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等比数列的前n项和


复习:
等差数列 等比数列

定义
通项公式

an?1 ? an ? d
an ? a1 ? (n ? 1)d
an ? am ? (n ? m)d
m?n ? r ? s

an ?1 ?q an

an ? a1q n?m an ? am q<

br />(m, n, r, s ? N * )

n ?1

性质

am ? an ? ar ? as
Sn

n(a1 ? an ) Sn ? 2 n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

am an ? ar as

国王赏麦的故事

问题:如何来求麦子的总量? 即求:1,2,22,··,263的和; ·· ·· 根据统计资料显示,全

中间各数 均为0

世界小麦的年产量约为6 令:S64=1+2+22+······+262+263 亿吨,就是说全世界都 要1000多年才能生产这2 3 得: 2S64= 2+2 +2 +······ +263+264 么多小麦,国王无论如 64 何是不能实现发明者的 S 错位相减得: 64 ? ?1 ? 0 ? 0 ? ?? 0 ? 2 要求的.


S64= 264 – 1 > 1.8 ×1019 以小麦千粒重为40麦子质量超过7300亿吨!
麦粒总质量达7300亿吨——国王是拿不出的。

探 等比数列{an }的首项为a1,公比为q 究 新 如何求它的前n项和Sn呢? 知
探究活动一: 探究等比数列求和的方法,准备 交流展示

思路1

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ???? ? an?1 ? an
由通项公式,上式可写为

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ????? a1q ? a1q ① 2 n ?2 n?1 n a1q ? a1q ??? a1q ? a1q ? a1q ② qSn ?
2

n ?2

n?1



② 得 1 ? q)Sn (

? a1 ? 0 ? 0 ????? 0 ? a1q
n

n

( ? q)Sn ? a1 ? a1q 1
错位相减法

常数列

思路2

等比定理

a3 an a2 等比数列定义: ? ??? ?q a1 a2 an?1
由比例,得

a1 ? an q 当q ? 1时, S n ? 1? q 当q ? 1时,Sn ? na1

S n ? a1 即 ?q S n ? an ?(1 ? q)Sn ? a1 ? an q

a2 ? a3 ? ? ? an ?q a1 ? a2 ? ? ? an?1

思路3
2

方程思想
n?1
n? 2

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ?? a1q
? a1 ? q(a1 ? a1q ? ?? a1q

)

? a1 ? qSn?1

? Sn ? a1 ? q( Sn ? an ) 即(1 ? q)Sn ? a1 ? an q

Sn?1

a1 ? an q 当q ? 1时, S n ? 1? q 当q ? 1时,Sn ? na1

结论

等比数列前n项和公式

? a (1 ? q n ) a ? an q ? 1 (q ? 1) ? 1 ? 1? q Sn ? ? 1 ? q ? na (q ? 1) ? 1 ?

小结

1. “错位相减法”不仅可以推导等比数 列求和公式,而且可以用来求一类特殊 数列的和.
2. S n =
a1(1 - q ) 1- q
n

=

a1 - a n q 1- q

(q

1) 是等比数

列前n项和的两个基本公式,应用时一般
用前一个公式.

练习1
已知等比数列?an ?中,

?1? a1 ? 2 , S3 ? 14.则q ? 2或-3

a3 ?

8或18

? 2? a1 ? ?1, a4 ? 216 则 q ? -6 , S4 ? 185
an ? a1q n ?1 归纳要熟记公式:
Sn ? a1 ?1 ? q n ? 1? q



a1 ? an q Sn ? ? q ? 1? 1? q

a1、q、n、a n、sn

知三求二

练习2
已知{an }中,an?1 ? 2an , a2 ? 3, 求S6 .
解: an ?1 ? 2an ? an ?1 ? ? 2,?{an }为等比数列 an

3 ?q ? 2 且a1 ? 2 3 6
(1 ? 2 ) 1? 2

? s6 ? 2

189 ? 2

新 知 应 用

1 1 1 1 例题:求等比数列 , , , ??? 前8项的和. 2 4 8 16

1 1 (1 ? 8 ) 2 2 ? 255 . 解:S8 ? 1 256 1? 2

变式1:求等比数列 第6项到第10项的和.

1 1 1 1 , , , ??? 2 4 8 16

1 1 31 思路1:S10 -S5 ? 5 ? 10 ? 2 2 1024 1 5 a6 [1 ? )] ( 31 2 思路2:原式= ? 1 1024 1? 1 5 2 31 思路3:原式 ? ( ) S5 ? 2 1024

变式2
1 1 1 63 1、 等比数列 , , ,?前多少项的和是 ? 2 4 8 64

解:

1 1 a1 ? , q = 2 2

1 ? 1 n? ? ?1 ? ( ) ? 2 ? 2 ? Sn ? 1 1? 2

63 ? 64

?n?6

1 1 1 1 ??? 变式3:求数列 1 , 2 ,3 , 4 , 2 4 8 16 的前n项和.

1 2 3 4 n ??? 变式4:求数列 2 , 4 , 8 , 16 , , 2 n 的前n项和.

结论:
数列?an ? 是等差数列, n ? 是等比数列,求数列?an ? bn ?的 ?b 前n项和.

分析:错位相减法

提高

1 1 1 2 n 求和:( x ? ) ? ( x ? ) ??? (x ? n ) 2 y y y ( x ? 0, x ? 1, y ? 1).

解:当

x ? 0, x ? 1, y ? 1 时, ?1 1 1 ? 2 n 原式= ( x ? x ? ? ? x ) ? ? ? 2 ? ? ? n ? ?y y y ? ? ? 1? 1 ? n x(1 ? x ) y ?1 ? y n ? ? ? ? ? ? ? 1? x 1 1? y

x?x y ?1 ? ? n ?1 . 1? x y ?y
n

n ?1

1 1 1 2 n 变形1. 求和: ( x ? y ) ? ( x ? y 2 ) ? ? ? ( x ? y n ) ( x ? 0, y ? 1).
分析:当

x ? 0, y ? 1 时,对x分两种情况讨论 ⑴. x ? 1 ?1 1 1 ? 原式 ? ?1 ? 1 ? ? ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? n ? ?y y y ? ? ?
1? 1 ? ?1 ? n ? y? y ? ? ? n? ? 1 1? y
同练习

⑵.

x ?1

变形2.

1 1 1 2 n ( 求和: x ? ) ? ( x ? 2 ) ? ? ? ( x ? n ) y y y ( x ? 0, x ? 1).

分析:当

x ? 0, x ? 1 时,对y分两种情况讨论 ⑴. y ? 1
原式=

( x ? x ? ? ? x ) ? (1 ? 1 ? ? ? 1)
2 n

x 1? x ? 1? x
⑵.

?

n

?? n

y ?1

同练习

1 1 1 2 n ( 变形3. 求和:x ? ) ? ( x ? 2 ) ? ? ? ( x ? n ) y y y ( x ? 0).
分析:当 x ? 0 时,对x,y分四种情况讨论


⑵ ⑶ ⑷

x ? 1, y ? 1 原式 ? (1 ? 1 ? ? ? 1) ? (1 ? 1 ? ? ? 1) ? n ? n ? 2n x ? 1, y ? 1 同变形1.(1) x ? 1, y ? 1
同变形2.(1) 同练习

x ? 1, y ? 1

探究2:

Sn为等比数列的前n项和,Sn≠0,
则Sk, S2k-Sk, S3k-S2k(k∈N*)是
等比数列 .

练习:

(1) 等比数列中,S10=10,S20=30,则 70 S30=_______. (2) 等比数列中,Sn=48,S2n=60,则 63 S3n=_______.

探究3:

在等比数列中,若项数为2n(n∈N *),
S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和,

S偶 则 ? S奇

q

.

练习:

等比数列{an}共2n项,其和为-240, 且奇数项的和比偶数项的和大80,

2 则公比q =________.

课 时 小 结

主要知识
等比数列前n项和公式 ? a (1 ? q n ) a ? an q ? 1 (q ? 1) ? 1 ? 1? q Sn ? ? 1 ? q ? na (q ? 1) ? 1 ?

主要方法

错位相减法、特殊---一般---特殊 主要思想

方程的思想、分类讨论的思想


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