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2.3.2等比数列前n项和


预习案 2.3.2 等比数列的前 n 项和
【预习目标】 1.了解等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点。 2.能够运用公式解决简单的问题。 【知识链接】 1.等比数列的定义是什么? 2.等比数列的通项公式是什么? 【自学导引】: 自主学习课本第 48 页至 49 页例 1 前的部分内容,并完成以下问题。 如何推导等比数列的前 n 项和?

求等比数列前 n 项和需要注意什么?

【预习反馈】 1、 等比数列首项为 2,公比为 2,求这个数列的前 10 项和。

2、 等比数列 ?an ? 中 a2 ? 9, a5 ? 243 ,求 ?an ? 的前 4 项和。

3、 等比数列 ?an ? 的各项都是正数,若 a1 ? 81 , a5 ? 16 ,求它的前 5 项和。

4、 .等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , 前 3 项和 S3 ? 26 ,求公比 q。

通过预习你还有哪些疑惑?请你写出来。

学习案 2.3.2 等比数列的前 n 项和
【学习目标】 1.知识目标: 理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础 上能初步应用公式解决与之有关的问题 2.能力目标:通过对公式推导方法的探索与发现, 向学生渗透特殊到一般、 类比与转化、 分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能 力. 3.情感目标:培养学生学习数学的积极性,锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇 于创新的精神。 【重点和难点】 重点:等比数列 n 项和公式的理解、推导及应用 难点:灵活应用等比数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题 【学习方法】 自主学习 合作探究 【学习过程】 (一)问题引入:那个著名的国际象棋的故事告诉我们,等比数列的求和其结果是恐怖的, 一定要小心! (二)知识点梳理:

? na1 ? n 1. S n ? ? a1 (1 ? q ) ? ? 1? q

q ?1 q ?1

(三)思考与讨论: (1) 等比数列的前 n 项和的公式是怎么推出来? (2) 在对等比数列求和时为什么要讨论 q 是否等于 1? (3) 要确定一个等比数列的前 n 项和,需要知道几个独立的条件? (四)典例示范 例 1 等比数列{ an }的公比 q ?

1 , a8 ? 1 ,求前 8 项的和 S8 2

解:因为 a8 ? a1q 7 ,所以 a1 ? 2 ,因此 S 8 ?
7

a1 (1 ? q 8 ) ? 255 1? q

点拨:点拨: a1 , q, an , n, S n 这五个量知三求二,根据题意选取不同的公式。

例 2 求和 9 ? 99 ? 999 ? ? ? 999 ? 99 ? ? ? ? ?
n个9

分析:9,99,999,……不是等比数列,不能用公式求和,但可以转化成等比数列 解:原式= (10 ? 1) ? (10 ? 1) ? (10 ? 1) ? ? ? (10 ? 1) ? 10 ? 10 ? 10 ? ? ? 10 ? n
2 3 n 2 3 n

?

10(1 ? 10n ) 10(10n ? 1) ?n ? ?n 1 ? 10 9

例 3 某工厂去年 1 月份的产值为 a 元,月平均增长率为 p,(p>0)求这个工厂去年全年产 值的总和。 解:该工厂去年 2 月份的产值为 a(1 ? p) 元,3 月,4 月……的产值分别为 a(1 ? p) 2 ,

a[1 ? (1 ? p)12 ] a[(1 ? p)12 ? 1] ? a(1 ? p) ,? 因此去年全年的总产值为 S n ? 1 ? (1 ? p) p
3

(五) 【深化理解】

1 1 1 , , , ? 的前 10 项的和; 2 4 8 1023 S10 ? 512 2、计算 0.9 ? 0.99 ? 0.999? ? ? 0 .999 ? 99 ? ? ? ? ?
1、求等比数列 1,
n个9

分析: 0.9 ? 1 ?

1 1 2 1 3 , 0.99 ? 1 ? ( ) 0.999 ? 1 ? ( ) 10 10 10

3、已知数列{ an }是等比数列, S n 是其前 n 项和,试问

S n , S 2n ? S n , S3n ? S 2n , S 4n ? S3n , ……成等比数列吗?证明你的结论。

(六)归纳总结 (七)当堂检测 1、等比数列{ an }中, a3 ? 3S 2 ? 2, a4 ? 3S3 ? 2 ,则公比 q 等于 A 2 B ( )

1 2

C

4

1 D 4
( )

2、等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,若 S10 ? 10, S 20 ? 30, 则 S30 等于 A 70 B 90 C 100 D 120 (

3、在等比数列{ an }中,已知 a1 ? 3, an ? 96, S n ? 189,则 n 等于 A 4 B 5
2 3



C 6

D
n ?1

7

4、求数列 1,3a,5a ,7a ,?, (2n ? 1)a

的前 n 项和

2 解:当 a ? 1 时,数列变为 1,3,5,7,…, (2n-1),则 S n ? n 2 3 n?1 当 a ? 1 时, S n ? 1 ? 3a ? 5a ? 7a ? ? ? (2n ? 1)a

1 ○

aSn ? a ? 3a 2 ? 5a 3 ? 7a 4 ? ? ? (2n ? 1)a n

2 ○

1 -○ 2 得 S n ? aSn ? 1 ? 2a ? 2a 2 ? 2a 3 ? ? ? 2a n?1 ? (2n ? 1)a n ○

(1 ? a) S n ? 1 ? (2n ? 1)a n ?

2(a ? a n ) 1? a









a ?1







Sn ?

1 ? (2n ? 1)a n 2(a ? a n ) 。 ? 1? a (1 ? a) 2

练习案 2.3.2 等比数列的前 n 项和
巩固提高 A组 一.选择题: 1.等比数列 ?an ? 的各项都是正数,若 a1 ? 81 , a5 ? 16 ,则它的前 5 项和是 A.179 B.211 C.243 D.275 (C D.?3 或 4 ( D ) ) ( B )

2.等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , 前 3 项和 S3 ? 26 ,则公比 q 为 A.3 B.?4 C.3 或?4

3.等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 3n ? a ,则 a 等于

A.3 B.1 C.0 D.?1 4.已知各项为正的等比数列的前 5 项之和为 3, 前 15 项之和为 39, 则该数列的前 10 项之和 为( C )A.3 2 B.3 13 C.12 D.15 二.填空题: 5.等比数列 4,?2,1,???的前 10 项和是

341 128 1 n2 ? ( )n ? 1 2
27

. . .

1 1 1 ? 5 ? ??? ? [(2n ? 1) ? n ] ? 4 8 2 2 7.在等比数列 ?an ? 中, S4 ? 65 , q ? ,则 a1 ? 3
6. 1 ? 3 B组

1 2

1.在公比为整数的等比数列 ?an ? 中,如果 a1 ? a4 ? 18 , a2 ? a3 ? 12 ,则这个数列的前 8 项 之和 S8 ? A.513 B.512 C.510 D. ( C)

2. 在等比数列{an}中,an=2×3n-1,则数列中前 n 个偶数项的和等于………… ( D ) 1 3 A、3n-1 B、3(3n-1) C、 (9n-1) D、 (9n-1) 4 4 3.数列 1,1 ? 2,1 ? 2 ? 2 ,?,1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 2

225 8

A. 2

100

? 101

,? 的前 99 项和为 B. 2 ? 101
99

n?1

( A )

C. 2

100

? 99

D. 2 ? 99
99

4.数列 ?an ? 满足 a1 , a2 ? a1 , a3 ? a2 ,…, an ? an?1 是以 1 为首项, 则 ?an ? 的通项公式 an ?
3? ?1? ?1 ? ? ? 2? ?3? ?
n

1 为公比的等比数列, 3

? ? ? ?

5. 已知 lgx+lgx2+…+lgx10=110,则 lgx+lg2x+…+lg10x= 2046 6.求和 Sn=1+2x+3x2+…nxn-1 (x∈R) 1? xn nx n n(n ? 1) ? x=0 时 Sn=1;x=1 时 Sn= ;x≠1 时,Sn= (1 ? x ) 2 1 ? x 2

.


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