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2014-2015学年高一数学精品课件:1.3.2《奇偶性》(人教B版必修一)


?1.3.2 奇偶性

自主学习 新知突破

1 函数(1)f(x)=x -1,(2)f(x)=- ,(3)f(x)=2x的图象分别 x
2

如图所示:

? ? ? ?

[问题1] 各个图象有怎样的对称性? [提示] 图(1)关于y轴对称, 图(2)(3)关于

原点对称. [问题2] 对于以上三个函数,分别计算f(-x), 观察对定义域内的每一个x,f(-x)与f(x)有怎 样的关系? ? [提示] (1)满足f(-x)=f(x), ? (2)(3)满足f(-x)=-f(x).

? 1.了解函数奇偶性的含义.(难点) ? 2.掌握判断函数奇偶性的方法.(重点、难 点) ? 3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关 系.(易混点)

奇、偶函数

? 1.偶函数的定义 任意 ? 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内 f(-x)=f(一个 x) _______ x,都有_______________,那么 函数f(x)就叫做偶函数. 任意 ? 2.奇函数的定义 f(-x)=-f(x) ? 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内______ 一个x,都有_______________________,那 么函数f(x)就叫做奇函数.

? 3.奇、偶函数的图象特征 原点 ? (1)奇函数的图象关于 ______成中心对称图形; 反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为 对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇 函数. y轴 ? (2)偶函数的图象关于_______对称;反之, 如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函 数是偶函数.

? 对奇、偶函数的理解 ? (1)奇、偶函数的定义域关于原点对称,若x是 定义域中的一个数值,则-x也必然在定义域 中,因此函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一 个必不可少的条件是定义域关于原点对称. ? (2)函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域 来说的,这一点与函数的单调性不同,从这 个意义上来讲,函数的单调性是函数的“局

1.下列函数为奇函数的是( A.y=-|x| 1 C.y= 3 x

)

B.y=2-x D.y=-x2+8

解析: A,D两项,函数均为偶函数,B项中函数为非 奇非偶函数,而C项中函数为奇函数.
答案: C

? ? ? ? ? ?

2.已知函数f(x)=x4,则其图象( ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 解析: ∵f(-x)=(-x)4=x4=f(x), ∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称. 答案: B

? 3.定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上是增 函数,则f(3),f(-4),f(-π)的大小关系是 _____________. ? 解析: ∵f(x)为偶函数, ? ∴f(-4)=f(4),f(-π)=f(π). ? 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,3<π<4, ? ∴f(3)<f(π)<f(4), ? 即f(3)<f(-π)<f(-4). ? 答案: f(3)<f(-π)<f(-4)

m 4.已知函数f(x)=x+ ,且f(1)=3. x (1)求m; (2)判断函数f(x)的奇偶性.
解析: (1)∵f(1)=3,即1+m=3,∴m=2. 2 (2)由(1)知,f(x)=x+ ,其定义域是{x|x≠0},关于原点 x 对称,
? 2? 2 ? 又f(-x)=-x+ =- ?x+ x? =-f(x),所以此函数是奇 ? -x ? ?

函数.

合作探究 课堂互动

判断函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性: 1 (1)f(x)= -x; x (2)f(x)=|x-2|+|x+2|; x2+2x (3)f(x)= ; x+2
? ?1+x (4)f(x)=? ? ?1-x

?x>0?, ?x<0?.

? [思路探究] ? 1.函数的定义域应具备怎样的特点,才讨论 函数的奇偶性? ? 2.判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点?

[ 边听边记]

(1)f(x)的定义域为{x|x≠0},

?1 ? 1 1 ? 又f(-x)= -(-x)=- +x=-? x-x? ?=-f(x), x -x ? ?

∴f(x)是奇函数. (2)f(x)的定义域是R, 又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x), ∴f(x)是偶函数.

(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-2)∪(-2,+∞), 不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数. (4)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当x>0时,-x<0, f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x); 当x<0时,-x>0,f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x). 综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)= f(x),∴f(x)为偶函数.

? 1.判断函数奇偶性的两个方法 ? 方法一,定义法:利用函数奇偶性的定义判 断. ? 方法二,图象法:利用奇、偶函数图象的对 称性来判断. ? 2.定义法判断函数奇偶性的步骤 ? (1)首先看定义域是否关于原点对称. ? (2)判定f(x)与f(-x)的关系. ? (3)利用定义下结论.

1.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+3x,x∈[-4,4); (2)f(x)=x2(x2+2); ?1 2 ?2x +1,x>0, (3)f(x)=? ?-1x2-1,x<0; ? 2 (4)f(x)= 1-x2+ x2-1.

解析: (1)f(x)=x3+3x,x∈[-4,4)定义域不关于原点对 称,f(x)=x3+3x,x∈[-4,4)既不是奇函数又不是偶函数. (2)f(x)的定义域是R, 又∵f(-x)=(-x)2[(-x)2+2] =x2(x2+2)=f(x), ∴f(x)为偶函数. (3)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对 称.
?1 ? 1 ? 2 2 当x>0时,-x<0,f(-x)=- (-x) -1=- ?2x +1? ? =- 2 ? ?

f(x);

1 1 2 2 当x<0时,-x>0,f(-x)= (-x) +1= x +1=- 2 2 ?1 2 ?2x +1,x>0, ? 1 ? ? 2 ? - x - 1 ? 2 ? =-f(x).综上可知,函数f(x)= ? 1 ? ? ?- x2-1,x<0 ? 2 是奇函数. (4)∵
2 ? ?1-x ≥0, ? 2 ? ?x -1≥0,

∴x=± 1,这时f(x)=0,定义域为{-

1,1}.∴函数f(x)既是奇函数,又是偶函数.

利用函数奇偶性定义求参数
(1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义 域为[ a-1,2a] ,则a=________,b=________. ax2+1 (2)已知函数f(x)= (a,b,c∈Z)是奇函数,又f(1)= bx+c 2,f(2)<3.求a,b,c的值.

? [思路探究] ? 1.二次函数y=ax2+bx+c为偶函数的条件是 什么? ? 2.函数为奇函数的条件是什么?

解析: (1)因为定义域为[ a-1,2a] 关于原点对称,所以a 1 -1+2a=0,所以a= .又因为f(-x)=f(x), 3 1 2 1 2 所以 x -bx+1+b= x +bx+1+b,由对应项系数相等 3 3 得,-b=b,所以b=0. ax2+1 (2)∵函数f(x)= (a,b,c∈Z)是奇函数, bx+c ax2+1 ax2+1 ∴f(-x)=-f(x),即 =- , -bx+c bx+c

ax2+1 -bx+c=-bx-c,∴c=0.∴f(x)= . bx a+1 又f(1)=2,故 =2. b 4a+1 4a+1 而f(2)<3,即 <3,即 <3,∴-1<a<2. 2b a+1 又由于a∈Z,∴a=0或a=1. 1 当a=0时,b= (舍);当a=1时,b=1. 2 综上可知,a=b=1,c=0.
1 答案: (1) 0 3

?

由函数的奇偶性求参数应关注两

点 ? (1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性 的一种方法,也是在已知函数奇偶性时可以 运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的 正用和逆用. ? (2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、 二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数.

2.(1)若f(x)=(m-1)x2+2mx+3m-3为奇函数,则m的值 为________; (2)若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+ cx是________.

解析: (1)∵f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x), 即(m-1)(-x)2+2m(-x)+3m-3=-[(m-1)x2+2mx+
? ?m-1=-?m-1?, 3m-3] ∴? ? ?3m-3=-?3m-3?,

解得m=1.

(2)f(x)是偶函数,f(-x)=f(x), 而g(x)定义域为全体实数,且g(x)=xf(x)满足g(-x)=- xf(-x)=-xf(x)=-g(x),所以为奇函数.
答案: (1)1 (2)奇函数

根据函数奇偶性求解析式
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x) =x2-2x+3,求f(x)的解析式; (2)已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且满足f(x)+g(x)= 3 ,求f(x),g(x). x-2

? [思路探究] ? 1.对于题1,应如何设自变量x? ? 2.题2中,如何应用“f(x)为偶函数,g(x)为 奇函数”这一条件?

解析: (1)当 x<0 时,-x>0, f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3, 由于 f(x)是奇函数,故 f(x)=-f(-x), 所以 f(x)=-x2-2x-3. 即当 x<0 时,f(x)=-x2-2x-3. ?x>0?, ?x2-2x+3 ? ?x=0?, 故 f(x)=?0 ?-x2-2x-3 ?x<0?. ?

3 (2)由f(x)+g(x)= , x-2 把x换成-x,



3 得f(-x)+g(-x)= ,∵f(x)为偶函数,∴f(-x)= -x-2 f(x).又∵g(x)为奇函数,∴g(-x)=-g(x), 3 ∴f(x)-g(x)=- . x+2 6 3x 由①②得f(x)= 2 ,g(x)= 2 . x -4 x -4 ②

?

根据函数的奇偶性求解析式的一

般步骤 ? (1)“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x 就设在哪个区间内. ? (2)转化代入已知区间的解析式. ? (3)利用函数f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x), 从而解出f(x).

? 3.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶 函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,当 x∈(0,+∞)时,求f(x). ? 解析: 当x∈(0,+∞)时,-x∈(-∞,0), 则f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4.由于函数f(x) 为偶函数,所以f(x)=f(-x)=-x-x4,x∈(0, +∞),从而f(x)在区间(0,+∞)上的解析式为 f(x)=-x-x4.

函数的奇偶性和单调性的综合应用

?

已知奇函数y=f(x),x∈(-1,1),在 (-1,1)上是减函数,解不等式f(1-x)+f(1- 3x)<0.
[思路探究]
1.奇函数在两个对称区间上的单调性有什么关系? 2.解决本题的关键点是什么?

[规范解答] ∵y=f(x),x∈(-1,1)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(1-x)+f(1-3x)<0可化为f(1-x)<-f(1-3x), 即f(1-x)<f(3x-1). 又∵y=f(x)在(-1,1)上是减函数, ?-1<1-x<1, ? ∴f(1-x)<f(3x-1) ??-1<1-3x<1, ?1-x>3x-1 ? 4分

8分

? ?0<x<2, ?0<3x<2, ?? ? 1 x< ? ? 2 1 ∴0<x<2.

?0<x<2, ? ?0<x<2, 3 ?? ? 1 ?x< , ? 2

10分

12分

? 1.函数奇偶性和单调性的关系 ? (1)若f(x)是奇函数,且f(x)在[a,b]上是单调函 数,则f(x)在[-b,-a]上也为单调函数,且 具有相同的单调性. ? (2)若f(x)是偶函数,且f(x)在[a,b]上是单调函 数,则f(x)在[-b,-a]上也为单调函数,且 具有相反的单调性.

? 2.利用单调性和奇偶性解不等式的方法 ? (1)充分利用已知的条件,结合函数的奇偶性, 把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的 形式,再利用单调性脱掉“f”求解. ? (2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致, 偶函数的单调性相反,列出不等式或不等式 组,求解即可,同时要注意函数自身定义域 对参数的影响.

4.(1)若f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在 [0,+∞)上是减函数,则f ( )
? 3? ? 5? ? ? ? 2 A.f?-2?>f?a +2a+2? ? ? ? ? ? ? 3? ? 5? ? ? ? 2 C.f?-2?≥f?a +2a+2? ? ? ? ? ? ? 3? ? 5? ? ? ? 2 B.f?-2?<f?a +2a+2? ? ? ? ? ? ? 3? ? 5? ? ? ? 2 D.f?-2?≤f?a +2a+2? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? - ? 2? ? ?

与f

? 5? ? 2 ? a + 2 a + ? 2? ? ?

的大小关系是

(2)若f(x)是[ -2,2] 上的偶函数,在(0,2]上为增函数,且f(m -1)>f(m+1),求m的取值范围.

5 3 3 2 解析: (1)∵a +2a+ =(a+1) + ≥ , 2 2 2
2

又f(x)在[0,+∞)上是减函数,
? ?3? 5? ? 2 ? ? ∴f?a +2a+2?≤f? ?2?. ? ? ? ? ? 3? ?3? ? ? ? ∵f(x)是偶函数,∴f?-2?=f? ?2?.故选C. ? ? ? ?

(2)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), 则f(|x|)=f(x), 不等式f(m-1)>f(m+1)可化为f(|m-1|)>f(|m+1|), 又∵f(x)在(0,2]上为增函数, ?-2≤m-1≤2, ? ∴?-2≤m+1≤2, ?|m-1|>|m+1|, ?
答案: (1)C

解得-1≤m<0.

◎判断函数f(x)=(x-1)

1+x 的奇偶性. 1-x

【错解】 将解析式变形为: f(x)=- ?1-x?
21+x

=- ?1+x??1-x?=- 1-x2. 1-x

∴f(-x)=- 1-?-x?2=- 1-x2 ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.

? 【错因】 没有考虑函数定义域的对称性. ? 【正解】 因为函数f(x)的定义域-1≤x<1不 关于原点对称,故此函数为非奇非偶函数.

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