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山西省山大附中2013届高三5月月考数学文试题含答案


山西大学附中 2012-2013 学年高三(5 月)月考数学(文科)试卷
(考试时间:120 分钟) 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 审题:高三数学组

1.设集合 A ? { x x 2 ? 4 ? 0} , B ? ? x 2 < ? ,则 A ? B ? (
x

? ?

1?

4?



A. ? x x ? 2?

B.

?x

x ? ? 2?

C.

? x x ? ?2 或 x ? 2?

D. ? x x ?

? ?

1? ? 2?

2.如果复数

2 ? bi (其中 i 为虚数单位, b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那 1 ? 2i

么 b =( (A) 2

) (B)
2 3

(C) ?

2 3

(D)2

3.程序框图如下:

如果上述程序运行的结果 S 的值比 2013 小,若使输出的 S 最大,那么判断框中应填入 ( ) A. k ? 10 B. k ? 10 C. k ? 9 D. k ? 9 4.右图为一个空间几何体的三视图,其中俯视图是下边一个等边三角形,其 内切圆的半径是 1,正视图和侧视图是上边两个图形,数据如图,则此几何 体的体积是( ) A. 15 3 ?

?
3

B. 15 3 ?

2? 3

C. 30 3 ?

?
3

D. 30 3 ?

4? 3

5.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C . 现作一矩形,邻边长分别等于线段

AC , CB 的长,则该矩形面积大于 20cm2 的概率为(
:(A)


(D)

1 6

(B)

1 3

(C)

4 5

2 3

6.已知椭圆 C :

? 1( a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1 , F2 ,过 F2 a b2 2 2 2 的直线与圆 x ? y ? b 相切于点 A ,并与椭圆 C 交与不同的两
2

x

2

?

y

2

点 P , Q ,如图,若 A 为线段 PF 2 的中点,则椭圆的离心率为 ( ) A.

2 3

B.

3 3

C. ) C. 256
1

5 3

D.

7 3

7. 将数 30012 (4) 转化为十进制数为: ( A. 524 B. 774

D. 260

x ? 1? ? ? 8.设不等式组 ? x ? 2 y ? 3 ? 0? 所表示的平面区域是 ?1 ,平面区域 ?2 与 ?1 关于直线 ? y?x ?
3 x ? 4 y ? 9 ? 0 对称.对于 ?1 中的任意一点 A 与 ?2 中的任意一点 B, AB 的最小值等于
( ) A. 28

5

B.4

C. 12

5

D.2

9.函数 f ( x ) ? ? A.0

? ln x ? x 2 ? 2 x ( x ? 0), ? 2 x ? 1( x ? 0),
B.1

的零点个数为( C.2


D.3

10.已知函数 f ( x ) ?| sin x | 的图象与直线y ? kx ( k ? 0) 有且仅有三个公共点,这三个公 共点横坐标的最大值为 ? ,则 ? 等于( A. ? cos ? B. ? sin ?


C. ? tan ? D. tan ?

11.等差数列 {an } 前 n 项和为 S n ,已知 (a1006 ? 1)3 ? 2013(a1006 ? 1) ? 1,

(a1008 ? 1)3 ? 2013( a1008 ? 1) ? ?1, 则(
A. S 2013 ? 2013, a1008 ? a1006 C. S 2013 ? ?2013, a1008 ? a1006 12.已知函数



B. S 2013 ? 2013, a1008 ? a1006 D. S 2013 ? ?2013, a1008 ? a1006

f ( x ) ? ln

ex e?x

, 若f(

e 2013

)+f(

2e 2013

)+ ? +f(

2012e 2013

)=503( a ? b), 则a 2 ? b 2 的最小值

为( ) A.6 B.8 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知 sin(

C.9

D.12

,则 sin 2 x =________. 5 14.如图,在圆 O 中, O 为圆心, AB 为圆的一条弦, AB ? 4 ,

?

4

? x) ?

3

O

则 AO ? AB ?


2 2

A 14 图

B

15. 已知 F1 、F2 为双曲线 C : x ? y ? 1 的左、 右焦点, P 在 C 点
0 上, ?F1 PF2 = 60 ,则 | PF1 | ? | PF2 |?

_______________
2

16.在直线 y ? ?2 上任取一点 Q ,过 Q 作抛物线 x ? 4 y 的切线,切点分别为 A 、 B ,则 直线 AB 恒过的点是 三、解答题: 17. (本小题满分12分)

2

在 ?ABC 中, 角 A, B , C的对边分别为 a , b, c,已知 sin B ? (1)求

5 13

, 且 a , b, c成 等比数列.

1 tan A

?

1 tan C

的值; (2)若 ac cos B ? 12 , 求a ? c 的值.

18.某地区举办了一次数学知识应用竞赛.有近万名学生参加,为了分析竞赛情况,在参赛 学生中随机抽取了 40 名学生的成绩, 并根据他们的成绩制作了频率分布直方图 (如图所示) .

频率19. 组距(1) 试估计这 40 名学生成绩的众数;
0.050 0.045 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 60 65 70 75 80 85 90 95 100 分数 19.(本小题共 12 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 E ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 矩 形 , AB ? 2 BC , P 、Q 分别为线段 AB 、CD 的中点, EP ⊥ 底面 ABCD . (Ⅰ)求证: AQ ∥平面 CEP ; (Ⅱ)求证:平面 AEQ ?平面 DEP ; (Ⅲ)若 EP ? AP ? 1 ,求三棱锥 E ? AQC 的体积. (2) 试估计这 40 名学生的成绩在 ?72, 84 ? 之间的人数;

20.(本小题满分 12 分) 设点 P ( x, y ) 到直线 x ? 2 的距离与它到定点 (1, 0) 的距离之比为 2 ,并记点 P 的轨迹 为曲线 C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设 M ( ?2, 0) ,过点 M 的直线 l 与曲线 C 相交于 E , F 两点,当线段 EF 的中点落 在由四点 C1 ( ?1, 0), C2 (1, 0), B1 (0, ?1), B2 (0,1) 构成的四边形内(包括边界)时,求直线 l 斜 率的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

ax ? b x2 ?1

在点 ( ?1, f ( ?1)) 的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 .

3

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)设 g ( x ) ? ln x ,求证: g ( x ) ? f ( x ) 在 x ? [1,?? ) 上恒成立; 请考生在第 22、23 题中任选一题作答。若多做,则按所做的第一题计分。

? x ? 1 ? t cos a ? x ? cos ? ’(t 为参数),曲线C 2 ? ( ? 为参数). 22. 已知直线 C 1 ? ? y ? t sin a ? y ? sin ?
(I)当 ? =

? 时,求 C 1 与 C 2 的交点坐标; 3

(II)过坐标原点 O 作 C 1 的垂线,垂足为 A , P 为 OA 中点,当? 变化时,求

P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.
23.已知函数 f ( x ) ? x ? a
(I)若不等式 f ( x ) ? 3 的解集为 ?x ? 1 ? x ? 5? ,求实数 a 的值; (II)在 (I)的条件下,若 f ( x ) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

4

山西大学附中 2012-2013 学年高三(5 月)月考数学(文科)答案
1~6 BCCBDC 13. 7~12 BBDDBB 14. 8
2

7 25

15. 4

16. (0,2)

17. (1)依题意, b ? ac

. -------------------3 分 13 169 1 1 cos A cos C sin( A ? C ) sin B 5 169 13 ? ? ? ? ? ? ? ? . --6 分 tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin A sin C 13 25 5 (2)由 ac cos B ? 12 知 cos B ? 0. 5 12 由 sin B ? , 得 cos B ? ? . (舍去负值)-------------------------------8 分 13 13 12 从而, b 2 ? ac ? ? 13 . ------------------ -----------------9 分 cos B
由余弦定理,得 b ? ( a ? c ) ? 2 ac ? 2 ac cos B.
2 2

由正弦定理及 sin B ?

5

, 得 sin A sin C ? sin 2 B ?

25

代入数值,得 13 ? ( a ? c ) 2 ? 2 ? 13 ? (1 ? 解得: a ? c ? 3 7 . ------------------------18 解:(1) 77.5;

12 13

).

------------12 分

………………………………………5 分 ………………………10 分 …………12 分

(2) 所求为:直线 x ? 72 与直线 x ? 84 之间的直方图的面积 ? 40 , 因此, 3 ? 0.035 ? 5 ? 0.045 ? 4 ? 0.040 ) ? 40 ? 19 .6 (

答:这 40 名学生的成绩在 ?72, 84 ? 之间的有 20 人. (答 19 人也算对) 19.解:

Com]

5

20.解:(Ⅰ)有题意

| x?2| ( x ? 1) 2 ? y 2

?

2,

………………2 分

整理得

x2 2

? y 2 ? 1 ,所以曲线 C 的方程为

x2 2

? y 2 ? 1 ………………4 分

(Ⅱ)显然直线 l 的斜率 k 存在,所以可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) . 设点 E , F 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), 线段 EF 的中点为 G ( x0 , y0 ) ,

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?2
得 (1 ? 2 k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0
2 2 2 2

由 ? ? (8k ) ? 4(1 ? 2 k )(8k ? 2) ? 0 解得 ?
2 2 2 2

2 2

?k?

2 2

.…(1) …………7 分

由韦达定理得 x1 ? x2 ?

?8k 2 1 ? 2k 2

,于是

x0 ?

x1 ? x2 2

=?

4k 2 1 ? 2k
2

, y0 ? k ( x0 ? 2) ?

2k 1 ? 2k 2

……………8 分

因为 x0 ? ?

4k 2 1 ? 2k 2

? 0 ,所以点 G 不可能在 y 轴的右边,

又直线 C1 B2 , C1 B1 ,方程分别为 y ? x ? 1, y ? ? x ? 1 所以点 G 在正方形内(包括边界)的充要条件为

? 2k ?4 k 2 ? ?1 ? ? y 0 ? x0 ? 1 ?1 ? 2 k 2 1 ? 2 k 2 即? ? 2 ? y 0 ? ? x0 ? 1 ? 2k ? 4k ? 1 ?1 ? 2 k 2 1 ? 2 k 2 ?
解得 ?

? 2 k 2 ? 2 k ? 1 ? 0, ? 亦即 ? 2 ………………10 分 ? 2 k ? 2 k ? 1 ? 0. ?

3 ?1 2

?k?

3 ?1 2

,……………(2)

由(1) (2)知,直线 l 斜率的取值范围是 [ ? 21.解: (Ⅰ)将 x ? ?1 代入切线方程得 y ? ?2

3 ?1 2

,

3 ?1 2

]. ………………12 分

6

∴ f ( ?1) ?

b?a 1?1

? ?2 ,化简得 b ? a ? ?4

…………………………………………

2分

f ?( x ) ?

a ( x 2 ? 1) ? ( ax ? b ) ? 2 x (1 ? x 2 ) 2

f ?( ?1) ?

2 a ? 2 (b ? a ) 4

?

2b 4

?

b 2

? ?1

解得: a ? 2, b ? ?2 . ∴ f ( x) ?

2x ? 2 x2 ?1

.

………………………………

6分

(Ⅱ)由已知得 ln x ?
2

2x ? 2 x2 ?1

在 [1,?? ) 上恒成立

化简 ( x ? 1) ln x ? 2 x ? 2 即 x 2 ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ? 0 在 [1,?? ) 上恒成立 设 h ( x ) ? x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ,
2

h ?( x ) ? 2 x ln x ? x ?
∵x ?1

1 x

?2
x? 1 x ? 2 ,即 h ?( x ) ? 0

…………………………

10 分

∴ 2 x ln x ? 0,

∴ h(x ) 在 [1,?? ) 上单调递增, h( x ) ? h(1) ? 0 ∴ g ( x ) ? f ( x ) 在 x ? [1,?? ) 上恒成立 22.解: (Ⅰ)当 a ?
…………………………………………

12 分

?
3

时,C1 的普通方程为 y ?

3 ( x ? 1) ,C2 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1 ,

联立方程组 ?

? y ? 3 ( x ? 1) ? ?x 2 ? y 2 ? 1 ?

, 解 得 C1 与 C2 的 交 点 坐 标 为 ( 1 , 0 ) ,

1 3 ( ,? ) .――――5 分 2 2
( Ⅱ ) C1 的 普 通 方 程 为 x sin ? ? y cos ? ? sin ? ? 0 , A 点 坐 标 为

(sin 2 ? ,? sin ? cos ? ) ,

1 ? 2 ? x ? 2 sin ? , ? 故当 ? 变化时,P 点轨迹的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? y ? ? 1 sin ? cos ? , ? ? 2

7

P 点轨迹的普通方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ?

1

1 16



4

故 P 点轨迹是圆心为 ( ,0 ) ,半径为

1 4

1 的圆.――――10 4

23.解: (Ⅰ)由 f ( x ) ? 3 得 | x ? a |? 3 ,解得 a ? 3 ? x ? x ? 3 . 又已知不等式 f ( x ) ? 3 的解集为 ?x | ?1 ? x ? 5? ,所以 ?

?a ? 3 ? ?1 ?a ? 3 ? 5

,解得

a ? 2 .――――4 分
(Ⅱ)当 a ? 2 时, f ( x ) ?| x ? 2 | ,设 g ( x ) ? f ( x ) ? f ( x ? 5) , 于是

? ? 2 x ? 1, x ? ? 3, ? g ( x ) ? | x ? 2 | ? | x ? 3 | ? ? 5, ? 3 ? x ? 2 , ? 2 x ? 1, x ? 2 . ?
所以当 x ? ?3 时, g ( x ) ? 5 ;

――――6 分 当 ? 3 ? x ? 2 时, g ( x ) ? 5 ; 当 x ? 2 时,

g ( x) ? 5 .
综上可得, g ( x ) 的最小值为 5.―――9 分 从而若 f ( x ) ? f ( x ? 5) ? m ,即 g ( x ) ? m 对一切实数 x 恒成立, 则 m 的取值范围为(-∞,5].――――10 分

8


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