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相似三角形


初二升初三预习 -----相似三角形
重点、难点: 1. 通过探索两个三角形相似的识别方法,加强合情推理能力的培养,感受发现的乐 趣,逐步掌握说理的基本方法。 2. 通过相似三角形性质复习,丰富与角、面积等相关的知识方法,开阔研究角、面 积等问题的视野。 【知识纵横】 1. 相似三角形 对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 议一议: (1)两个全等三角形一定

相似吗?为什么? (2)两个直角三角形一定相似吗?两个等腰直角三角形呢?为什么? (3)两个等腰三角形一定相似吗?两个等边三角形呢?为什么? 2. 相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比。 3. 相似三角形的识别 (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三 角形相似。 (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相 等,那么这两个三角形相似。 (3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个 三角形相似。

例2

已知:如图,

ABCD 中, AE : EB ? 1 : 2 ,求 ?AEF 与 ?CDF 的周长

的比,如果 S?AEF ? 6cm2 ,求 S?CDF .

例3

如图,已知 ?ABD ∽ ?ACE ,求证: ?ABC ∽ ?ADE .

例4

下列命题中哪些是正确的,哪些是错误的? (1)所有的直角三角形都相似. (2)所有的等腰三角形都相似. (3)所有的等腰直角三角形都相似. (4)所有的等边三角形都相似.

经典例题 例 1 从下面这些三角形中,选出相似的三角形.

例 5 如图,D 点是 ?ABC 的边 AC 上的一点,过 D 点画线段 DE,使点 E 在 ?ABC 的边上,并且点 D、点 E 和 ?ABC 的一个顶点组成的小三角形与 ?ABC 相似.尽可能多地画出满足条件的图形,并说明线段 DE 的画法.

例 6 如图, 一人拿着一支刻有厘米分画的小尺, 站在距电线杆约 30 米的 地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约 12cm 恰好遮住电线杆, 已知手臂长约 60 厘米,求电线杆的高.

旗杆顶部 A 与竹竿顶部 E 恰好在同一直线上, 又测得 C、 D 两点的距离为 3 米,小芳的目高为 1.5 米,这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法 是否可行?请说明理由.

例 7 如图, 小明为了测量一高楼 MN 的高, 在离 N 点 20m 的 A 处放了一个 平面镜,小明沿 NA 后退到 C 点,正好从镜中看到楼顶 M 点,若 AC ? 1.5 m, 小明的眼睛离地面的高度为 1.6m, 请你帮助小明计算一下楼房的高度 (精 确到 0.1m) .

例 10.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A, 再在河的这一边选点 B 和 C, 使 AB ? BC , 然后再选点 E, 使 EC ? BC , 确定 BC 与 AE 的交点为 D,测得 BD ? 120 米, DC ? 60 米, EC ? 50 米,你 能求出两岸之间 AB 的大致距离吗?

例 8

已知:如图,在 ?ABC 中, AB ? AC, ?A ? 36?, BD 是角平分线,试 例 11 如图,已知△ABC 的边 AB= 2 3 ,AC=2,BC 边上的高 AD= 3 .

利用三角形相似的关系说明 AD2 ? DC ? AC .

(1)求 BC 的长; (2)如果有一个正方形的边在 AB 上,另外两个顶点分别在 AC,BC 上,求这个正方形的面积.

例 9 在一次数学活动课上,老师让同学们到操场上测量旗杆的高度,然 后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是:拿一根高 3.5 米的竹竿 直立在离旗杆 27 米的 C 处(如图) ,然后沿 BC 方向走到 D 处,这时目测

巩固练习: 一、选择题(每题 3 分,共 24 分) 1.如图,在△ABC 中,DE∥BC,若 A.9 B.10 C. 11
A D

5.如图,在斜坡的顶部有一铁塔 AB,B 是 CD 的中点,CD 是水平的,在阳 )
N A D 2 1 C

AD 1 ? ,DE=4,则 BC=( AB 3

光的照射下, 塔影 DE 留在坡面上. 已知铁塔底座宽 CD=12 m, 塔影长 DE=18 m,小明和小华的身高都是 1.6m,同一时刻,小明站在点 E 处,影子在坡 面上,小华站在平地上,影子也在平地上,两人的影长分别为 2m 和 1m, 那么塔高 AB 为( ) C.20 m D.18 m

D.12

M A C

B A. 24m

B.22m

B

C

B

E

二、填空题(每题 4 分,共 40 分) ) 1. 若
4 3 y ? ,则 ? x y x? y

CD 是 Rt ?ABC 斜边上的高, 2.如图, 则图中相似三角形的对数有 (

A. 0 对

B. 1 对

C. 2 对

D. 3


S△ ADE ? S△ ABC

3.如图,已知 ? 判定 △ ABC ∽ 1 ? ?2 ,那么添加下列一个条件后,仍无法 ..
△ ADE 的是(

) B.
AB BC ? AD DE

2. 如图, 已知 DE ∥ BC ,AD ? 5 ,DB ? 3 ,BC ? 9.9 , 则 C. ?B ? ?D D. ?C ? ?AED



A.

AB AC ? AD AE

A

4.如图,已知

ABCD 中,∠DBC ? 45 , DE ? BC 于 E , BF ? CD 于 F ,

D
B

E
C
1m 6m

DE,BF 相交于 H , BF,AD 的延长线相交于 G ,下面结论:

① DB ? 2BE ②∠A ? ∠BHE ③ AB ? BH ④ △BHD ∽△BDG 其中正确的结论是( A.①②③④ ) C.①②④ D.②③④

3.如图,在同一时刻,测得小华和旗杆的影长分别为 1m 和 6m,小华的身 高约为 1.6m,则旗杆的高约为 m.

16. 数学兴趣小组想测量一棵树的高度,在阳光下,一名同学测得一根长 为 1 米的竹竿的影长为 0.8 米.同时另一名同学测量一棵树的高度时,发 现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图) , 其影长为 1.2 米,落在地面上的影长为 2.4 米,则树高为 米.

B.①②③

A

D
H

G

F
C

B

E

课后练习: 一、选择题 1、下列语句正确的是( ) A.在 △ABC 和△A′B′C′中,∠B=∠B′=90°,∠A=30°,∠C′=60°, 则⊿ABC 和⊿A′B′ C′不相似; B、在⊿ABC 和⊿A′B′C′中,AB=5,BC=7,AC=8,A′C ′=16,B′C′=14, A′B ′=10,则⊿ABC∽⊿A′B′C′; C、两个全等三角形不一定相似; D、所有的菱形都相似 2、三角形三边之比为 3:5:7,与它相似的三角形的最长边为 21cm,则其余 两 边之和为( ) A.32cm B.24cm C.18cm D.16cm AD 1 3、如图,在正三角形 ABC 中,D、E 分别在 AC、AB 上,且 = ,AE= AC 3 BE,则有( ) (A)△AED∽△BED (B)△AED∽△CBD (C)△AED∽△ABD (D)△BAD∽△BCD

8cm,10cm,12cm,则这两个三角形 (填相似或不相似) 2、如图,平行四边形 ABCD 中,M 是 BC 的中点,且 AM=9,BD=12,AD=10, 则该平行四边形的面积是_____________

3、在平行四边形 ABCD 中,AB=10,AD=6,E 是 AD 的中点,在 AB 上取一点 F,使⊿CBF∽⊿CDE,则 BF 的长为________ 4、 在直角坐标中,已知点 A(-2,0),B(0,4),C(0,3),过点 C 的直线交 x 轴于 点 D,使得以 D,O,C 为顶点的三角形与∽⊿AOB 相似,这样的直线最多可以 作____条 . 5、已知 AB 是⊙O 的直径,AB=12cm,CD 是⊙O 一条弦,它与 AB 交于点 E, ⊿ACE 与⊿BDE 的面积之比为 4:1,则 AC:BD=_____ 三、计算题 1、已知:如图,在正方形 ABCD 中,P 是 BC 上的点,且 BP=3PC,Q 是 CD 的中点.求证:⊿ADQ∽⊿QCP.

( 3题 ) (4 题) 4、已知:如图,∠ADE=∠ACD=∠ABC,图中相似三角形共有( ) (A)1 对 (B)2 对 (C)3 对 (D)4 对 5、已知一次函数 y=2x+2 与 x 轴 y 轴交于 A 、B 两点,另一直线 y=kx+3 交 x 轴正半轴于 E、交 y 轴于 F 点,如⊿AOB 与 E、F、O 三点组成的三角形相 似,那么 k 值为( ) A 1.5 B 6 C 1.5 或 6 D 以上都不对 二、填空题 1、已知一个三角形三边长是 6cm,7.5cm,9cm,另一个三角形的三边是

2、⊿AB C 中,AD、CE 是中线, ∠BAD=∠BCE,请猜想⊿ABC 的形状,并证明.
A

E

B

D

C


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