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2.2.1椭圆及其标准方程(第二课时)


椭圆的标准方程 y
M

焦点F1 (?c,0), F2 (c,0)

F1

O

F2

x

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

这里c 2 ? a 2 ? b2
y
F2 M O F1

焦点F1 (0,?c ), F2 (0, c )

x

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

这里c ? a ? b
2 2

2

2 2 x y 例1.已知椭圆方程为 ? ?1 , 25 16

(1)已知椭圆上一点 P到左焦点F1的距离等于6,

则点P到右焦点的距离是 4
(2)若CD为过左焦点F1的弦, 则?CF1F2的周长为 16 ,


C

F1 D

F2

?F2CD的周长为 20



如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式
x ? ? y ? 3? ? x ? ? y ? 3? ? 10
2 2 2 2

点M的轨迹是什么曲线?写出它的轨迹方程。

如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式
x ? ? y ? 3? ? x ? ? y ? 3? ? 10
2 2 2 2

点M的轨迹是什么曲线?写出它的轨迹方程。
解:

F1 (0, ?3), F2 (0,3), a ? 5
因此b ? 4, 轨迹方程为 y 2 x2 ? ?1 25 16

例1 在圆x? +y? =4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段 PD,D为垂足。当点P在圆上运动时,线段PD的中点 M的轨迹是什么?为什么? y
P

解:设点M 的坐标为( x, y ), 点P的坐标为( x0 , y0 ),
y0 由D的坐标为( x0 , 0), 则x ? x0 , y ? . 2
2 2 2

M

o

D

x

因为点P( x0 , y0 )在圆x ? y ? 4上,所以x0 ? y0 ? 4
2

把x0 ? x, y0 ? 2 y代入方程,得x ? 4 y ? 4,
2 2

x2 即 ? y 2 ? 1.所以点M 的轨迹是一个椭圆。 4

? 求动点轨迹方程的一般步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线 上任意一点M的坐标; (2)写出适合条件P的点M的集合;(可以省略, 直接列出曲线方程) (3)用坐标表示条件P(M),列出方程 f ( x, y) ? 0 f ( x, y) ? 0 (4)化方程 为最简形式; (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况,可以 适当予以说明)

坐标法
1.建系 2.设坐标 3.列等式 4.代坐标 5.化简方程

变式:已知圆x 2 ? y 2 ? 9, 从这个圆上任意一点P向x轴作 ???? ? ???? ? ' 垂线段PP , 点M 在PP ' 上,并且PM ? 2MP ', 求点M 的轨迹。
y P

M
o P’ x

x 2 ? y ?1 9

2

例2 设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M,且它们的斜率之积是-4/9,求点M的轨 迹方程。
解:设点M 的坐标为( x, y ),因为点A的坐标是(?5, 0), 所以,直线AM 的斜率k AM y ? ( x ? ?5) x?5

同理,直线BM 的斜率k BM

y ? ( x ? 5). x ?5

y y 4 由已知有 ? ? ? ( x ? ?5) x ?5 x ?5 9
x2 y2 化简,得点M 的轨迹方程为 ? ? 1( x ? ?5) 25 100 9

“杂点” 可不要 忘了哟

四、针对性训练
(一)补充练习 1.动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是10,则 动点P的轨迹为( A ) A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹

变式:
(1)动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是8,则

动点P的轨迹为( B )
(2)动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是7,则

动点P的轨迹为( D )

2 2 x y 2.方程 ? ? 1表示的曲线是椭圆,求k的取值范围. 5 4k k>0且k≠5/4 变式:

x2 y2 (1)方程 ? ? 1表示焦点在y轴上的椭圆,求k的 5 4k

取值范围.
(2)方程
2

k>5/4
2

x y ? ? 1表示焦点坐标为(±2,0)的椭圆, 5 4k
k=1/4

求k的值.

四、针对性训练
x2 2.已知?ABC的顶点B、C在椭圆 ? y 2 ? 1上,顶点A 3 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边BC 上,则?ABC的周长为( B A.2 3
2

) D.16

B.4 3
2

C.6

3.当直线y ? kx ? 2的倾斜角大于45?小于90?时,它和 曲线2 x ? 3 y ? 6的公共点的个数为( C ) A.0 B.1 C.2 D.不能确定

7.? 神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以 地球中心为一个焦点的椭圆,设其近地点距地 面n千米,远地点距地面m千米,地球半径为 m-n R,那么这个椭圆的焦距为___________ 千米.

x y 8. P是椭圆 ? ? 1上的点,F1和F2是焦点,则 4 3 4 ,最小值是_____. 3 k ? PF1 ? PF2 的最大值是____

2

2

四、小结巩固
1.椭圆的定义:
?

平面上到两个定点的距离的和等于定长2a (大于2c)的点的轨迹叫椭圆。

? ?

定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
两焦点之间的距离叫做焦距(2c)。

2.椭圆的两种标准方程:
定 义 y
M

|MF1|+|MF2|=2a

y
F2
M

图 形

F1

o

F2 x

o
F1

x

焦点及位置 判定

焦点F1 (?c,0), F2 (c,0)

焦点F1 (0,?c ), F2 (0, c )
y 2 x2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b

标准方程
a,b,c之间
的关系

x y ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b

2

2

a 2 ? b2 ? c 2


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