相等;如果出现有两角对应相等,则可考虑一边是否会相等。 对应相等 的元素 两边一角 两角一边 三角 三边

两边及其 两边及其中 两角及其 两角及其中 夹角 一边的对角 不一定 夹边 一定 (A.S.A) 一角的对边 一定 (A.A.S) 不一定 一定 (S.S.S)

三角形是 否全等

一定 (S.A.S)

3.注意题中的隐含条件的运用:如:公共角,公共边,对顶角,直角等。 4.运用所学的识别方法识别两个三角形全等来解决线段或角相等的问题。 【典型例题分析】 典型例题分析】 点 E EB=EC,∠ABE 例 1.如图, D 是△ABC 中 BC 边上的一点, 是 AD 上一点, =∠ACE,试说明:∠BAE=∠CAE. 分析: 分析 要识别∠BAE=∠CAE.关键是找这两个角在哪两个三角形中,从图中可 看出若△ABE 和 △ACE、△ABD 和△ACD 全等则结论成立,本题以此为突破口来证明。

解: 在△BEC 中,∵BE=CE, ∴∠EBC=∠ECB。 又∵∠ABE=∠ACE,

A

E

∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC, 在△AEB 和△AEC 中, AE=AE, BE=CE, AB=AC. ∴△AEB≌△AEC。 因为有两条边及其中一边的对角对应相等的两 ∴∠BAE=∠CAE. 个三角形不一定全等。
B D C

说明: 说明:本题很容易出现用“SSA”的办法来说明, 这种方法不正确,即 EB=EC, ∠ABE=∠ACE,AE=AE.得到 △AEB≌△AEC ∴∠BAE=∠CAE.

例 2. 若△ABC 中,∠A=30°,∠B=70°,AC=17cm。△DEF 中,∠D= 70°,∠E=80°,DE=17cm,那么△ABC 与△DEF 全等码?为什么? 解:不全等。这是因为(如图) 分析:1. 在说明两个三角形全等的问 分析: 在△ABC 中,∠A=30°,∠B=70°, AC=17cm 在△DEF 中,∠F=180°-∠D-∠E 两个角与一边不是仅仅“相等” ,还要注 =180°-70°-80° =30°, ∠D=70°,ED=17cm。 但 AC 是∠B 的对边,DE 是∠F 的对边, 又∠B≠∠F,所以这两个三角形不全等。
o

题时,有两个角和一边分别相等的两个 三角形不一定全等。2.两个三角形全等,

意说明对应两字。 ..

C
80
o o
30
o

E
80o
o

A

30

70

70

B

F
D C

D

例 3.已知:如图,AD=BC,AC=BD.试说明: . ⑴∠DAB=∠CBA; ⑵ ∠ACD=∠BDC。 解:在△ABD 和△BAC 中, ∵ AD=BC, BD=AC, AB=AB
A

B

分析: 分析:由于∠DAB,∠CBA 分别在△DAB 和 △CBA 中,如果这两个三角形全等,根据全等三 角形的特征,结论则成立。

∴△ABD≌△BAC ∴∠DAB=∠CBA 同理可证:△ACD≌△BDC ∴∠ACD=∠BDC。 例 4.如图,是一个平分角的仪器,其中,AB=AD,BC=DC, . 将点 A 放在角的顶点,AB 和 AD 沿着角的两边放下。沿 AC 画一条射线 AE。AE 就是角平分线。说明它的道理。 解:在△ABC 和△ADC 中, AB=AD, BC=DC, AC=AC ∴△ABC≌△ADC (SSS) ∴∠BAC=∠DAC。 例 5.如图,某一养鱼户想测量一池塘两端 AB 的长度。请你根据你学过的全等 三角形的知识为他设计一个方案,使得在陆地上就能测量出池塘两端 A、B 的距 离,并说明其中的道理。 分析: 分析: 要运用全等三角形的知识来测量池塘的宽度,不能采用“SSS”方法 来设计,目前我们只能考虑“SAS”方法在 AB 的一侧构造一个三角形使它与 AB 所在的一个三角形全等来设计。 解:方案:先在地上取一个可以直接到达 A 点和 B 点的点 O,连结 AO 并延 长到 B’,使 OB’=OB.连结 OB 并延长到 A’,使 OA’=OA,连结 A’B’并测量出它的 长度就是 A、B 间的距离。 理由: 理由:由图形可知:OA =OA’, ∠AOB=∠A’OB’ , OB=OB’, 所以,△AOB≌△A’OB’,(SAS), 所以 AB=A’B’ 例 6: 已知△ABC 为正三角形,点 M 为射线 BC 上的任一点,点 N 是射线 : CA 上任意一点,且 BM=CN,直线 BM 和 AM 相交于 Q 点。就下面给出的三种 然后猜测∠BQM 情况, 如图⑴、 图⑵、 图⑶, 先用量角器分别测量∠BQM 的大小, 分析: 分析:要 AE 是角平分线,即要构 造 两 个 三 角 形 全 等 , 说 明 ∠BAE=∠DAE。

的度数大小?并利用图⑶证明你的结论。 分析: 根据这一认识判断结论, 分析: 本题通过测量对角的大小有直接的感性认识, 并寻求答案的证明。我们通过测量可得到∠BQM 均相等并近似等于 60°,因此 可猜测出∠BQM=60°。 解 :用量角器在三个图中分别测∠BQM,可知∠BQM 均相等,且接近 60°。 因此,可猜测∠BQM=60°。如图⑶证明如下: ∵△ABC 为正三角形, ∴AB=BC=AC,∠BAC=∠BCA=60°。 ∵BM=CN, ∴BM-CB=CN-CA,即 CM=AN.

Q

N A

A Q B M (1) N CB

A Q N M (2) C
B

(3)

C M

∵∠BAN=180°-60°=∠ACM, ∴△BAN≌△ACM. ∴ ∠CMA=∠ANB. 又∵∠QAN=∠CAM,

∴∠BQM=∠ANB+∠QAN=∠CAM+∠CMA=∠BCA=60° 已知 AC∥BD, EA、 分别平分∠CAB 和∠DBA, EB 例 7.如图,
E C D

分析: 分析 :本题是一道证明线段的和(差)问题,其主要方法 为“截长补短法” ,以下给出证法一和证法二请同学们注意。 CD 过 E 点,试说明:AB=AC+BD。 解一:如图,在 AB 上截取 AF=AC,连结 EF。由△AEF≌△AEB、△CEF≌ △DEB,可证得 AB=AC+BD。 解二:如图,延长 AC 至 F,使 AF=AB,连结 EF。 由 △ AEF≌ △ AEB 、 △ CEF≌ △ DEB, 可 证 得 AB=AC+BD.
E C A B F D
A F B

【同步练习】 同步练习】 一、选择题: 选择题: 1. 如图,在∠AOB 的两边上截取 AO=BO,CO=DO,连结 AD、BC 交于点 P,则下列结论 【① △AOD≌△BOC; ② △APC≌△BPD; ③ 点 P 在∠AOB 的角平分线上】中正确的是( A. ① B. ② C. ① ② ) D. ①②③
O

2.下列各组图形中,一定全等的是 A. 各有一个角是 45°的等腰三角形 B. 两个等边三角形 C. 有两条边相等的两个直角三角形




C P A B D

D. 腰和顶角对应相等的两个等腰三角形 3. 使两个直角三角形全等的条件是( A.两直角边对应相等 D. 斜边相等 4. 下列四组中一定是全等三角形的为( A、 三内角分别相等的两三角形 C、周长相等的两等边三角形 ) ) C. 两锐角对应相等

B. 一锐角对应相等

B、斜边相等的两直角三角形 D、面积相等的两等腰三角形

二、填空题: 填空题: 5. 如 图 , ∠1=∠2 , 要 使 △ ABE≌ △ ACE , 还 需 要 添 加 一 个 条 件 。 (只需写一个条件)
A

B A E
1 2

A O B
第 6 题图

D
A F
1 2

E C

C
第 5 题图

C

B
第 7 题图

D

B

D

E

C

第 8 题图

6. 如 图 , 已 知 AC=BD, 要 使 得 △ ABC≌ △ DCB, 只 需 添 加 一 个 条 件 是 。 7.如图,∠1=∠2,BC=EF,那么△ABC≌△DEF 成立还需补充的一个直接条 件是 。 (写出一个即可)

8.已知,如图 D、E 是△ABC 的 BC 边上的两点,AD=AE,请你再附加一个条 件 三、解答题: 解答题: 9. 如图, 已知 OA=OB, AC=BD,且 OA⊥AC, OB⊥BD, M 为 CD 的 P 点,试说明:OM 平分∠AOB。
A B C M D O

,使△ABE≌△ACD.

证明:

10. 如图,△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线, 求证: AD < ( AB + AC ) 证明:
B D
1 2

A

C

11. 如图,AB<BC,AD=DC,BD 平分∠ABC。求证:∠A+∠C=180°. 证明:

A

D

B

C

12. 如图, △ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形, 和 BD 相交于点 M,BD CE 交 AC 于点 N.试证明:⑴BD=CE;⑵BD⊥CE. 证明:

B A N C M D E

13. 如图,已知:等边ΔABC 和等边ΔBDE,且点 A 在 DE 的延长线上, 求证:BD+DC=AD 证明:
E A

B D

C

14.. 如图,△ABC 中,AD 平分∠BAC,AB=AC+DC. 求证:∠C=2∠B.

A
证明:

B

D

C


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