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2014届高考数学一轮复习名师首选:第10章56《线性回归方程》


学案 56

线性回归方程

导学目标: 1.会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关 关系.2.了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.

自主梳理 1. 相关关系: 两 个变量之间的关系可能是________关系(如: 函数关系), 或__________ 关系.当自变量取值一定时,因变量也确定,则为确定性关系;当自变量取值一定时,因变 量带有随机性,这种变量之间的关系称为相关关系.相关关系是一种非确定性关系. 2.散点图:将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组 数据的图形,这样的图形叫做散点图. 3.回归直线 (1)定义:如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变 量之间具有________________,这条直线叫做回归直线.
n

(2)最小二乘法:通过求 Q=∑ (yi-bxi-a) 的最小值而得出回归直线的方法,即求回 i=1 归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方和______,这一方法叫做最小二乘法. (3)线性回归方程
^

2

方程y =bx+a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1, y1),(x2,y2), ?, (xn, yn)的线性回归方程,其中 a,b 是待定参数. 错误!. 自我检测 1.下列有关线性回归的说法,正确的序号是________. ①相关关系的两个变量不一定是因果关系; ②散点图能 直观地反映数据的相关程度; ③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系; ④任一组数据都有线性回归方程. 2.下列关系: ①人的年龄与其拥有的财富之间的关系; ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系; ③苹 果的产量与气候之间的关系;④森林中的同一树木,其截面直径与高度之间的关系;⑤学生 的身高与其学号之间的关系,其中有相关关系的是________(填序号). 3.下表是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 用水量 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5
^

由散点图可知, 用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系, 其线性回归方程是y = -0.7x+a,则 a=________. 4.如图所示,有 5 组(x,y)数据,去掉________组数据后,剩下的 4 组数据的线性相 关性最大.

5.已知三点(3,10),(7,20),(11,24)的横坐标 x 与纵坐标 y 具有线性关系,则其线性 回归方程是________________. 探究点一 利用散点图判断两个变量的相关性

例 1 有一位同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计, 得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表: 温度 -5 0 4 7 12 (℃) 热饮 156 150 1 32 128 130 杯数 画出散点图并判断它们是否有相关关系. 15 116 19 104 23 89 27 93 31 76 36 54

变式迁移 1 某班 5 个学生的数学和物理成绩如表: 学生 A B 学科 数学 80 75 物理 70 66 画出散点图,并判断它们是否有相关关系?

C
70 68

D
65 64

E
60 62

探究点二 求线性回归方程 例 2 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有以下统计资料: 使用年限 x 维修费用 y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5
^

6 7.0

若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系.试求线性回归方程y =bx+a.

[来源:学。科。网]

变式迁移 2 已知变量 x 与变量 y 有下列对应数据:且 y 对 x 呈线性相关关系,求 y 对

x 的线性回归方程. x y
1 1 2 2 3 2 3 2 4 3

探究点三 利用线性回归方程对总体进行估计 例 3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应 的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据.

x y
(1)请画出上表数据的散点图;

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5
^

(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程y =bx+a; (3)已知该厂技改前 100 吨甲产 品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回 归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参 考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)

变式迁移 3 某单位为了了解用电量 y 度与气温 x℃之间的关系,随机统计了某 4 天的 用电量与当天气温,并制作了对照表: 气温(℃) 用电量(度)
^

18 24

13 34

10 38

-1 64

由表中数据得线性回归方程y =bx+a 中 b=-2,预测当气温为-4℃时,用电量的度 数约为________.

1.相关关系与函数关系不同.函数关系中的两个变量间是一种确定性关系.而相关关 系是一种非确定性关系, 即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系. 函数关系是一种 因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系. 2.线性回归方程:设 x 与 y 是具有相关关系的两个变量,且相应于 n 个观测值的 n 个
^

点大致分布在某一条直线的附近, 就可以认为 y 对 x 的线性回归函数的类型为直线型: y = 1n 1n bx+a.我们称这个方程为 y 对 x 的线性回归方程.其中 x = i ∑ xi, y = i ∑ yi. =1 =1

n

n

3.线性回归方程只适用于我们所研究的样本的总体,而且一般都有时间性.样本的取

值范围一般不能超过线性回归方程的适用范围,否则没有实用价值.

课后练习 (满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1.命题:①路程与时间、速度的关系是相关关系;②同一物体的加速度与作用力是函 数关系; ③产品的成本与产量之间的关系是函数关系; ④圆的周长与面积的关系是相关关系; ⑤广告费用与销售量之间的关系是相关关系. 其中正确的命题序号是________.

2.设(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直线 l 是由这些 样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论中正确的是________.(填序 号) ①x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率; ②x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间; ③当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同; ④直线 l 过点( x , y ).
^

3.已知一组观测值具有线性相关关系,若对于y =bx+a,求得 b=0.51, x =61.75,

y =38.14,则线性回归方程为__________________.
^

4. 某地区近几年居民的年收入 x 与支出 y 之间的关系, 大致符合y =0.8x+0.1(单位: 亿元).预计今年该地区居民收入为 15 亿元,则年支出估计是________亿元. 5.根据两个变量 x,y 之间的观测数据画成散点图如图,则这两个变量________线性相 关关系(填“具有”或“不具有”).

^

6.若施化肥量 x 与水稻产量 y 的线性回归方程为y =5x+250,当施化肥量为 80 kg 时,预计水稻产量为________kg.
^

7. 已知线性回归方程y =4.4x+838.19, 则可估计 x 与 y 的增长速度之比约为________. 8.为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立做了 10 次和 15 次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为 l1、l2,已知两人所得的试验数据 中, 变量 x 和 y 的数据的平均值都相等, 且分别是 s、 t, 那么下列说法中正确的是________(填 上正确的序号). ①直线 l1 和 l2 一定有公共点(s,t); ②直线 l1 和 l2 相交,但交点不一定是(s,t); ③必有 l1∥l2; ④l1 与 l2 必定重合.

二、解答题(共 42 分) 9.(14 分)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次 试验,得到的数据如下: 零件的个数 x(个) 2 加工的时间 y(小时) 2.5 (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图; 3 3 4 4 5 4.5

^

(2)求出 y 关于 x 的线性回归方程y =bx+a,并在坐标系中画出回归直线; (3)试预测加工 10 个零件需要多少时间?
n

∑xiyi-n x y i=1 (注:b= ,a= y -b x ) n 2 2 ∑ x i-n x i=1

[来源:学科网 ZXXK]

10.(14 分)某种产品的宣传费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有如下对应数据:

x y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

(1)画出散点图; (2)求线性回归方程; (3)试预测宣传费支出为 10 万元时,销售额多大?

11.(14 分)某企业上半年产品产量与单位成本资料如下: 月份 产量(千件) 单位成本(元) 1 2 73 2 3 72 3 4 71 4 3 73 5 4 69 6 5 68 (1)求出线性回归方程; (2)指出产量每增加 1 000 件时,单位成本平均变动多少? (3)假定产量为 6 000 件时,单位成本为多少元?

学案 56

线性回归方程 答案

自主梳理
n

1.确定性 非确定性 3.(1)线性相关关系
n

(2)最小

∑ ? i=1 (3)

xi- x ? ? yi- y ?
n

∑ ? i=1 ∑xiyi-n x i=1
n

xi- x ?

2

y y -b x
2

∑xi-n x i=1

2

自我检测 1.①②③ 解析 根据两个变量相关关系的概念, 可知①正确, 散点图能直观地描述呈相关关系的 两个变量的相关程度,且回归直线最能代表它们之间的相关关系,所以②、③正确.只有线 性相关的数据才有线性回归直线方程,所以④不正确. 2.①③④ 3.5.25 解析

x =2.5, y =3.5,∵线性回归方程过定点 ( x , y ),

∴3.5=-0.7×2.5+a.∴a=5.25. 4.D 解析 因为 A、B、C、E 四点分布在一条直线附近且贴近某一直线,D 点离得远.

^ 7 23 5.y = x+ 4 4 3 3 2

解析 ∵∑ xiyi=434, x =7, y =18,∑ xi=179, i=1 i=1
3

∑xiyi-3 x y 7 i=1 ∴b= = . 3 4 2 2 ∑xi-3 x i=1

[来源:Z,xx,k.Com]

a= y -b x
7 23 =18- ×7= , 4 4
^ 7 23 ∴线性回归方程为y = x+ . 4 4 课堂活动区 例 1 解题导引 判断变量间是否线性相关,一种常用的简便可行的方法就是作散点 图. 解 (1)以 x 轴表示温度,以 y 轴表示热饮杯数,可作散点图,如图所示.

(2)从图中可以看出,各点散布在从左上角到右下角的区域里,因此,气温与热饮销售 杯数之间是负相关关系,即气温越高,卖出去的热 饮杯数越少. 从散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线附近,所以两变量之间具有相关关系. 变式迁移 1 解 以 x 轴表示数学成绩,y 轴表示物理成绩,可得相应的散点图如下图 所示:

由散点图可见,两者之间具有相关关系. 例 2 解题导引 求线性回归方程,关键在于正确求出系数 a,b,由于计算量较大,所 以计算时要仔细谨慎,分层进行,避免因计算产生失误,特别注意,只有在散点图大体呈线 性时,求出的线性回归方程才有意义. 解 制表如下:

i 1 2 3 4 5 合计 xi 2 3 4 5 6 20 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 x2 4 9 16 25 36 90 i x =4; y =5;

5

5

∑x2i=90;∑ xiyi=112.3 i=1 i=1 112.3-5×4×5 12.3 于是有 b= = =1.23; 2 90-5×4 10

a= y -b x =5-1.23×4=0.08.
^

∴线性回归方程为y =1.23x+0.08. 1+2+3+4 5 变式迁移 2 解 x = = , 4 2 1 3 + +2+3 2 2 7 n 2 y= = ,∑ xi=12+22+32+42=30, 4 4 i=1 n 1 3 43 ∑ xiyi=1× +2× +3×2+4×3= , i=1 2 2 2 n 43 5 7 -4× × ∑xiyi-n x y 2 2 4 i=1 ∴b= = =0.8, n 25 2 2 ∑ x i-n x 30 -4× i=1 4 7 5 a= y -b x = -0.8× =-0.25, 4 2
^

∴y =0.8x-0.25. 例 3 解题导引 利用线性回归方程可以进行预测,线性回归方程将部分观测值所反映 的规律进行延伸, 是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制, 依据自变量的取值 估计和预报因变量值的基础和依据,有广泛的应用. 解 (1)散点图:

(2) x =
4

3+4+5+6 2.5+3+4+4.5 =4.5, y = =3.5, 4 4

∑xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5. i=1
4

∑xi=3 +4 +5 +6 =86, i=1
4

2

2

2

2

2

∑xiyi-4 x y i=1 ∴b= 4 2 ∑ x2 i-4 x i=1 = 66.5-4×4.5×3.5 =0.7, 2 86-4×4.5
^

a= y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35.
∴所求的回归方程为y =0. 7x+0.35. (3)现在生产 100 吨甲产品用煤

^

y =0.7×100+0.35=70.35,
∴降低 90-70.35=19.65(吨标准煤). 变式迁移 3 68 解析

x =10, y =40,

回归方程过点( x , y ), ∴40=-2×10+a.∴a=60.
^

∴y =-2x+60.
^

令 x=-4,y =(-2)×(-4)+60=68. 课后练习区 1.②⑤ 2.④ 解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值, 它的绝对值越接 近 1,两个变量的线性相关程度越强,所以①②错误.③中 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样 本点的个数可以不相同,所以③错误.根据线性回归方程一定经过样本中心点可知④正确.
^

3.y =0.51x+6.65 解析 a= y -b x =38.14-0.51×61.75≈6.65.
^

∴y =0.51x+6.65. 4.12.1
^

解析 ∵y =0.8x+0.1,
^

∴当 x=15 时,y =0.8×15+0.1=12.1. 5.不具有 6.650
[来源:学科网 ZXXK]

^

解析 将 x=80 代入y =5x+250 中,即可得水稻的产量约为 650 kg. 5 7. 22 1 10 5 解析 x 与 y 的增长速度之比即为回归方程的斜率的倒数 = = . 4.4 44 22 8.①
^

解析 线性回归方程为y =bx+a.而 a= y -b x , 即 a=t-bs,t=bs+a. ∴(s,t)在回归直线上. ∴直线 l1 和 l2 一定有公共点(s,t). 9.解

(1)散点图如图所示.(4 分)
4

(2)由表中数据得∑ xiyi=52.5, i=1
4

x =3.5, y =3.5,∑ x2 i=54, i=1
^

∴b =0.7.(7 分)

^

^

∴a = y -b x =1.05.
^

∴y =0.7x+1.05.回归直线如图中所示.(10 分) (3)将 x=10 代入线性回归方程, 得 y=0.7×10+1.05=8.05(小时), ∴预测加工 10 个零件需要 8.05 小时 .(14 分) 10.解 (1)根据表中所列数据可得散点图如图所示:

(4 分) (2)计算得: x =
5 2 5

25 250 =5, y = =50, 5 5

∑xi=145,∑ xiyi=1 380. i=1 i=1
5

∑xiyi-5 x y 1 380-5×5×50 i=1 于是可得 b= = =6.5, 5 2 145-5×5 2 2 ∑ x i-5 x i=1

(7 分)

a= y -b x =50-6.5×5=17.5,
^

因此,所求线性回归方程是y =6.5x+17.5. (10 分) (3)由上面求得的线性回归方程可知,当宣传费支出为 10 万元时,
^

y =6.5×10+17.5=82.5(万元),
即这种产品的销售大约为 82.5 万元.
6 6

(14 分)

11.解 (1)n=6,∑ xi=21,∑ yi=426, x =3.5, y =71, i=1 i=1
6 2 6

∑xi=79,∑ xiyi=1 481, i=1 i=1
6

∑xiyi-6 x y 1 481-6×3.5×71 i=1 b= 6 = ≈-1.82. 2 79-6×3.5 2 2 ∑xi-6 x i=1

(5 分)

a= y -b x =71+1.82×3.5=77.37.
^

∴线性回归方程为y =a+bx=77.37-1.82x. (8 分) (2)因为单位成本平均变动 b=-1.82<0,且产量 x 的计量单位是千件,所以根据回归 系数 b 的意义有: 产量每增加一个单位即 1 000 件时,单位成本平均减少 1.82 元. (12 分) (3)当产量为 6 000 件时,即 x=6,代入线性回归方程:
^

y =77.37-1.82×6=66.45(元).
∴当产量为 6 000 件时,单位成本为 66.45 元. (14 分)


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