当前位置:首页 >> 数学 >>

求解无棱二面角大小的三个对策


求解无棱二面角大小的三个对策
甘肃省高台县第一中学 韩天禧 求解无棱二面角大小是高考的热点也是难点,可思维活、方法多,现从一例高考题出作系统疏理归纳. 题目 (2011 高考全国卷第 16 题)已知面 E 、 F 分别在正方形 ABCD ? ABC 1 1 1D1 的棱 BB1 、 CC1 上,且 B1E ? 2EB , CF ? 2FC1 ,则面 AEF 与面 ABC

所成 的二面角的正切值等于____. 对策一 利用空间向量求解
A1 D2 N A2 A P D O B E D1 B1 C1 F
M

C

1 解法 1 利用空间几何向量求解, AE ? AB ? AA1 , 3 AF ? AC ?

? E ?0 2 2 ?n ?A AA1 ? AB ? AD ? AA1 , 设平面 AEF 的法向量为 n ? xAB ? yAD ? zAA1 , 由? , 3 3 F ?0 ? ?n ?A

? 1 ? ? ? 1 ? x AB ? y AD ? z AA1 ? ? AB ? 3 AA1 ? ? 0 x? z ?0 ? ? ? ? 3 ,把相关量代入化简得 ? 取 z ? 3 解得 ? ? 2 2 ? ? ? x AB ? y AD ? z AA ? AB ? AD ? AA ? 0 ?x ? y ? z ? 0 1 1? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ?

? ?

? ?

x ? y ? ?1 得 n ? ? AB ? AD ? 3AA1 ,平面 ABC 的法向量为 AA1 ,不难求出 ? AB ? AD ? 3AA1 ? 11 ,得 n ? 11 ,

?

?

2

AA1 n ,? n ? AA1 ? ? AB ? AD ? 3 AA1 ? AA1 ? 3 , 则 c o s

?

?

AA1 ? n AA1 n

?

3 , s i nAA1 n ,? 11

2 ? 1 2? c? os , 11

tan AA1 , n ?

2 2 .故面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 . 3 3

点评 面对丰富的几何条件,尤其是每个顶点处都有,两两夹角及长度已知三线段,象这一类条件下证 算相关量,利用空间几何向量求解,是最易上手和操作的方法,但对填空或选择题,这样做也许会费时费 力,小题大做,可它是万全之策. 解法 2 利用空间直角坐标系求解 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为 x 、 y 、 z 轴正半轴,建立空间直角坐 标 O ? xyz . 得 A ?1,0,0 ? , E ?1,1, ? F ? 0,1, ? , AE ? ? 0,1, ? , AF ? ? ?1,1, ? . 设平面 AEF 的法向量为

? ?

1? 3?

? ?

2? 3?

? ?

1? 3?

? ?

2? 3?

? 1 y? z ?0 ? ? ? 3 ?m ? AE ? 0 , ? 取 z ? 3 得 m ? ?1, ?1,3? , n ? 11 ,又平面 ABC 的法向 m ? ? x, y, z ? 由 ? ? ?m ? AF ? 0 ?? x ? y ? 2 z ? 0 ? 3 ?

1

,1 m ? 量为 DD1 ? ? 0,0,1? , 由 cos DD

DD1 ? m DD1 m

?

3 2 2 , sin DD1 , n ? 1 ? cos2 ? ? ,tan DD1 , n ? 3 11 11
2 . 3

故面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于

点评 若用空间直角坐标系求解,其中找作两两垂直三线,建立适当坐标系是关键.

?? 对策二 利用公式 c o s

S' 求解: 其中 S 表示二面角的一个半平面中一封闭图形的面积,S ' 是 S S

在另半平面上的射影面积. 解法 3 由正方体性质可知 ?AEF 在平面 ABCD 上的射影为 ?ABC , 设正方体棱长 1, 在 Rt ?ACF 中

4 22 1 10 2 2 AF ? AC 2 ? CF 2 ? 2 ? ? ;在 Rt? ABE中, AE ? AB ? BE ? 1 ? ? ,取线段 CF 中点为 M ,在 9 3 9 3
Rt? EMF中,求得 EF ?

10 11 2 10 ANE 中, AF ? AE 2 ? AN 2 ? ? ? ,取线段 AF 中点为 N ,在 Rt ? 3 9 18 2

由此得 S?AEF ? AF ? EN ? ?

1 2

1 1 S 2 1 22 2 11 3 S?ABC ? AB ? BC ? 得 cos ? ? ?ABC ? , , ? ? , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 2 2 2 3 2 6 S?AEF 11 11

tan ? ?

sin ? 2 2 .故面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 . ? cos ? 3 3

点评 不失时机的利用面积射影法间接求二面角大小,可避免找二面角的棱及作二面角的平面角双重 麻烦,使求解过程更经济. 对策三 利用两半平面垂线求解 解法 4 过点 C 作 CH ? AF 垂足为 F ,取线段 AF 的中点为 N ,连接 NO , NO ∥ AB , AB ? 平面 AEF ? NO ? 平面 AEF ? CH ? EN ,又 CH ? AF ? CH ? 平面 AEF ,又 CF ? 平面 ABCD , 得二面角的两半平面的垂线 CH 、 CF 的夹角为 ?FCH ,该角和面 AEF 与面 ABC 所成的二面角大小相 等,又 ?FCH ? ?FAC ,在 Rt ?FAC 中, tan ?FAC ?

CF 2 ,故面 AEF 与面 ABC 所成的二面角 ? AC 3

的正切值等于

2 . 3

点评 二面角的两半平面的垂线所成角,与二面角大小相等或互补,这就需要对二面角大小作粗判断: 当二面角的其中一半平面上任意一点,在另一半平面上的身影在二面角的半平面上,二面角为锐角;在棱 上二面角为直角;在反向延伸面上,二面角为锐角. 对策四 找作二面角的棱,并作出平面角求解 解法 5 利用相交直线找棱 分别延长线段 CB 、 FE 交于 P 连接 AP ,则 AP 为平面 AEF 与平面 ABC 的交线,B1E ? 2EB ,CF ? 2FC1 ,? BE / /

1 CF ? CB ? BP ? DB / / AP ,正方形 ABCD ? DB ? AC , 2
2

得 AP ? AC ,又 CC1 ? 平面 ABC ? AC1 ? AP ,得 ?FAC 为面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的平面角, 在 Rt ?FAC 中, AC ? 2 , CF ?

2 CF 2 ,则 tan ?C1 AC ? . ? 3 AC 3

点评 若二面角的两半平面同时与第三个平面相交,这两条交线的交点在二面角的棱上. 解法 6 利用平行直线找棱 记 AC

1 1 BD ? O ,取 AF 的中点为 N ,连接 NO , NO / / CF , BE / / CF 2 2
平面 ABC ? l ? P ? l ∥ BD .以下解法同解法 5

? NO/ /BE ? EN / / BD ,又 EN ? 平面 AEF ,平面 AEF

点评 当二面角的两半平面上,有两条互相平行的直线,由线面平行性质可知,二面角的棱与这组平 行线平行. 解法 7 利用平移平面找棱 分别取线段 AF 、 CF 的中点为 N 、 M ,连接 NE 、 EM 、 NM ,

1 1 NO / / CF , BE / / CF ? NO/ /BE ? EM ∥ BC , EN ∥ BD ? 平面 ENM ∥ ABC 平面,则面 2 2
AEF 与面 ABC 所成的二面角,为面 AEF 与面 ENM 所成的二面角, 由平面 ENM ∥ ABC 平面, CC1 ? 平
面 ABC ? CC1 ? 平面 ENM ,又 NM ? EN , NM ? EN ? FN ? EN ,得 ?MNF 为面 AEF 与面

ECM 所成的二面角的平面角. 在 Rt ?NMF 中, NM ? 2 , MF ?

1 MF 2 ,则 tan ?MNF ? . ? 3 NM 3

点评 由空间等角定理可知:如果两个二面角的两半平面分别平行,则这两个二面角大小相等.

3


相关文章:
二求解无棱二面角大小的方法
点评 利用面积射影法间接求二面角大小,可避免找二面角的棱及作二面角的平面角双重麻 烦,使求解过程更简便. 对策三 利用两个半平面垂线求解 解法 4 过点 c 作 ...
俺的作品又见刊了:无棱二面角的求解策略
五法求二面角 7页 免费 二面角大小求法的归类分析 3页 免费 无棱二面角的求解方法 3页 2财富值 二面角求法大全 4页 免费 例谈二面角的几种求法 5页 免费如...
例析无棱二面角的常用求法
因此掌握无棱二面角大小的常用法是至 关重要的.本文就其常用法例析如下....分析已知两平面有一个公共点 P,且这两平面内的 AD、BC 又在第三个平面 ...
无棱二面角的求解方法
无棱二面角求解方法徐敏 求二面角的基本方法是按二面角大小的定义,作出二面角的平面角,求出平面角的大小 即可。 但有些题目中没有给出两个面的交线, 难以直接...
无棱二面角的平面角的求法
无棱二面角的平面角的法_数学_自然科学_专业资料...例 1:如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E∈BB...一个平面构成的角的大小的 原理,如果能把二面角中...
例析无棱二面角求解策略
例析无棱二面角求解策略王金发( 244100) 王金发(安徽省铜陵县第一中学 244100) 二面角是立体几何中的重要知识点.求二面角的大小则是一个难点,特别是当二面角的棱...
求二面角方法——5无棱二面角
二面角——5 无棱二面角 无棱二面角: 无棱二面角: 5.已知正方体 AC', N ...CM = 3 CC1 4 ..:平面 AKM 与 ABCD 所成角的大小. 解析:由于 BCMK ...
无棱二面角的探讨
组成一个易求的二面角. (2)将“无棱”问题转化为“有棱”问题,实际上是将难求二面角问题转化为易求二面角 问题. 2 .平移法例2 如图 2 , 在三棱柱 ABC ?...
无棱二面角的求法
大小的方法,归纳 起来有以下五种. 1.两点法 平面角解之. 即根据两点...必与第三个平面垂直.据此,如果图形中能作出一个平面与无棱二面角 的两个面都...
如何求二面角的大小
如何求二面角的大小_高二数学_数学_高中教育_教育专区。如何求二面角的大小今日...如何求二面角的大小 11页 免费 求解无棱二面角大小的三... 暂无评价 3页 免费...
更多相关标签:
三垂线求解二面角 | 无棱二面角 | 二面角的棱 | 求二面角的大小 | 二面角的大小 | 二面角大小 | 线性规划求解对策矩阵 | 求解矩阵对策 |