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3椭圆的第二定义课件


标准方程 范围

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称

|x|≤ b,|y

|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前

对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系

(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b

c e ? a

a2=b2+c2

同前

二.问题探究,构建新知 例:已知动点P到定点(4,0)的距离与到定直线

4 25 x ? 的距离之比等于 ,求动点P的轨迹. 4 5
问1:椭圆的焦点坐标和离心率分别是什么? 问2:将上述问题一般化,你能得出什么猜想? 若动点P(x,y)和定点F(c,0)的距离与它 2 c a 到定直线l:x ? 的距离的比是常数 e? a c (0<c<a),则动点P的轨迹是椭圆.

二.问题探究,构建新知

猜想证明
y P 0
F (c,0)

证明:设p(x,y)由已知,得

( x ? c) 2 ? y 2 c ? 2 a a | ?x | c
将上式两边平方并化简得:

x

2 2 x y 设a 2 ? c 2 ? b 2 则原方程可化为: a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0)

(a ? c ) x ? a y ? a (a ? c )
2 2 2 2 2 2 2 2

a2 x? c

这是椭圆的标准方程,所以P点的轨迹是长轴长为2a, 短轴长为 2b 的椭圆.

二.问题探究,构建新知

概念分析

由此可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直 c F -c ,, 0 ) 2 线的距离的比是一个常数 时 这个点的 e ? (0 M ?e ?1 ) ?( 能不能说 到 a a 的距离与到直线 x ? 轨迹是椭圆,这就是椭圆的第二定义,定点是椭圆的 c 的距离比也是离 焦点,定直线叫做椭圆的准线 心率,, e常数 呢? e是椭圆的离心率. y 2 2
M
F ?(?c,0) 0
F (c,0)

x y 对于椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
a2 方程是 x ? c

相应于焦点 F (c,0) 的准线 x

a x?? c

2

a2 x? c

由椭圆的对称性,相应于焦点

a2 F ?(?c,0) 的准线方程是 x ? ? c

二.问题探究,构建新知
左 准 线

y
2

a x?? c

2

y
P

右 a x ? 准 c 线

上 准 线

a2 y? c

P

F2
O

x
a2 y?? c

F1

O

F2

x
下 准 线

F1

a2 左焦点(-c,0), 左准线 x ? ? c

x y ? ? 1?a ? b ? 0? 2 2 a b

2

2

y2 x2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b a2 下焦点(0,-c), 下准线 y ? ? c a2 上焦点(0,c), 上准线 y ? c

右焦点(c,0),

a2 右准线 x ? c

三.知识迁移,深化认识

例1:求下列椭圆的焦点坐标和准线 2 2 y x __ 2+y2=8 (1) __ (2) 2 x + =1 100 36
25 __ 解: (1)焦点坐标:(-8,0),(8,0). 准线方程: x= ± 2 (2)焦点坐标:(0,-2),(0,2). 准线方程:y= ±4

三.知识迁移,深化认识

例2 求中心在原点,一条准线方程是x=3, 5 离心率为 的椭圆标准方程.
x 解:依题意设椭圆标准方程为 2 a
由已知有
5 c ? ?a ? 3 ? a2 ? ? c ?3
2

3

2

? b2 ? 1(a ? b ? 0)
5 3

y2

解得a= 5 c=

?b ? a ? c ? 20 9
2 2

? 所求椭圆的标准方程为

x 5

2

?

y

2

20 9

?1

三.知识迁移,深化认识
x2 y2 例3 椭圆方程为 ? ? 1 ,其上有一点P,它 100 64

到右焦点的距离为14,求P点到左准线的距离.
解:由椭圆的方程可知 由第一定义可知:

c 3 a ? 10, b ? 8,? c ? 6, e ? ? a 5

y

| PF1 |? 2a? | PF2 |? 20 ? 14 ? 6
由第二定义知:

d1 P
F1

d2
0
F2

PF1 d1

? e ? d1 ?

PF1 e

x

? 10

三.知识迁移,深化认识

x2 y2 ? ? 1 内有一点P(1,-1),F为右焦 例4 :若椭圆 4 3 点,在该椭圆上求一点M,使得 MP ? 2 MF 最小,
并且求最小值. y

1 e? 2

F
O P M

?2 6 ? ? M? , ? 1 ? 3 ? ? ?

x

d min ? 3

x?4

迁移延伸
x2 y 2 P(x0,y0)是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点, a b

e是椭圆的离心率. 证明: |PF2|=a-ex0,|PF1|=a+ex0

迁移延伸
证明:
? PF1 PP1
PF2 PP2

P1

P ( x 0 , y0 )
F1 F2

.

P2

?e
?e

a2 ? PF1 ? e PP1 ? e( x0 ? ) ? a ? ex0 c
a2 ? PF2 ? e PP2 ? e( ? x0 ) ? a ? ex0 c

?

焦半径公式: |PF2|=a-ex0,|PF1|=a+ex0

当堂检测
2 2 y x __ 1.椭圆 __ + 上一点P到一个焦点的距离为3,则 =1 25 16

它到相对应的准线的距离为

.

2.点P与点F(2,0)的距离是它到直线x=8的距离的一半,

则点P的轨迹方程为

.

3. 设AB是过椭圆焦点F的弦,以AB为直径的圆与F所 对应的准线的位置关系是( A.相离 B.相切 C.相交

A

) D.无法确定

课堂小结
1.椭圆的第二定义 转化 到焦点的距离 到相应准线的距离 2.焦半径公式

PF1 = a + ex1

PF2 = a - ex1

当堂检测
2 2 x y 4.已知椭圆 上的三点的横坐标 ? ? 1( a ? b ? 0) a 2 b2

成等差数列,求证这三点到同一焦点的距离也成等差
数列.


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