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3-2011东城区高三期末(文)


北京东城区 2010-2011 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学 (文科)

学校_____________班级________________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在

试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题
求的一项。

共 40 分)

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要

(1)设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 1} , B ? {x | 0 ? x ? 5} ,则集合 (?U A) (A) {x | 0 ? x ? 1} (C) {x | 0 ? x ? 1} (B) {x | 0 ? x ? 1} (D) {x | 0 ? x ? 1}

B?

(2)在复平面内,复数 i(i ? 1) 对应的点在 (A)第一象限 (C)第三象限 (B)第二象限 (D)第四象限

(3)在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a5 ? 15 , a7 ? 15 ,则 a2 的值为 (A) ?3 (C) 1 (B) 0 (D) 2

(4)直线 l 过点 (?4, 0) 且与圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25 交于 A, B 两点,如果 | AB |? 8 ,那么 直线 l 的方程为 (A) 5x ? 12 y ? 20 ? 0 (C) 5x ? 12 y ? 20 ? 0 (B) 5x ? 12 y ? 20 ? 0 或 x ? 4 ? 0 (D) 5x ? 12 y ? 20 ? 0 或 x ? 4 ? 0

(5)已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? ,那么“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(6)设 a ? log 1 2 , b ? log2 3 , c ? ( ) ,则
0.3

3

1 2

(A) a ? b ? c (C) b ? c ? a
2

(B) a ? c ? b (D) b ? a ? c

(7) 已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax 的焦点 F , 且与 y 轴相交于点 A , 若△ OAF( O 为坐标原点)的面积为 4 ,则抛物线方程为 (A) y ? 4 x
2

(B) y ? 8x
2

(C) y 2 ? 4 x 或 y 2 ? ?4x

(D) y 2 ? 8x 或 y 2 ? ?8x

(8)已知函数 f ( x) 的定义域为 R,若存在常数 m ? 0 ,对任意 x ? R ,有 f ( x) ? m x ,则 称 f ( x) 为 F 函数.给出下列函数:① f ( x) ? 0 ;② f ( x) ? x 2 ;③ f ( x) ? sin x ? cos x ; ④ f ( x) ?

x ;⑤ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且满足对一切实数 x1 , x 2 均有 x ? x ?1
2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1 ? x2 .其中是 F 函数的序号为
(A)①②④ (C)①④⑤ (B)②③④ (D)①②⑤

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)已知 ? 为第二象限角,且 sin ? ?

1 ,则 sin 2? ? 3

. ;

(10)已知向量 a , b 满足: | a |? 1,| b |? 6, a ? (b ? a) ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为

| 2a ? b |?

. .

(11)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为

4 2 6 正(主)视图 2 侧(左)视图

2

俯视图

? x ? y ? 1 ? 0, ? (12)如果实数 x, y 满足条件 ? y ? 1 ? 0, 那么 2 x ? y 的最大值为 ? x ? y ? 1 ? 0, ?



P ,若△ F1PF2 (13)设椭圆的两个焦点分别为 F 1 , F2 ,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点
为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 .

?? x 2 ? 6 x ? e2 ? 5e ? 2, x ? e, ( 14 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ? (其中 e 为自然对数的底数,且 x ? e, ? x ? 2ln x,
2 e ? 2.718 ) ,若 f (6 ? a ) ? f (a) ,则实数 a 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos 2 x ?1 . (Ⅰ)求 f ( ) 的值及 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求 f ( x ) 的最大值和最小值.

? 6

? 2

(16) (本小题共 13 分) 在公差不为 0 的等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 ,且 a3 , a6 , a10 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2 n (n ? N*) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和公式.
a

(17) (本小题共 14 分) 如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, AD ? CD , AB / / CD ,
E F M

AB ? AD ? 2 , CD ? 4 , M 为 CE 的中点.
(Ⅰ)求证: BM / / 平面 ADEF ; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BEC .
D

C

A

B

(18)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? x .
3 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值; (Ⅱ)若对于任意 x ? (0, ??) , f ( x) ? ax 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

(19) (本小题共 14 分) 已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的长轴长为 4 ,且点 (1, ) 在椭圆上. 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过椭圆右焦点的直线 l 交椭圆于 A, B 两点,若以 AB 为直径的圆过原点,求直线 l 方程.

(20)(本小题共 13 分) 已知集合 A ? {a1 , a2 ,?, an } 中的元素都是正整数, 且 a1 ? a2 ? ? ? an , 集合 A 具有 性质 P :对任意的 x, y ? A ,且 x ? y ,有 x ? y ? (Ⅰ) 判断集合 {1,2,3,4} 是否具有性质 P ;

xy . 25

(Ⅱ) 求证:

1 1 n ?1 ; ? ? a1 a n 25

(Ⅲ) 求证: n ? 9 .

东城区 2010-2011 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案 (文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)A (2)C (6)B (3)B (7)D (4)D (8)C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ?

4 2 9

(10)

? ;2 7 3

(11) 36 (13) 2 ? 1

(12) 1 (14) ?3 ? a ? 2

注:两个空的填空题第一个空填对得 2 分,第二个空填对得 3 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1

? 3sin 2x ? cos 2x
? ? 2sin(2 x ? ) . 6
可知 f ( ) ? 2sin(2 ? (Ⅱ)由 x ? [0, ] 可得, 所以,当 2 x ? 当 2x ? ????????6 分

? 6

? ? ? ) ? 2 ,且函数 f ( x) 的最小正周期为 ? .?7 分 6 6

? 2

? ? 7? ? 2x ? ? . 6 6 6

? ? ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 有最大值,最大值为 2 ; 6 2 6

? ?? ? ? ,即 x ? 时, f ( x ) 有最小值,最小值为 ?1 .???13 分 6 6 2

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为 d ,又 a4 ? 10 , 可得 a3 ? 10 ? d , a6 ? 10 ? 2d , a10 ? 10 ? 6d .
2 由 a3 , a6 , a10 成等比数列得 a3a10 ? a6 ,

即 (10 ? d )(10 ? 6d ) ? (10 ? 2d ) ,
2
2 整理得 10d ? 10d ? 0 , 解得 d ? 0 或 d ? 1 .

由 d ? 0 ,可得 d ? 1 .

a1 ? a4 ? 3d ? 10 ? 3?1 ? 7 ,
所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? n ? 6 . (Ⅱ)由 bn ? 2 n (n ? N*) , an ? n ? 6 ,可得 bn ? 2n?6 .
a

????????6 分

所以 b1 ? 21?6 ? 128 . 因为

bn?1 2n?7 ? n?6 ? 2 , bn 2
??????12 分

所以数列 ?bn ? 是首项为 128 ,公比为 2 的等比数列. 所以 ?bn ? 的前 n 项和公式为 Sn ? (17) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)取 DE 中点 N ,连结 MN , AN . 在△ EDC 中, M , N 分别为 EC , ED 的中点, E

128(1 ? 2n ) ? 2n ? 7 ? 128 .????13 分 1? 2

1 CD . 2 1 由已知 AB / / CD , AB ? CD , 2
所以 MN / / CD ,且 MN ? 所以 MN / / AB ,且 MN ? AB . 所以四边形 ABMN 为平行四边形. 所以 BM / / AN .

F

N
D

M

C

A

B

又因为 AN ? 平面 ADEF ,且 BM ? 平面 ADEF , 所以 BM / / 平面 ADEF . (Ⅱ)因为 ADEF 为正方形, 所以 ED ? AD . 又因为平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且平面 ADEF 又因为 ED ? 平面 ADEF , 所以 ED ? 平面 ABCD . 所以 ED ? BC . 在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD ? 2 , CD ? 4 ,可得 BC ? 2 2 . 在△ BCD 中, BD ? BC ? 2 2, CD ? 4 ,所以 BC ? BD . 所以 BC ? 平面 BDE . 又因为 BC ? 平面 BCE , 所以平面 BDE ? 平面 BEC .????????14 分 平面 ABCD ? AD . ????????7 分

(18) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由 f ( x) ? x(1 ? x)2 ? x3 ? 2 x2 ? x , 可得 f ?( x) ? 3x2 ? 4 x ? 1 ? ( x ? 1)(3x ? 1) . 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x2 ? ? . 因为当 x ? ?1 或 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?1 ? x ? ? 所以 f ( x ) 的单调递增区间是 (??, ?1) 和 (? , ??) , 单调递减区间是 ( ?1, ? ) . 又 f (?1) ? 0 , f ( ? ) ? ?

1 3

1 3

1 时, f ?( x) ? 0 , 3

1 3

1 3

1 3

4 , 27

所以当 x ? ?1 时,函数 f ( x ) 有极大值 0 ; 当 x ? ? 时,函数 f ( x ) 有极小值 ?

1 3

4 . 27

????????6 分

(Ⅱ) f ( x) ? ax2 ? x3 ? 2x2 ? x ? ax2 ? x[ x 2 ? (2 ? a) x ? 1] . 由已知 x[ x2 ? (2 ? a) x ? 1] ? 0 对于任意 x ? (0, ??) 恒成立, 所以 x2 ? (2 ? a) x ? 1 ? 0 对于任意 x ? (0, ??) 恒成立,

1 ? x 对于任意 x ? (0, ??) 恒成立. x 1 因为 x ? 0 ,所以 ? x ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=”号) . x 1 所以 ? x 的最小值为 2. x 由 a ? 2 ? 2 ,得 a ? 4 ,
即 a?2? 所以 f ( x) ? ax 2 恒成立时,实数 a 的取值范围是 (??, 4] .?????13 分 (19) (共 14 分) 解: (Ⅰ)由题意: 2a ? 4 , a ? 2 . 所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 . 4 b2

又点 (1,

3 ) 在椭圆上,可得 b ? 1 . 2
x2 ? y2 ? 1 . 4
2

所求椭圆方程为
2

????????5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? 4, b ? 1 ,

所以 c ? 3 ,椭圆右焦点为 ( 3,0) . 因为以 AB 为直径的圆过原点,所以 OA ? OB ? 0 . 若直线 AB 的斜率不存在,则直线 AB 的方程为 x ? 3 . 直线 AB 交椭圆于 ( 3, ), ( 3, ? ) 两点,

1 2

1 2

OA ? OB ? 3 ?

1 ? 0 ,不合题意. 4

若直线 AB 的斜率存在,设斜率为 k ,则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 3) . 由?

? ? y ? k ( x ? 3), ? ? x ? 4 y ? 4 ? 0,
2 2

可得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8 3k 2 x ?12k 2 ? 4 ? 0 .

由于直线 AB 过椭圆右焦点,可知 ? ? 0 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

8 3k 2 12k 2 ? 4 , , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
?k 2 . 1 ? 4k 2

y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? k 2 [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 3] ?
所以 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ?

12k 2 ? 4 ?k 2 11k 2 ? 4 ? ( ) ? . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

11k 2 ? 4 4 2 11 ? 0 ,可得 k 2 ? , k ? ? 由 OA ? OB ? 0 ,即 . 2 1 ? 4k 11 11
所以直线 l 方程为 y ? ? (20)(共 13 分) (Ⅰ)解:由于 1 ? 2 ?

2 11 ( x ? 3) . 11

????????14 分

1? 2 1? 3 1? 4 , 1? 3 ? , 1? 4 ? , 25 25 25

2?3 ?

2?3 2? 4 3? 4 , 2?4 ? , 3?4 ? , 25 25 25
????????4 分

所以集合 {1,2,3,4} 具有性质 P . (Ⅱ)证明:依题意有 ai ? ai ?1 ?

ai ai ?1 (i ? 1,2,?, n ? 1) ,又 a1 ? a2 ? ? ? an , 25

因此 ai ?1 ? ai ?

ai ai ?1 (i ? 1,2, ?, n ? 1) . 25

可得

1 1 1 ? ? (i ? 1,2,?, n ? 1) . ai ai ?1 25

所以

1 1 1 1 1 1 1 1 n ?1 . ? ? ? ??? ? ??? ? ? a1 a2 a 2 a3 ai ai ?1 a n?1 an 25
????????8 分



1 1 n ?1 . ? ? a1 a n 25 1 n ?1 . ? a1 25
n ?1 ,因此 n ? 26 . 25

(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)可得

又 a1 ? 1 ,可得 1 ? 同理

1 1 n?i ? ? (i ? 1,2,3,?, n ? 1) , ai a n 25 1 n?i . ? ai 25
1 i n?i , 25

可知

又 ai ? i ,可得 ?

所以 i(n ? i) ? 25 (i ? 1,2,?, n ? 1) 均成立. 当 n ? 10 时,取 i ? 5 ,则 i(n ? i) ? 5(n ? 5) ? 25 ,可知 n ? 10 . 又当 n ? 9 时, i (n ? i ) ? ( 所以 n ? 9 .

i ?n?i 2 n ) ? ( ) 2 ? 25 . 2 2
????????13 分


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