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2015-2016学年甘肃省天水一中高一(下)期末数学试卷(文科)解析版


2015-2016 学年甘肃省天水一中高一(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题(每题 4 分,共 40 分) 1. (4 分) (2016 春?广州校级期末)cos42°cos78°﹣sin42°sn78°=( A. B.﹣ C. D.﹣



2. (4 分) (2015 秋?济宁期末)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的

边分别为 a,b,c,若 b=2 .B=120°,C=30°,则 a=( ) A.1 B. C. D.2 3. (4 分) (2016 春?天水校级期末)已知向量 =(2,1) , =(﹣1,k) , ⊥ ,则实数 k 的值为( ) A.2 B.﹣2 C.1 D.﹣1 )= ,则 tan(α+ )

4. (4 分) (2015 秋?天津期末)已知 tan(α+β)= ,tan(β﹣ 的值为( A. B. ) C. D.

5. (4 分) (2016 春?天水校级期末)如图所示的是函数 y=2sin(ωx+φ) (|φ|< 图象,那么( )

)的部分

A.ω=

,φ=

B.ω=

,φ=﹣

C.ω=2,φ= sin(2x+

D.ω=2,φ=﹣ )的单调减区间为( )

6. (4 分) (2016 春?天水校级期末)函数 y=log

A. (kπ﹣ C. (kπ﹣

,kπ](k∈Z) ,kπ+

B. (kπ﹣

](k∈Z) ,kπ+ ](k∈Z) 个单位,再向上平移 1 个单位,

](k∈Z)

D. (kπ+

7. (4 分) (2009?山东)将函数 y=sin2x 的图象向左平移 所得图象的函数解析式是( A.y=2cos x B.y=2sin x C.
2 2

) D.y=cos2x

8. (4 分) (2015 秋?巢湖市期末)设 a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c=

,则 a,b,c

大小关系( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b 9. (4 分) (2016 春?天水校级期末)在一个港口,相邻两次高潮发生的时间相距 12h,低潮 时水深为 9m,高潮时水深为 15m.每天潮涨潮落时,该港口水的深度 y(m)关于时间 t(h) 的函数图象可以近似地看成函数 y=Asin(ωt+φ)+k 的图象,其中 0≤t≤24,且 t=3 时涨潮 到一次高潮,则该函数的解析式可以是( ) A. C. B. D.

10. (4 分) (2015 秋?抚州期末)若 x 是三角形的最小内角,则函数 y=sinx+cosx﹣sinxcosx 的最小值是( ) A.﹣ + B. + C.1 D.

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 11. (5 分) (2006?重庆)已知 ,则 = . ,AB=2,AC=4, = , ,

12. (5 分) (2016 春?驻马店期末)已知在△ABC 中,∠A= = , = ,则 ? 的值为 .

13. (5 分) (2016 春?天水校级期末)在△ABC 中,若 tan 的周长的取值范围 .

=2sinC 且 AB=3,则△ABC

14. (5 分) (2016 春?天水校级期末)对函数 说法: ①f(x)的周期为 4π,值域为[﹣3,1]; ②f(x)的图象关于直线 ③f(x)的图象关于点 ④f(x)在 对称; 对称; 上单调递增;

,有下列

⑤将 f(x)的图象向左平移 其中正确的是

个单位,即得到函数

的图象.

. (填上所有正确说法的序号) .

三、解答题(每题 10 分,共 40 分) 15. (10 分) (2016 春?天水校级期末)已知平面向量 =(1,x) , =(2x+3,﹣x) (x∈R) . (1)若 ∥ ,求| ﹣ | (2)若 与 夹角为锐角,求 x 的取值范围. 16. (10 分) (2016 春?天水校级期末)已知函数 f(x)=2sinx?cosx+2 cos x﹣ (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调减区间; (2)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,其中 a=7,若锐角 A 满足 f ( ﹣ )= ,且 sinB+sinC= ,求 bc 的值.
2

17. (10 分) (2016 春?天水校级期末)如图,某城市有一条公路正西方 AO 通过市中心 O 后转向北偏东 α 角方向的 OB,位于该市的某大学 M 与市中心 O 的距离 OM=3 km,且 ∠AOM=β,现要修筑一条铁路 L,L 在 OA 上设一站 A,在 OB 上设一站 B,铁路在 AB 部 分为直线段,且经过大学 M,其中 tanα=2,cosβ= (1)求大学 M 在站 A 的距离 AM; (2)求铁路 AB 段的长 AB. ,AO=15km.

18. (10 分) (2016 春?天水校级期末) (1)已知 cos(α+ (2)已知 α,β 都是锐角,且 cosα= ,cosβ=

)= ,且

<α<

,求 cosα;

,求 α+β.

2015-2016 学年甘肃省天水一中高一(下)期末数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 4 分,共 40 分) 1. (4 分) (2016 春?广州校级期末)cos42°cos78°﹣sin42°sn78°=( A. B.﹣ C. D.﹣



【分析】利用两角和的余弦公式,诱导公式,求得所给式子的值. 【解答】解:cos42°cos78°﹣sin42°sn78°=cos(42°+78°)=cos120°=﹣cos60°=﹣ , 故选:B. 【点评】本题主要考查两角和的余弦公式,诱导公式的应用,属于基础题. 2. (4 分) (2015 秋?济宁期末)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 b=2 .B=120°,C=30°,则 a=( ) A.1 B. C. D.2 【分析】由已知利用正弦定理可求 c 的值,利用三角形内角和定理可求 A,再利用余弦定理 即可解得 a 的值. 【解答】解:∵b=2 .B=120°,C=30°,

∴由正弦定理可得:c=

=

=2,

∴A=180°﹣B﹣C=30°, ∴利用余弦定理可得:a =b +c ﹣2bccosA=12+4﹣2×
2 2 2

=4,解得:a=2.

故选:D. 【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形内角和定理在解三角形中的应用,属 于基础题.

3. (4 分) (2016 春?天水校级期末)已知向量 =(2,1) , =(﹣1,k) , ⊥ ,则实数 k 的值为( ) A.2 B.﹣2 C.1 【分析】根据条件 【解答】解:∵ ∴ ; D.﹣1 便有 ; ,进行向量数量积的坐标运算便可得出 k 的值.

∴k=2. 故选:A. 【点评】考查向量坐标的定义,以及向量垂直的充要条件,向量数量积的坐标运算.

4. (4 分) (2015 秋?天津期末)已知 tan(α+β)= ,tan(β﹣ 的值为( A. B. ) C. D.

)= ,则 tan(α+



【分析】直接利用两角和的正切函数化简求解即可. 【解答】解:tan(α+β)= ,tan(β﹣ )= ,

则 tan (α+

) =tan ( (α+β) ﹣ (β﹣

) ) =

=

=



故选:C. 【点评】本题考查两角和与差的三角函数的应用,考查计算能力.

5. (4 分) (2016 春?天水校级期末)如图所示的是函数 y=2sin(ωx+φ) (|φ|< 图象,那么( )

)的部分

A.ω=

,φ=

B.ω=

,φ=﹣

C.ω=2,φ=

D.ω=2,φ=﹣ ,即可求 ,k∈

【分析】根据图形,由函数 y=2sin(ωx+φ)的图象经过点(0,1) ,结合|φ|< 出 φ 的值,又函数经过点( ,0) ,由 ω+ =kπ,k∈Z,可得 ω=

Z,对比选项即可得解. 【解答】解:∵函数 y=2sin(ωx+φ)的图象经过点(0,1) , ∴1=2sinφ,解得:sinφ= , ∵|φ|< ∴φ= , ,

又∵y=2sin(ωx+φ)的图象经过点( ∴0=2sin( ∴解得: ω+ ω+ ) ,

,0) ,

=kπ,k∈Z,可得:ω= .

,k∈Z,

∴当 k=1 时,可得:ω=

故选:A. 【点评】本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查了数形结合思 想的应用,属于基础题.

6. (4 分) (2016 春?天水校级期末)函数 y=log

sin(2x+

)的单调减区间为(



A. (kπ﹣ C. (kπ﹣

,kπ](k∈Z) ,kπ+

B. (kπ﹣

](k∈Z) ,kπ+ ](k∈Z)

](k∈Z)

D. (kπ+

【分析】由题意可得,本题即求函数 t=sin(2x+ 合正弦函数的图象可得 2kπ+0<2x+ 【解答】解:函数 y=log sin(2x+ ≤2kπ+

)在满足 t>0 时,函数 t 的增区间,结 ,k∈z,解得 x 的范围,可得结论.

)的单调减区间,

即函数 t=sin(2x+

)在满足 t>0 时,函数 t 的增区间, ≤2kπ+ ,k∈z, , kπ+ ],

结合正弦函数的图象可得 2kπ+0<2x+ 解得 kπ﹣ <x≤kπ+

, 故在满足 t>0 的条件下, 函数 t 的增区间为 (kπ﹣

k∈z, 故选:C. 【点评】本题主要考查复合函数的单调性,对数函数、正弦函数的图象性质,体现了转化的 数学思想,属于中档题.

7. (4 分) (2009?山东)将函数 y=sin2x 的图象向左平移 所得图象的函数解析式是( A.y=2cos x B.y=2sin x C.
2 2

个单位,再向上平移 1 个单位,

) D.y=cos2x

【分析】按照向左平移,再向上平移,推出函数的解析式,即可.

【解答】解:将函数 y=sin2x 的图象向左平移 得到函数 =cos2x 的图象,

个单位,

再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 y=1+cos2x=2cos x, 故选 A. 【点评】本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查图象变化,是基础题. 8. (4 分) (2015 秋?巢湖市期末)设 a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c= ,则 a,b,c

2

大小关系( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b 【分析】利用两角和的正弦公式对 a 和 b 进行化简,转化为正弦值的形式,再由正弦函数的 单调性进行比较大小. 【解答】 解: 由题意知, a=sin14°+cos14°= 同理可得,b=sin16°+cos16°= , = , = ,

∵y=sinx 在(0,90°)是增函数,∴sin59°<sin60°<sin61°, ∴a<c<b, 故选 D. 【点评】本题考查了比较式子大小的方法,一般需要把各项转化统一的形式,再由对应的性 质进行比较,考查了转化思想. 9. (4 分) (2016 春?天水校级期末)在一个港口,相邻两次高潮发生的时间相距 12h,低潮 时水深为 9m,高潮时水深为 15m.每天潮涨潮落时,该港口水的深度 y(m)关于时间 t(h) 的函数图象可以近似地看成函数 y=Asin(ωt+φ)+k 的图象,其中 0≤t≤24,且 t=3 时涨潮 到一次高潮,则该函数的解析式可以是( ) A. C. B. D.

【分析】高潮时水深为 A+K,低潮时水深为﹣A+K,联立方程组求得 A 和 K 的值,再由相 邻两次高潮发生的时间相距 12h,可知周期为 12,由此求得 ω 值,再结合 t=3 时涨潮到一次 高潮,把点(3,15)代入 y=Asin(ωx+φ)+K 的解析式求得 φ,则函数 y=f(t)的表达式 可求. 【解答】解:依题意, 又 T= ∴ω= . , ,解得 ,

又 f(3)=15,

∴3sin( ∴sin( ∴φ=0,

+φ)+12=15, +φ)=1.

∴y=f(t)=3sin

t+12.

故选:A. 【点评】本题是应用题,考查 y=Asin(ωx+φ)+K 型函数的图象和性质,关键是对题意的理 解,是中档题. 10. (4 分) (2015 秋?抚州期末)若 x 是三角形的最小内角,则函数 y=sinx+cosx﹣sinxcosx 的最小值是( ) A.﹣ + B. + C.1 D.

【分析】令 sinx+cosx=t,则 sinxcosx=

,则 y 是关于 t 的二次函数,根据 x 的范围得

出 t 的范围,利用二次函数性质推出 y 的最小值. 【解答】解:令 sinx+cosx=t,则 sinxcosx= ∵x 是三角形的最小内角,∴x∈(0, ∴当 t= 时,y 取得最小值 . ,∴y=t﹣ =﹣ (t﹣1) +1. sin(x+ ) ,∴t∈(1, ],
2

],∵t=sinx+cosx=

故选:A. 【点评】 本题考查了三角函数的恒等变换, 三角函数的最值, 二次函数的性质, 属于中档题. 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 11. (5 分) (2006?重庆)已知 ,则 【分析】α+ =(α+β)﹣(β﹣ = . ,

) ,进而通过正弦函数的两角和公式得出答案. ,

【解答】解:已知 , ∴ ∴ = , , ,



= = 故答案为:﹣ 【点评】本题主要考查正弦函数两角和公式的运用.注意熟练掌握公式.

12. (5 分) (2016 春?驻马店期末)已知在△ABC 中,∠A= = , = ,则 ? 的值为 ﹣ .

,AB=2,AC=4,

=



【分析】首先建立平面直角坐标系,根据向量间的关系式,求出向量的坐标,最后求出向量 的数量积. 【解答】解:在△ABC 中,∠A= 建立直角坐标系,AB=2,AC=4, 根据题意得到: 则:A(0,0) ,F(0,1) ,D(1, ) ,E(2,0) 所以: 所以: 故答案为:﹣ 【点评】本题考查的知识要点:直角坐标系中向量的坐标运算,向量的数量及运算,属于基 础题型. , , = , = , = ,

13. (5 分) (2016 春?天水校级期末)在△ABC 中,若 tan

=2sinC 且 AB=3,则△ABC

的周长的取值范围 (4,5] . 【分析】利用三角形的三角和为 π 及三角函数的诱导公式化简已知的等式,利用三角形中 内角的范围,求出∠C 的大小,三角形的正弦定理将边 BC,CA 用角 A 的三角函数表示, 利用两角差的正弦公式展开,再利用三角函数中的公式 asinα+bcosα= sin(α+θ)将

三角形的周长化简成 y=Asin(ωx+φ)+k 形式,利用三角函数的有界性求出△ABC 周长的 取值范围.

【解答】解:由 tan

=2sinC 及

=

﹣ ,得 cot =2sinC,



=4sin cos

∵0< < ∴sin
2

,cos >0,sin >0,

= ,sin = , , , = sinA+ = = sin( , ﹣A)

∴ = ∴C=

在△ABC 中,由正弦定理,得: △ABC 的周长 y=AB+BC+CA=3+ =3+ ( sinA+ ) , < , )≤1, cosA)

=3+2sin(A+ ∵ <A+

∴ <sin(A+

所以,△ABC 周长的取值范围是(4,5]. 故答案为: (4,5]. 【点评】 解决三角函数的取值范围问题一般利用三角函数的诱导公式、 两个角的和、 差公式、 倍角公式以及公式 asinα+bcosα= 式,本题属于中档题. sin(α+θ)将三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k 形

14. (5 分) (2016 春?天水校级期末)对函数 说法: ①f(x)的周期为 4π,值域为[﹣3,1]; ②f(x)的图象关于直线 ③f(x)的图象关于点 ④f(x)在 对称; 对称; 上单调递增;

,有下列

⑤将 f(x)的图象向左平移

个单位,即得到函数

的图象.

其中正确的是 ①②④ . (填上所有正确说法的序号) . 【分析】由条件利用正弦函数的图象和性质以及函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,从 而得出结论. 【解答】解:对函数 ,他的周期为 =4π,值域为[﹣

3,1],故①正确. 当 x= 当 x=﹣ 时,f(x)=1,为最大值,故 f(x)的图象关于直线 对称,故②正确. 对称,

时,f(x)=﹣1,不是函数的最值,故故 f(x)的图象不关于直线

故③错误. 在 f(x)在 将f (x) 的图象向左平移 上, x+ ∈(﹣ , ) ,故 f(x)=2sin( x+ )单调递增,故

上单调递增,故④正确. 个单位, 即可得到函数 y=2sin[ (x+ ) + ]=2sin ( x+ )

的图象,故⑤错误, 故答案为:①②④. 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属 于基础题. 三、解答题(每题 10 分,共 40 分) 15. (10 分) (2016 春?天水校级期末)已知平面向量 =(1,x) , =(2x+3,﹣x) (x∈R) . (1)若 ∥ ,求| ﹣ | (2)若 与 夹角为锐角,求 x 的取值范围. 【分析】 (1)根据向量平行与坐标的关系列方程解出 x,得出 坐标,再计算| (2)令 |; 得出 x 的范围,再去掉 同向的情况即可. 的坐标,再计算 的

【解答】解: (1)∵

,∴﹣x﹣x(2x+3)=0,解得 x=0 或 x=﹣2. =(﹣2,0) ,∴| |=2. |=2 .

当 x=0 时, =(1,0) , =(3,0) ,∴

当 x=﹣2 时, =(1,﹣2) , =(﹣1,2) ,∴

=(2,﹣4) ,∴|

综上,|

|=2 或 2

. ,

(2)∵ 与 夹角为锐角,∴ ∴2x+3﹣x >0,解得﹣1<x<3. 又当 x=0 时, ,
2

∴x 的取值范围是(﹣1,0)∪(0,3) . 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算,数量积运算,向量平行与坐标的关系,属于中档 题. 16. (10 分) (2016 春?天水校级期末)已知函数 f(x)=2sinx?cosx+2 cos x﹣ (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调减区间; (2)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,其中 a=7,若锐角 A 满足 f ( ﹣ )= ,且 sinB+sinC= ,求 bc 的值.
2

【分析】 (1)f(x)解析式利用二倍角正弦、余弦函数公式化简,再利用两角和与差的正弦 函数公式化为一个角的正弦函数,找出 ω 的值,代入周期公式求出最小正周期,由正弦函 数的单调性确定出 f(x)的单调递减区间即可; (2)由 f(x)解析式,以及 f( ﹣ 用正弦定理化简,求出 bc 的值即可. 【解答】解: (1)f(x)=2sinx?cosx+2 ∵ω=2,∴f(x)的最小正周期 T=π, ∵2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, ,kπ+ )+ ],k∈Z; ]=2sinA= ,即 sinA= , cos x﹣
2

)=

,求出 A 的度数,将 sinB+sinC=

,利

=sin2x+

cos2x=2sin(2x+

) ,

∴f(x)的单调减区间为[kπ+ (2)由 f( ﹣ ∵A 为锐角,∴A= 由正弦定理可得 2R=

)=2sin[2( ﹣ , = =

,sinB+sinC=

=



∴b+c=

×

=13,

由余弦定理可知:cosA=

=

= ,

整理得:bc=40. 【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及三角函数中的恒等变换应用,熟练掌握定理是解 本题的关键.

17. (10 分) (2016 春?天水校级期末)如图,某城市有一条公路正西方 AO 通过市中心 O 后转向北偏东 α 角方向的 OB,位于该市的某大学 M 与市中心 O 的距离 OM=3 km,且 ∠AOM=β,现要修筑一条铁路 L,L 在 OA 上设一站 A,在 OB 上设一站 B,铁路在 AB 部 分为直线段,且经过大学 M,其中 tanα=2,cosβ= (1)求大学 M 在站 A 的距离 AM; (2)求铁路 AB 段的长 AB. ,AO=15km.

【分析】 (1)在△AOM 中,利用已知及余弦定理即可解得 AM 的值; (2)由 cos ,且 β 为锐角,可求 sinβ,由正弦定理可得 sin∠MAO,结合 tanα=2,

可求 sinα,cosα,sin∠ABO,sin∠AOB,结合 AO=15,由正弦定理即可解得 AB 的值. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (1)在△AOM 中,A0=15,∠AOM=β,且 cosβ=
2 2 2

,OM=3
2


2

由余弦定理可得:AM =OA +OM ﹣2OA?OM?cos∠AOM=(3 × =72. ,大学 M 在站 A 的距离 AM 为 6 ,且 β 为锐角,∴sinβ= = , ,即 = km…6 分

) +15 ﹣2×

×15

所以可得:AM=6 (2)∵cos

在△AOM 中,由正弦定理可得:

,∴sin∠

MAO=

, ,∴∠ABO=α﹣ ,cosα= )= , , , . = ,即 ,∴解得

∴∠MAO=

∵tanα=2,∴sin ∴sin∠ABO=sin(

又∵∠AOB=π﹣α,∴sin∠AOB=sin(π﹣α)= 在△AOB 中,AO=15,由正弦定理可得:

AB=30

,即铁路 AB 段的长 AB 为 30

km…12 分

【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,同角三角函数关系式,诱导公式的应用,考 查了学生运用所学知识解决实际问题的能力,属于中档题.

18. (10 分) (2016 春?天水校级期末) (1)已知 cos(α+ (2)已知 α,β 都是锐角,且 cosα= ,cosβ=

)= ,且

<α<

,求 cosα;

,求 α+β.

【分析】利用同角三角函数的基本关系,两角差的正余弦公式,求得要求式子的值. 【解答】解: (1)∵ 又 cos(α+ <α< ,∴ )= <α+ , )cos +sin(α+ ) < ,

)= ,∴sin(α+ )﹣ =

∴cosα=cos[(α+ sin = +

]=cos(α+ .

(2)∵已知 α,β 都是锐角,∴α+β∈(0,π) ,∵cosα= ∴sinα= = ,sinβ= , =

,cosβ= ,



∴cos(α+β)=cosα?cosβ﹣sinα?sinβ=﹣ ∴α+β= .

【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系, 两角差的正余弦公式的应用, 属于基础题.


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