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三角函数高考题及答案


1.(上海,15)把曲线 ycosx+2y-1=0 先沿 x 轴向右平移 单位,得到的曲线方程是( A.(1-y)sinx+2y-3=0 C.(y+1)sinx+2y+1=0 )

? 2

个单位,再沿 y 轴向下平移 1 个

B.(y-1)sinx+2y-3=0 D.-(y+1)sinx+2y+1=0

2.(北京,3)下列四个函数中,以π 为最小正周期,且在区间( ( ) A.y=cos2x C.y=(

? 2

,π )上为减函数的是

B.y=2|sinx| D.y=-cotx )

1 cosx ) 3

3.(全国,5)若 f(x)sinx 是周期为π 的奇函数,则 f(x)可以是( A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x

4.(全国,6)已知点 P(sinα -cosα ,tanα )在第一象限,则在[0,2π ]内α 的取值范 围是( ) A.(

?
2



3? 5? )∪(π , ) 4 4

B.(

? 4



? 2

)∪(π ,

5? ) 4

C.(

?
2



3? 5? 3? )∪( , ) 4 4 2

D.(

?
4



?
2

)∪(

3? ,π ) 4


5.(全国)若 sin2x>cos2x,则 x 的取值范围是( A.{x|2kπ -

3 ? π <x<2kπ + ,k∈Z} 4 4
<x<2kπ +

B.{x|2kπ +

? 4
? 4

5 π ,k∈Z} 4
,k∈Z}

C.{x|kπ -

<x<kπ +

? 4

D.{x|kπ +

? 4

<x<kπ +

3 π ,k∈Z} 4

1

6.(全国,3)函数 y=4sin(3x+

?
4

)+3cos(3x+

?
4

)的最小正周期是(



A.6π

B.2π

C.

2? 3

D.

?
3


7.(全国,9)已知θ 是第三象限角,若 sin4θ +cos4θ =

5 ,那么 sin2θ 等于( 9
D.-

A.

2 2 3

B.-

2 2 3

C.

2 3

2 3


8.(全国,14)如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=-

? 8

对称,那么 a 等于(

A.

2

B.-

2

C.1 )

D.-1

9.(全国,4)设θ 是第二象限角,则必有( A.tan

? ? >cot 2 2

B.tan

? ? <cot 2 2 ? ? -cos 2 2
?
3

C.sin

? ? >cos 2 2

D.sin

10. (上海, 9) 若( f x) =2sinω x (0<ω <1 ) 在区间 [0, ] 上的最大值是

2, 则ω =

.

11.(北京,13)sin

2 6 7 π ,cos π ,tan π 从小到大的顺序是 5 5 5

.

12.(全国,18)

sin 7? ? cos15? sin 8? 的值为_____. cos 7? ? sin 15? sin 8?

13.(全国,18)tan20°+tan40°+ 3 tan20°·tan40°的值是_____. 14.(全国,18)函数 y=sin(x-

? 6

)cosx 的最小值是

.

15.(上海,17)函数 y=sin

x x +cos 在(-2π ,2π )内的递增区间是 2 2
1 ,θ ∈(0,π ) ,则 cotθ 的值是 5
2

.

16.(全国,18)已知 sinθ +cosθ =

.

17.(全国,17)已知函数 y= 3 sinx+cosx,x∈R. (1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 18.(全国,22)求 sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值. 19.(上海,21)已知 sinα = 求 tan(α -2β )的值. 20.(全国,22)已知函数 f(x)=tanx,x∈(0,

1 ? 3 ,α ∈( ,π ) ,tan(π -β )= , 5 2 2

? 2

) ,若 x1、x2∈(0,

? 2

) ,且 x1≠x2,

证明

x ? x2 1 [f(x1)+f(x2) ]>f( 1 ). 2 2
2

21.已知函数 f ( x) ? log 1 (sin x ? cos x) ⑴求它的定义域和值域; ⑶判断它的奇偶性; 22. 求函数 f (x)= log 1 cos( x ?
2

⑵求它的单调区间; ⑷判断它的周期性.

1 3

?
4

) 的单调递增区间
5 3 (x∈R) 2

23. 已知 f(x)=5sinxcosx- 5 3 cos2x+

⑴求 f(x)的最小正周期; ⑵求 f(x)单调区间; ⑶求 f(x)图象的对称轴,对称中心。 24 若关于 x 的方程 2cos2(? + x) ? sinx + a = 0 有实根,求实数 a 的取值范围。 1.答案:C 解析:将原方程整理为:y=

1 ? ,因为要将原曲线向右、向下分别移动 个单位 2 ? cos x 2

和 1 个单位,因此可得 y=

1

2 ? cos(x ? ) 2
评述:本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理 解,可直接化为: (y+1)cos(x- 2.答案:B 解析:A 项:y=cos2x=

?

-1 为所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0.

? 2

)+2(y+1)-1=0,即得 C 选项.

1 ? cos 2 x ? ,x=π ,但在区间( ,π ) 2 2
图 4—8
3

上为增函数. B 项:作其图象 4—8,由图象可得 T=π 且在区间(

? 2

,π )上为减函数.

C 项:函数 y=cosx 在(

? 2

,π )区间上为减函数,数 y=(

1 x 1 ) 为减函数.因此 y=( )cosx 3 3

在(

? 2

,π )区间上为增函数.

D 项:函数 y=-cotx 在区间( 3.答案:B

? 2

,π )上为增函数.

解析:取 f(x)=cosx,则 f(x) ·sinx=

1 sin2x 为奇函数,且 T=π . 2

评述:本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式. 4.答案:B 解法一:P(sinα -cosα ,tanα )在第一象限,有 tanα >0, A、C、D 中都存在使 tanα <0 的α ,故答案为 B. 解法二: 取α =

? 3

∈ (

? ?
4 2 ,

) , 验证知 P 在第一象限, 排除 A、 C, 取α =

3? 5? ∈ ( , 6 4

π) ,则 P 点不在第一象限,排除 D,选 B. 解法三:画出单位圆如图 4—10 使 sinα -cosα >0 是图中阴影部分,又 tanα >0 可得

?
4

?? ?

?
2

或π <α <

5? ,故选 B. 4

评述: 本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用, 突出考查了转化思想和转化方法的 选择,采用排除法不失为一个好办法. 5.答案:D 解析一:由已知可得 cos2x=cos2x-sin2x<0,所以 2kπ +

? 2

<2x<2kπ +

3 π ,k∈Z.解得 k 2

π+

? 4

<x<kπ +

3 π ,k∈Z(注:此题也可用降幂公式转化为 cos2x<0). 4

解析二: 由 sin2x>cos2x 得 sin2x>1-sin2x, sin2x>

2 2 1 .因此有 sinx> 或 sinx<- .由正 2 2 2

弦函数的图象(或单位圆)得 2kπ +

? 4

<x<2kπ +

3 5 7 π 或 2kπ + π <x<2kπ + π (k∈Z) , 4 4 4

4

2kπ +

5 7 ? 3? π <x<2kπ + π 可写作(2k+1)π + <x<(2k+1)π + ,2k 为偶数,2k+1 为奇 4 4 4 4

数,不等式的解可以写作 nπ +

? 4

<x<nπ +

3? ,n∈Z. 4

评述:本题考查三角函数的图象和基本性质,应注意三角公式的逆向使用. 6.答案:C 解析:y=4sin(3x+

? 4

)+3cos(3x+

? 4

)=5[

4 3 ? ? sin(3x+ )+ cos(3x+ ) ] 5 5 4 4

=5sin(3x+

? 4

+? ) (其中 tan ? =

3 ) 4

所以函数 y=sin(3x+ 故应选 C.

? 4

)+3cos(3x+

? 4

)的最小正周期是 T=

2? . 3
b a2 ? b2

评述: 本题考查了 asinα +bcosα =

a 2 ? b 2 sin (α + ? ) , 其中 sin ? =



cos ? =

a a ? b2
2

,及正弦函数的周期性.

7.答案:A 解法一:将原式配方得(sin2θ +cos2θ )2-2sin2θ cos2θ =

5 9

于是 1-

1 2 5 8 sin 2θ = ,sin22θ = ,由已知,θ 在第三象限, 2 9 9

故 2kπ +π <θ <2kπ +

3? 2
2 2 ,故应选 A. 3

从而 4kπ +2π <2θ <4kπ +3π 故 2θ 在第一、二象限,所以 sin2θ =

解法二:由 2kπ +π <θ <2kπ +

3? ,有 4kπ +2π <4kπ +3π (k∈Z) ,知 sin2θ 2
2 2 4 ,得 2sin2θ cos2θ = ,并与 sin4θ +cos4 3 9
5

>0,应排除 B、D,验证 A、C,由 sin2θ =

θ =

5 相加得(sin2θ +cos2θ )2=1 成立,故选 A. 9

评述: 本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号 的判别. 8.答案:D 解析:函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=-

? 8

对称,表明:当 x=-

? 8

时,函数取

得最大值

a 2 ? 1 ,或取得最小值- a 2 ? 1 ,所以有[sin(-

? 4

) +a· cos (-

? 4

2 ) ] =a2+1,

解得 a=-1. 评述:本题主要考查函数 y=asinx+bcosx 的图象的对称性及其最值公式. 9.答案:A 解法一:因为θ 为第二象限角,则 2kπ +

? 2

<θ <2kπ +π (k∈Z) ,即

? 为第一象 2

限角或第三象限角,从单位圆看是靠近轴的部分如图 4—13,所以 tan

? ? >cot . 2 2

解法二:由已知得:2kπ +

? 2

<θ <2kπ +π ,kπ +

? 4



? < 2

kπ +

? 2

,k 为奇数时,2nπ +

3? 5? ? < <2nπ + (n∈Z) ; 4 2 2
(n∈Z) ,都有 tan

k 为偶数时,2nπ +

? 4



? ? <2nπ + 2 2

? > 2

图 4—13

cot

? ,选 A. 2
评述:本题主要考查象限角的概念和三角函数概念,高于课本. 10.答案:

3 4

解析:∵0<ω <1 ∴T=

2?

?

>2π

∴f(x)在[0,

? 3

]区间上为单调递增函数

∴f(x)max=f(

? 3

)即 2sin

??
3

? 2

又∵0<ω <1 ∴解得ω =

3 4

6

11.答案:cos

2? 7? 6 π <sin <tan 5 5 5

解析:cos

6? 7? 2? ? <0,tan =tan ∵0<x< 时,tanx>x>sinx>0 5 5 5 2

∴tan

2? 2? 7? 2? 6? >sin >0 ∴tan >sin >cos 5 5 5 5 5
3

12.答案:2- 解析:

sin 7? ? cos15? sin 8? sin(15? ? 8?) ? cos15? sin 8? sin 15? cos8? ? ? cos 7? ? sin 15? sin 8? cos(15? ? 8?) ? sin 15? sin 8? cos15? cos8?

? tan 15? ?

1 ? cos 30? ? 2? 3. sin 30?

评述:本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点. 13.答案:

3

解析:tan60°=

tan 20? ? tan 40? ,∴tan20°+tan40°= 3 - 3 tan20°tan40°, 1 ? tan 20? tan 40?
3 tan20°tan40°= 3 .

∴tan20°+tan40°+ 14.答案:-

3 4

解析:y=sin(x-

? 6

)cosx=

? ? ? 1 1 1 [sin(2x- )-sin ]= [sin(2x- )- ] 6 6 6 2 2 2
1 1 3 (-1- )=- . 2 2 4

当 sin(2x-

? 6

)=-1 时,函数有最小值,y 最小=

评述:本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性(或值域). 15.答案: [?

3? ? , ] 2 2
x ? x x ? x ? ? +cos = 2 sin( ? ) ,当 2kπ - ≤ + ≤2kπ + (k 2 2 2 2 4 2 2 4 3? 3? ? ? ≤x≤4kπ + (k∈Z) ,只有 k=0 时, [- , ] 2 2 2 2
7

解析:y=sin

∈Z)时,函数递增,此时 4kπ -

(-2π ,2π ). 16.答案:-

3 4
1 25

解法一:设法求出 sinθ 和 cosθ ,cotθ 便可求了,为此先求出 sinθ -cosθ 的值. 将已知等式两边平方得 1+2sinθ cosθ =

变形得 1-2sinθ cosθ =2-

1 , 25

即(sinθ -cosθ )2=

49 25

又 sinθ +cosθ =

1 ,θ ∈(0,π ) 5
图 4—14



? <θ 2



3? ,如图 4—14 4

所以 sinθ -cosθ =

7 ,于是 5

sinθ =

3 4 3 ,cosθ =- ,cotθ =- . 5 4 5

解法二:将已知等式平方变形得 sinθ ·cosθ =-

12 ,又θ ∈(0,π ) ,有 cosθ <0 25

<sinθ ,且 cosθ 、sinθ 是二次方程 x2-

1 12 3 x- =0 的两个根,故有 cosθ =- , 25 5 5

sinθ =

4 3 ,得 cotθ =- . 4 5

评述:本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力,方法较灵活.

17.解: (1)y=

3 sinx+cosx=2(sinxcos

? 6

+cosxsin

? 6

)=2sin(x+

? 6

) ,x∈R

y 取得最大值必须且只需 x+

? 6



? 2

+2kπ ,k∈Z,

8

即 x=

? 3

+2kπ ,k∈Z.

所以,当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= (2)变换的步骤是: ①把函数 y=sinx 的图象向左平移

? 3

+2kπ ,k∈Z}

? 6

,得到函数 y=sin(x+

? 6

)的图象;

②令所得到的图象上各点横坐标不变,把纵坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数 y=2sin(x+

? 6

)的图象;

经过这样的变换就得到函数 y=

3 sinx+cosx 的图象.

评述: 本题主要考查三角函数的图象和性质, 利用三角公式进行恒等变形的技能及运算 能力. 18.解:原式=

1 1 1 (1-cos40°)+ (1+cos100°)+ (sin70°-sin30°) 2 2 2

=1+

1 1 1 (cos100°-cos40°)+ sin70°- 2 2 4



3 1 -sin70°sin30°+ sin70° 2 4 3 1 3 1 - sin70°+ sin70°= . 2 4 2 4



评述:本题考查三角恒等式和运算能力. 19.解:由题设 sinα =

? 3 ,α ∈( ,π ) , 5 2

可知 cosα =-

3 4 ,tanα =- 5 4

又因 tan(π -β )=

2 tan ? 4 1 1 ?? ,tanβ =- ,所以 tan2β = 2 1 ? tan ? 3 2 2

3 4 ? tan ? ? tan 2 ? 4 3? 7 ? tan(α -2β )= 1 ? tan ? tan 2 ? 1?1 24 ?

9

20.证明:tanx1+tanx2=

sin x1 sin x2 sin x1 cos x2 ? cos x1 sin x2 ? ? cos x1 cos x2 cos x1 cos x2

?

sin( x1 ? x2 ) 2 sin( x1 ? x2 ) ? cos x1 cos x2 cos(x1 ? x2 ) ? cos(x1 ? x 2 )

因为 x1,x2∈(0,

? 2

) ,x1≠x2,

所以 2sin(x1+x2)>0,cosx1cosx2>0,且 0<cos(x1-x2)<1, 从而有 0<cos(x1+x2)+cos(x1-x2)<1+cos(x1+x2) , 由此得 tanx1+tanx2>

2 sin( x1 ? x2 ) , 1 ? cos(x1 ? x2 )

所以

x ? x2 1 (tanx1+tanx2)>tan 1 2 2



x ? x2 1 [f(x1)+f(x2) ]>f( 1 ). 2 2
2

21.已知函数 f ( x) ? log 1 (sin x ? cos x) ⑴求它的定义域和值域; ⑶判断它的奇偶性; ⑵求它的单调区间; ⑷判断它的周期性.

解(1)x 必须满足 sinx-cosx>0,利用单位圆中的三角函数线及 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 5 ? ,k∈Z 4 4 ∴
? 5 , 2k? ? ?) , k ∈ Z ∵ sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ? ) ∴ 当 x ∈ 4 4 4 1 ? ? 5 (2k? ? , 2k? ? ? ) 时, 0 ? sin( x ? ) ≤ 1 ∴ 0 ? sin x ? cos x ≤ 2 ∴ y ≥ log 1 2 ? ? ∴ 函数值

函 数 定 义 域 为 (2k? ?

4

4

4

2

2

域为[ ?

1 , ?? ) 2

(3)∵ f ( x) 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴ f ( x) 不具备奇偶性 (4)∵ f(x+2π )=f(x)∴ 函数 f(x)最小正周期为 2π 注;利用单位圆中的三角函数线可知,以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准,可区分 sinx-cosx 的 符号;以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准,可区分 sinx+cosx 的符号 22. 求函数 f (x)= log 1 cos( x ?
2

1 3

?
4

) 的单调递增区间
1 2

解: ∵f (x)= log 1 cos( x ?
2

1 3

?
4

) 令 t ? 1 x ? ? ,∴y= log 1 cos t ,t 是 x 的增函数,又∵0< <1,∴当
3 4
2

10

y= log 1 cos t 为单调递增时 ,cost 为单调递减 且 cost>0, ∴ 2k? ≤ t<2k?+
2

? (k?Z), ∴ 2k? ≤ 2

? 3? 3? 1 ? (k?Z) ,6k?≤x<6k?+ x ? <2k?+ 2 4 4 3 4
[6k?3? 3? ,6k?+ ) 4 4

1 ? (k?Z),∴f (x)= log 1 cos( x ? ) 的单调递减区间是 3 4 2

(k?Z)
5 3 (x∈R) 2

23. 已知 f(x)=5sinxcosx- 5 3 cos2x+

⑴求 f(x)的最小正周期; ⑵求 f(x)单调区间; ⑶求 f(x)图象的对称轴,对称中心。 解: (1)T=π (2)增区间[kπ (3)对称中心(
? 5 5 11 ,kπ + π ],减区间[kπ + ? , k? ? ?] 12 12 12 12

k? ? k 5 ,对称轴 x ? ? ? ? ,k∈Z ? ,0) 2 12 2 6

24 若关于 x 的方程 2cos2(? + x) ? sinx + a = 0 有实根,求实数 a 的取值范围。 解 : 原 方 程 变 形 为 : 2cos2x ? sinx + a = 0 即 2 ? 2sin2x ? sinx + a = 0, ∴

1 17 1 17 amin ? ? ; a ? 2 sin 2 x ? sin x ? 2 ? 2(sin x ? ) 2 ? ,∵? 1≤sinx≤1 ,∴ 当sin x ? ? 时, 4 8 4 8

当sin x ? 1时, amax ? 1 , ∴a 的取值范围是[ ?

17 , 1] 8

11


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