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2003年第1届创新杯数学邀请赛高中1年级第2试试题w


2003 年第一届创新杯数学邀请赛 高中一年级第二试试题

一 选择题(以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的
英文字母填在每题后的圆括号内) 1.集合 M={y|y=x2-3,x∈R},集合 N={x|y= 3 ? x2 , x∈R },则 M∩N 等于( (A){ (? 3,6),( 3,6) } (B) [0, 3] (C)

[? 3, 3] (D)? ) )

2.定义在实数集 R 上的函数 y=f(-x)的反函数是 y=f -1(-x),则( (A)y=f(x)是奇函数 (B)y=f(x)是偶函数

(C)y=f(x)既是奇函数,也是偶函数 (D)y=f(x)既不是奇函数,也不是偶函数 3.方程 sin x ? (A) 126
x 的实根个数为( ) 200 (B) 127 (C) 128

(D) 129
y

4.等差数列{an}中,S9=18,an-4=30(n>9), Sn=336, 则 n 的值是( (A) 16 ) (B) 21 (C) 9 (D) 8
O 1

5.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,记 N = |a+b+c| + |2a-b|,M = |a-b+c| + |2a+b|, 则( (A) M>N (B) M=N (C) M<N ) (D)
-1

x

M,N 的大小不能确定 6.△ABC 中,∠C=90?, 若 sinA,sinB 是一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根,则 下列关系中正确的是( ) (B) p ? 1 ? 2q 且 q ? ?
1 2 1 2

1 2 1 (C) p ? ? 1 ? 2q 且 q ? ? 2

(A) p ? ? 1 ? 2q 且 q ? ?

(D) p ? ? 1 ? 2q 且 0 ? q ?

1 1 1 2 ) ; 丙: 7.已知 a,b 是两个不相等正数,甲: (a ? )(b ? ) ; 乙: ( ab ? a b ab

(

a?b 2 2 ? ) ; 那么甲乙丙三者中最大的一个( 2 a?b

) : (D)不能确定

(A)必定是甲

(B)必定是乙

(C)必定是丙

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8.函数 y=f(x)有反函数 y=f -1(x),把函数 y=f(x) 的图象绕原点顺时针方向转动 90?,得到另一函数的图象,这另一函数可以是( (A)y = f -1(x) )

(B)y = -f -1(x) (C)y = -f -1(-x) (D)y = f -1(-x)

9.设 f(x)=x2+ax+b 且实数 p,q 适合 p+q=1,则不等式 pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对一切 实数 x,y 都成立的充要条件是( (A)p,q∈[-1,2] ) (C)p,q∈[-1,1] (D)p,q∈[-2,3]

(B)p,q∈[0,1,]

10.函数 f(x)=asinx+b 的最大值是 1, 最小值是-7,a,b 为常数,则 bsin2x-acos2x 的 最大值是 (A)5 或 4 (B)4 或-5 (C)4 或-3 (D)5 或-3

二. 填空题
11.若 x≥1,y≥1,z≥1,且 xyz=10, xlg x y lg y z lg z ? 10 , 则 x+y+z 的值是 12.若 | log? α 的个数是 .

? ? ? |? 2 ,则关于 x 的函数 y ? ? sin( ? ? ) cos( ? x) (x∈R)为偶函数的 ? 4 4
.

13.设数列{an}前 n 项和 Sn=2an-1(n=1,2,…),数列{bn}满足 b1=3, bk+1 = ak+bk (k =1,2,…),则数列{bn}前 n 项和为 .

14.数列 x1,x2,…,x100 满足 xk=x1+…+xk-1+xk+1+…+x100-k(k=1,2,…,100), 则 x50= . 15.定义在 R 上的函数 f(x),它具有下列性质: (i)对任何 x∈R,都有 f (x3)= f3 (x) (ii)对任何 x1,x2∈R, x1≠x2,都有 f(x1)≠f(x2), 则 f(0)+f(1)+f(-1)的值为 .

16.边长为 5 的菱形,它的一条对角线不大于 6,另一条不小于 6,则这个菱形两 条对角线之和的最大值为 .

17.设数列 a1,a2,…,an,…满足 a1=a2=1, a3=2 且对任何自然数 n,都有 an·n+1·n+2≠1, a a 又 an·n+1·n+2·n+3= an+an+1+an+2+an+3,则 a1+a2+…+a2003= a a a .

18.函数 f ( x) ?

a2 ? x2 为奇函数的充要条件是 | x ? a | ?a

.

19.若函数 f(x)与 g(x)=2-x 互为反函数,则 f(x-3x2)的单调递增区间为 20 . 已 知 数 列 {xn} , xn >0, x1=3, 且 xn ? xn ?1 ? = .

.

3 ? 4 (n≥2,n∈N) , 则 x1000 xn ? xn ?1

三. 解答题
21.已知 f ( x) ?
1 x ?4
2

( x ? ?2) ,由其反函数 f -1(x)定义数列{an}: a1=1,

1 ? ? f ?1 (an ) (n=1,2,……) an ?1

(1)求证: an ?

1 ,(n=1,2,……) 4n ? 3

(2)设 Sn=a1+a2+…+an,请问,对于预先给定的正数 M,是否存在自然数 N,使 得对自然数 n>N,都有 Sn>M?证明你的结论。 22.已知函数
f ( x) ? 3mx ? 1 , x∈(0,1] x2

(1)若 f(x) 在 x∈(0,1]上是增函数,求 m 的取值范围; (2)求 f(x)在区间(0,1]上的最大值. 23. 中国足球甲 A 联赛共有 14 个足球俱乐部参加, 任何两队分别在主场和客场各 比赛一场,胜一场得 3 分, 平一场各得 1 分,负一场得 0 分。在联赛结束后按积分 的高低排出名次. 那么在积分榜名次相邻的两只球队积分差距最多可达多少分? 为什么?


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