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1.3.1二项式定理(一)


复 习:
(a+b
(a+b

)2
)3

= a + 2ab + b
3 2

2

2

= a + 3a b + 3ab + b

2

3

思考:(a+b)4的展开式是什么?

复 习:
(a+b
(a+b

)2
)3

= a + 2ab + b
3 2

2

2

= a + 3a b + 3ab + b

2

3

次数:各项的次数等于二项式的次数

项数:次数+1

对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2= (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为:a2 , ab , b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。

考虑b
每个都不取b的情况有1种,即C20 ,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种,则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种,则b2前的系数为C22

(a+b)2 = a2 +2ab+b2 =C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3

(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)=?

问题:
1).(a+b)4展开后各项形式分别是什么? a4 a3b a2b2 ab3 b4 2).各项前的系数代表着什么?

各项前的系数 代表着这些项在展开式 中出现的次数
3).你能分析说明各项前的系数吗?

3).你能分析说明各项前的系数吗? a4 a3b a2b2 ab3 b4

每个都不取b的情况有1种,即C40 ,则a4前的系数为C40 恰有1个取b的情况有C41种,则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种,则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种,则ab3前的系数为C43

恰有4个取b的情况有C44种,则b4前的系数为C44
则 (a+b)4 =C40 a4 +C41 a3b +C42 a2b2 +C43 ab3 +C44 b4

(a+b)n的展开式是:
(a+b ) n=

C a + C a b + C a b +? +C a b
n-1 1 n n-1

0 n n

1 n-1 n

2 n-2 n

2

+C b

n n

n

二项定理
一般地,对于n ?N*有
0 n 1 n ?1 2 n? 2 2 ( a ? b )n ? C n a ? Cn a b ? Cn a b ?

?? C a
r n

n? r

b ??? C b
r n n

n

定理的证明
(a+b)n是n个(a+b)相乘, 每个(a+b)在相乘时有两种 选择,选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能 得到展开式的一项。 由分步计数原理可知展开式共有2n项 (包括同类项),

其中每一项都是akbn-k的形式,k=0,1,…,n;
对于每一项akbn-k,它是由k个(a+b)选了a,n-k个(a+b) 选了b得到的,它出现的次数相当于从n个(a+b)中取 k个a的组合数,将它们合并同类项,就得二项展开 式,这就是二项式定理。

二项式定理: 对于任意n ∈ N
n 0 n n 1 n n-1 r n n-r r

*

(a + b) = C a + C a b + C a b + ? + C a b +? + C b
注:(1) 上式右边为二项展开式, 各项次数都等于二项式的次数 (2) 展开式的项数为 n+1 项; (3) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0 字母b按升幂排列,次数由0递增到n (4)二项式系数可写成组合数的形式, 组合数的下标为二项式的次数 组合数的上标由0递增到n
n n n

2 n

n-2

2

二项式定理: n ∈ N
n 0 n n 1 n

*

(a + b) = C a + C a b + C a b + ? + C a b +? + C b
(5) 展开式中的第 r + 1 项,
即通项
r n-r r Tr+1 =__________ ; n
r n n-r r n n n

n-1

2 n

n-2

2

Ca b C

(6) 二项式系数为

r ______ ; n

项的系数为二项式系数与数字系数的积

在二项式定理中,令a=1,b=x,则有:

(1 + x) = 1 + C x + C x + ? + C x + ? + C x
在上式中,令 x = 1,则有:

n

1 n

2 2 n

r r n

n n n

2 = C + C + C +?+ C +?+ C

n

0 n

1 n

2 n

r n

n n

例1(1)展开 (2)展开

1 4 (1 ? ) x 1 6 (2 x ? ) x
7

(3)求(1+2x) 的展开式中第4项的系数;第 4项的二项式系数;第4项。 1 (4)求(x- )9的展开式中x3的系数。 x

x 3 9 ) 的展开式常数项; 例2(1)求 ( ? 3 x
王新敞
奎屯 新疆

x 3 9 ) 的展开式的中间两项. (2)求 ( ? 3 x

练习 1.求(2a+3b)6的展开式的第3项. 2.求(3b+2a)6的展开式的第3项. 3.写出 ( x ?
3

1 2 x
3

) 的展开式的第r+1项.

n

4.用二项式定理展开: 9 3 (1) (a ? b ) ;

x 2 7 ) . (2) ( 2 ? x
5.化简: (1) (1 ?

x ) ? (1 ? x )
5
? 1 2 4 1 2

5


? 1 2 4

(2)(2x ? 3x

1 2

) ? (2x ? 3x )


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