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第一讲:集合的含义与表示


第一讲:集合的含义与表示
一.教学目的与要求:
理解集合的概念与元素的特征,掌握各种表示法的含义,会利用元素特征解决相关的问题; 二.重点与难点:概念的了解与集合的表示是重点,元素特征的应用是难点; 三.教学方法:启发式+讲练结合 四.教学过程: 1.相关概念介绍: (1) 元素:一般地,我们把研究的对象称为元素(element) 。元素通常用小写字母 a,b,c?表示。 (2) 集合:把一些元素组成的总体叫做集合(set) (简称为集) 。集合通常用大写字母 A,B,C?表示。 课文说“我们一般用花括号‘{}’表示集合” ,也就是赋予了符号“{}”新的含义:表示“所有的” 、 “全 部的” ,具有共同特征的研究对象都在大括号内。 注意:{正数}表示所有大于 0 的实数组成的集合。这种表示是正确的。 但是{所有的正数}这种表示方法是错误的。因为“{}”已经包含“所有的”含义 (3) 元素与集合的关系:元素与集合的关系有“属于”和“不属于”两种。 元素 a 属于集合 A,记作 a ? A;元素 a 不属于集合 A,记作 a ? A。 ① 符 号 ? 和 ? 是表示元素与集合之间的关系的,不能用来表示集合与集合之间的关系。 ② a ? A 与 a ? A 取决于 a 是不是集合 A 中的元素。两种情况有且只有一种成立。 (4) 集合中元素的特征:①确定性;②互异性;③无序性。 (5) 集合的分类:①有限集;②无限集。(6)集合的表示方法: ① 自然语言法:用文字叙述的形式描述集合的方法。使用此方法时注意叙述清楚。
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如:大于 1 且小于 10 的偶数构成的集合;注意:用自然语言描述集合不要出现花括号{}。 ② 列举法:将集合中的元素一一列举出来,写在花括号内表示集合的方法。 注意元素不能重复且元素之间用分隔号“, ” 。如:所有正奇数的集合为{1,3,5,7,9,?} ③ 描述法:把集合中元素的共同特征描述出来,写在花括号内表示集合的方法,它的一般形式是 {x ? I|P(x)},其中“x”是集合中元素的代表形式,它的范围是 I; “P(x)”是集合中元素 x 的共同特 征,竖线不可省略。 如不等式 2x-5>1 的解集可表示为{x|x > 3}或{x ? R|2 x -5>1}或{x|2 x -5>1} ④ 韦恩(Venn)图法:为了形象地表示集合,常画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合 的整 体。

⑤ 区间法: (将会在后面的“1.2 函数的概念及其表示法”中学习到。 ) (6) 特殊集合的表示:对于一些常用的数集,我们指定一些大写的拉丁字母专门表示这些集合: ①非负整数集(或自然数集)记作 N;②正整数集记作 N+或者 N* ;③整数集记作 Z;④有理数集记作 Q;⑤实数集记作 R。 2.经典例题演练: 【例 1】考查下列每组对象能否构成一个集合: (1)著名数学家; (2)月成辅导学校所有高个子同学; (3)直角坐标平面内第一象限的一些点; (5)不超过 10 的非负数。

(4)与 ? 的近似的值全体; 【例 2】用符号 ? 或 ? 填空: (1) 2 3

{x x ? 11},2 3
{ y y ? x 2 }, (?1, 1)

{x x ? 3} ; (2) 3
{( x,y) y ? x2} 。

{x x ? n 2 ? 1,n ? N * } ;

1) (3) (?1,

【例 3】按要求分别表示下面的集合: (1)用自然语言描述集合{0,2,4,6,8,?}; (2)用列举法表示集合{30 的正约数}; (3)用描述法表示集合“正偶数集” ; (4)用描述法表示集合{2,-4,6,-8,?,98,-100}; (5)用列举法表示集合{(x,y)|x+y=3,x ? N,y ? N}。

【例 4】下面三个集合:① {x y ? x 2 ? 1} ;② { y y ? x 2 ? 1} ;③ {( x,y) y ? x 2 ? 1} 。 (1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义是什么?

? x, x,x , ? 3 x 所组成的集合,最多含有元素的个数为( 【例 5】由实数 x,
2 3

) D.5

A.2
2

B.3
2

C.4

【例 6】已知集合 M={-2, 3x ? 3x ? 4, x ? x ? 4} ,若 2? M,求 x。

【例 7】设集合 A={1, a , b } ,B={ a , a , ab },且 A=B,求实数 a, b 。

2

【例 8】已知集合 S={a,b,c}中三个元素分别是△ABC 的三边长,则△ABC 一定不是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形



2 【例 9】已知集合 A ? {x ax ? 3 x ? 2 ? 0} ,其中 a 为常数且 a ? R。

(1) 若集合 A 是空集,求 a 的范围; (2) 若集合 A 只有一个元素,求 a 的值; (3) 若集合 A 中 至多有一个元素,求 a 的范围。

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五.小结

第二讲:集合间的基本关系

一.教学目的与要求:
理解集合间的关系的含义及子集个数问题,会利用这种关系求相关的问题;

二.重点与难点:
概念的理解是重点,分析解决问题的能力的培养是难点;

三.教学方法:提问式+讲练结合 四.教学过程: 1.基本内容讲解:
(1) 子集:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说集合 A 包含于 集合 B,或说集合 B 包含集合 A,记作:A ? B(或 B ? A) 。这时我们也说集合 A 是集合 B 的子集。 注意:①当 A 不是 B 的子集是记作 A B(或 B A) ;②任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A;③ 空集是一个特殊的集合,它不含任何元素,通常记为 ? ;④空集是任何集合的子集,即 ? ? A;⑤子集具有 “传递性” ,即:如果 A ? B,B ? C,那么 A ? C。 (2) 集合相等 :如果集合 A 中的任何一个元素,都是集合 B 中的元素,同时集合 B 中的任何一个元素都 是集合 A 中的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,记作 A=B。 根据集合相等的定义可知:要证明 A=B,只要证明 A ? B 且 B ? A 成立即可。 (3) 真子集:如果 A ? B,且 A≠B,就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B 注意:空集是任何非空集合的真子集。 (4) 有限集合的子集个数问题: ① n 个元素的集合有 2 n 个子集;
n ② n 个元素的集合有 2 ? 1 个真子集; n ③ n 个元素的集合有 2 ? 1 个非空真集。

2.典型例题演练:
2 【例 1】已知集合 A= { -1,3,2 m -1 } , B= { 3, m } 。若 B ? A ,求实数 m 的值。

【例 2】已知集合 P ? {x x 2 ? 1} ,集合 Q ? {x ax ? 1 } ,若 Q ? P,求 a 的值。

【例 3】已知集合 A ? x | x 2 ? x ? 6 ? 0 , B ? ?x | mx ? 1 ? 0? ,且 B ? A ,求 m 取值范围。

?

?

【例 4】下列各组中的两个集合相等的有(



① P ? {x x ? 2n,n ? Z} , Q ? {x x ? 2(n ?1),n ? Z} ; ② P ? {x x ? 2n ?1 ,n ? N? }, Q ? {x x ? 2n ? 1 ,n ? N? };

Q ? {x x ? ③ P ? {x x ? x ? 0},
2

1 ? ( ?1) n ,n ? Z } 2
C. ②③ D. ①②
[来源:学科网]

A. ①②③

B. ①③

【例 5】已知集合 M 满足{1,2} ? M ? {1,2,3,4,5},满足条件的集合 M 有多少个?写出所有的满足 条件的集合 M。

【例 6】设集合 M={ x A.M=N

x?3 ? 0 },集合 N={ x ( x ? 4)(x ?1) ? 0 },则 M 与 N 的关系是() x?2
B.M ? N C. M ? N D.M ? N

【例 7】已知 A={ x k ? 1 ? x ? 2k },B={ x 1 ? x ? 3 },且 A ? B,求实数 k 的取值范围。

五.课后小结

第三、四讲:集合的基本运算
一.教学目的与要求:

理解两个集合运算的含义,会求两个集合的交集、并集与补集; 能使用 venn 图表达集合的关系与运算,体会直观图对理解抽象概念的作用;

二.重点与难点:
理解两个集合运算的含义,会求两个集合的交集、并集与补集是重点; 能使用 venn 图表达集合的关系与运算,体会直观图对理解抽象概念的作用是难点;

三.教学方法:启发式+直观式 四.教学过程:
1.基本知识概要: (1) 并集:由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的并集。 记作 A∪B。读作:A 并 B。其含义用符号表示为: A ? B ? {x | x ? A, 或x ? B} 用 Venn 图表示并集如下: A B

(2) 交集:由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集。 记作:A∩B。读作:A 交 B。其含义用符号表示为: A ? B ? {x x ? A,且x ? B} 。 用 Venn 图表示交集如下: (3) 交集与并集的运算性质: ① A ? A ? A,A ? A ? A ; ② A ? ? ? ?,A ? ? ? A ; ③ A ? B ? B ? A,A ? B ? B ? A ; A B

( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C) ; ④ ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ),
⑤ A ? B ? A ? A ? B,A ? B ? A ? B ? A 。
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(4) 全集:一般地,如果一个集合含有我们所 研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通 常记作 U。 (5) 补集:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的 补集,简称为集合 A 的补集。 其含义用符号表示为: CU A ? {x x ?U,且x ? A} 用 Venn 图表示交集如下: (6) 补集与交集、并集的性质——反演律:

U A CUA

① CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) ;② CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) 。 2.典型例题演练: 【例 1】 设 U={三角形},M={直角三角形},N={等腰三角形},则 M ? N= M ? N= CUN= CUM= CU(M ? N)=

【例 2】 设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2}, 集合B ? { x |1 ? x ? 3}, 求A ? B.

【例 3】 设集合 A={x ? Z x 2 ? px ? 15 ? 0 },集合 B={x ? Z x 2 ? 5x ? q ? 0 },若已知 A ? B={2,3,5},则集 合 A、B 分别为( ) C.{2,5}、{3,5} D.{3,5}、{2,5}

A.{3,5}、{2,3} B.{2,3}、{3,5}

2, 3, 4, 5},A ? {x x 2 ? 5 x ? 4 ? 0} ,求 CU A 。 【例 4】已知全集 U ? {1,

2 【例 5】已知集合 A ? {x x ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0, x ? R} , B ? {x x ? 0,x ? R},若已知 A ? B ? ? ,求

实数 m 的取值范围。

【例 6】 设 A={x x ? 4 x ? 0, B ? {x x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0} ,其中 x ? R,如果 A ? B=B,求实数 a 的取
2 2 2

值范围。

【例 7】已知 A ?

?y y ? x
?

2

? 4 x ? 6, y ? N , B ? y y ? ? x 2 ? 2 x ? 18, y ? N ,求A ? B 。

?

?

?

【例 8】已知集合 A ? x x 2 ? px ? q ? 0 , B ? x x 2 ? px ? 2q ? 0 , 且A ? B ? ??1? , 求A ? B.

?

?

?

【例 9 】设全集 U ? {a,b,c,d,e,f,g,h} 。已知 (CU A) ? (CU B) ? {a,e} ,

(CU A) ? (CU B) ? {a,b,c,e,f,g,h},(CU A) ? B ? {c,g} ,(CU B) ? A ? {b,f,h} ,求集合 A 和集合
B。

【例 10】 若 M={ x n ? A. ? B .{ ? }

x x ?1 , n ? Z },N={ x n ? , n ? Z}, 则 M ? N 等于( 2 2
C.{0} D.Z



【例 11】已知集合 A ? x x2 ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? x x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 , C ? x x 2 ? mx ? 1 ? 0 ,

?

?

?

?

?

?

且A ? B ? A, A ? C ? C, 求a, m 的值或取值范围。

【例 12】定义 A—B={x|x∈A,且 x ? B},若 M={1,2,3,4,5},N={2,4,8},则 N—M=



【例 13】某班 50 个学生中,参加数学竞赛的 25 个,参加化学竞赛的 32 人,既参加数学竞赛又参加化学竞 赛的人数最多是几人?最少又是几人?

五.课后小结:

第五讲:集合复习课

一.教学目的与要求: 通过总结和归纳集合的知识,能够使学生综合运用知识解决有关问题,培养学生分析、探究和思考问 题的能力,激发学生学习数学的兴趣,培养其抽象思维能力. 二.重点与难点: 教学重点:①集合的基本结构.②判断两个集合间的关系.③交集、并集、补集的求法及其实际应用. 教学难点:①集合的基本结构网络化、系统化.②有关补集的混合运算. 三.教学方法:探究式教学 四.教学过程 知识结构:

图1 典型例题分析 例 1 设集合 A={x|x≤ 13},a=2 3,那么下列关系正确的是( A.a?A C.a ? A B.a∈A D.{a}∈A ).
[来源:学科网]

分析:∵a=2 3= 12< 13,∴a 是集合 A 的元素.答案:B 点评:本题主要考查元素与集合间的关系. 变式训练 1.设集合 A={0,a},且 B={x|x∈A},则集合 A 与集合 B 的关系是( A.A B C.A=B 分析:∵B={x|x∈A}, ∴集合 B 中的任一元素都是集合 A 的元素,集合 A 中的任一元素都是集合 B 的元素. 答案:C 2.已知 A={x|x<3},B={x|x<a},(1)若 B ? A,则 a 的取值范围是________;(2)若 A B,则 a 的取 值范围是________. 答案:(1)a≤3 (2)a>3
[来源:学+科+网]

).

B.B A D.A∈B

例 2 集合 A={x|x2-3x-4=0},B={x|mx-1=0},若 B ? A,则实数 m=________. 分析:集合 B 是关于 x 的方程 mx-1=0 的解集,∵B ? A,∴B= ? 或 B≠ ? .

当 B= ? 时,关于 x 的方程 mx-1=0 无解,则 m=0;

1 2 3 1 1 当 B≠ ? 时,x= ∈A,则有 ( ) - -4=0,即 4m2+3m-1=0.解得 m=-1 或 . m m 4 m
1 故填-1 或 0 或 . 4 1 黑色陷阱:本题容易忽视 B= ? 的情况,导致出现错误 m=-1 或 .避免此类错误的方法是考虑问题要 4 全面,要注意空集是任何集合的子集. 例 3。设全集 U={x|0<x<10,x∈N+},若 A∩B={3},A∩( UB)={1,5,7},( UA)∩( UB)={9},求集合 A 和 B. 分析:借助 Venn 图来解决.
[来源:学#科#网 ]

解:U={x|0<x<10,x∈N+}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},Venn 图如图 2 所示.

图2 所以 A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}. 点评:本题主要考查集合的基本运算以及应用知识解决问题的能力. 变式训练 1.已知全集 S={ 1,3,x3+3x2+2x},A={1,|2x-1|},如果 SA={0},则这样的实数 x 是否存在?若存在, 求出 x;若不存在,请说明理由. 解:∵ SA={0},∴0∈S,但 0 ? A.∴x3+3x2+2x=0,x(x+1)(x+2)=0, 即 x1=0,x2=-1,x3=-2. 当 x=0 时,|2x-1|=1,A 中已有元素 1,则 x=0 不合题意; 当 x=-1 时,|2x-1|=3,3∈S,则 S={1,3,0},A={1,3},则 x=-1 符合题意; 当 x=-2 时,|2x-1|=5,但 5 ? S,
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则 x=-2 不合题意.

∴实数 x 的值存在,它只能是-1,即 x=-1. 例 4 若集合 P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R},则必有( A.P∩Q= ? 答案:A 例 5.已知集合 A={x∈R|x2-2x-8=0}, B={x∈R|x2+ax+a2-12=0}, B ? A,求实数 a 的取值集合. 解:A={-2, 4},∵B ? A,∴B= ? ,{-2},{4},{-2,4}. 若 B= ? ,则 a2-4(a2-12)<0,a2>16,a>4 或 a<-4; 若 B={-2},则(-2)2-2a+a2-12=0 且 Δ=a2-4(a2-12)=0,解得 a=4; B.P Q C.P=Q ). D.P Q

若 B={4},则 4 2+4a+a2-12=0 且 Δ=a2-4(a2-12)=0,此时 a 无解; 若 B={-2,4},则?
?-a=4-2, ? ? ?a -12=-2×4.
2

∴a=-2.

综上知,所求实数 a 的集合为{a|a<-4,或 a=-2,或 a≥4}. 变式训练.集合 A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}. (1)若 A∩B=A∪B,求 a 的值; (2)若 ? A∩B,A∩C= ? ,求 a 的值.

解:由已知 ,得 B={2,3},C={2,-4}.(1)∵A∩B=A∪B,∴A=B. 于是 2,3 是一元二次方程 x2-ax+a2-19=0 的两个根,
? ?2+3=a, 由韦达定理,知? 解之,得 a=5. 2 ?2×3=a -19. ?

(2)由 A∩B
2

? ? A∩B≠ ? ,又 A∩C= ? ,得 3∈A,2 ? A,-4 ? A,由 3∈A,
2

得 3 -3a+a -19=0,解得 a=5 或 a=-2. 当 a=5 时,A={x|x2-5x+6=0}={2,3},与 2 ? A 矛盾; 当 a=-2 时,A={x|x2+2x-15=0}={3,-5},符合题意. ∴a=-2. 例 6:对于集合 A、B,我们把集合{ ( a, b) | a ? A, b ? B }记作 A×B ,例如,A={1,2},B={3, 4}, 则有 A×B={(1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4)},B×A={(3,1) , (3,2) , (4,1) , (4,2)},据此回答下列问题: (1)已知 C={a},D={1,2,3},求 C×D; (2)已知 A×B={(1,2) , (2,2)},求集合 A、B; (3)若集合 A 有 3 个元素,B 有 4 个元素,试确定 A×B 有几个元素? 答案:略

变 式训练 1.定义集合 A 与 B 的运算 A*B={x|x∈A,或 x∈B,且 x ? A∩B},则(A*B) *A 等于( A.A∩B B.A∪B C.A D.B ).

分析:设 A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},则 A*B={3,4,5,6,7},于是(A*B) *A={1,2,5,6,7}=B. 答案:D

点评: 解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质, 本题(A*B) *A 的本质就是集合 A 与 B 的并集中除去它们公共元素组成的集合. 2.设 a、b、c 为实数, f ( x) ? ( x ? a)(x 2 ? bx ? c), g ( x) ? (ax ? 1)(cx2 ? bx ? 1) ,记集合 S=

?x f (x) ? 0, x ? R? ,T= ?x g( x) ? 0, x ? R?,若 S , T 分别为集合 S、T 的元素个数,则下列结论不可能
的是( )

A. S ? 1, T ? 0

B. S ? 1, T ? 1

C. S ? 2, T ? 2

D. S ? 2, T ? 3

分析一:分别对 a,b,c 赋值 0,0,0 或 1,0,1 或 ? 1,0,?1 可以验证 A,B,C 选项是可以成立的,所以答案为 D 分析二:观察第二个集合知 x ? 0 且第二个方程的根的倒数是第一个方程的根,但第一个方程可以有 0 根, 所以答案为 D. 五.课堂小结: 本节课总结了第一章的基本知识并形成知识网络,归纳了常见的解题方法. 本节在设计过程中注重了两点:一是体现学生的主体地位,注重引导学生思考,让学生学会学习;二 是为了满足高考的要求,对教材内容 适当拓展.


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